毛瑾暉

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

生態(tài)學(xué)是與人類生活密切相關(guān)的科學(xué)，人類現(xiàn)階段面臨的環(huán)境、資源及人口問題都是其所研究的內(nèi)容，對生物種群模型進(jìn)行研究可更好地推動生態(tài)學(xué)的發(fā)展。眾多學(xué)者在種群模型上頗有建樹[1-3]，他們使用精煉的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)生物現(xiàn)象，建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決生態(tài)學(xué)中的問題。文獻(xiàn)[4]研究基于尺度結(jié)構(gòu)的捕食-被捕食模型，分析模型解的特點；文獻(xiàn)[5]研究了具有尺度結(jié)構(gòu)的種群模型，更為細(xì)致地分雌、雄個體對最優(yōu)不育問題進(jìn)行分析，但僅考慮了單種群問題。在生物數(shù)學(xué)最優(yōu)控制方面，文獻(xiàn)[6]利用切錐、法錐及Ekeland變分原理等理論對較一般的種群進(jìn)行研究。雒志學(xué)等[7]更為深入地分析了在周期環(huán)境下具有年齡結(jié)構(gòu)的種群最優(yōu)控制問題。文獻(xiàn)[8]對捕食-食餌種群的最優(yōu)控制對進(jìn)行討論，將單種群推廣為兩種群，使模型更具有應(yīng)用性。文獻(xiàn)[9]也對捕食種群動力系統(tǒng)進(jìn)行了進(jìn)一步分析，但未考慮時間滯后這一因素。在建立模型時，時滯[10-11]也是重要的影響因素，杜明銀[12]、戴勇[13]在具有年齡結(jié)構(gòu)的種群模型的基礎(chǔ)上考慮時滯因素，但他們研究的為周期解問題，并未分析最優(yōu)收獲問題。當(dāng)前，生物種群模型中考慮時滯因素的較少，本文在文獻(xiàn)[8]的研究基礎(chǔ)上，同時考慮時滯和尺度結(jié)構(gòu)，建立了基于時滯和尺度結(jié)構(gòu)的捕食-被捕食模型，分析了狀態(tài)系統(tǒng)解的存在唯一性，并討論最優(yōu)收獲問題。

1 模型的建立

本文建立基于時滯和尺度結(jié)構(gòu)的捕食種群系統(tǒng)

(1)

其中

U={(h1,h2)∈L∞(0,T)×L∞(QT)|0≤h1(t)≤N1,a.e.t∈(0,T),

0≤h2(s,t)≤N2,a.e.(s,t)∈QT},

N1,N2都是大于零的常數(shù)。

考慮控制問題：

做以下假設(shè)：

(H3)g(s)∈C1[0,m],0

(H4)y2(s)∈L∞(0,m),y1和μ1為正常數(shù)；

(H8)xi關(guān)于其變量及一階導(dǎo)數(shù)均滿足Lipschitz條件，i=1,2,3,4；

(H9) 所有參數(shù)和變量在其定義域外均為零。

2 解的存在唯一性

首先選擇M，滿足

定義解空間

其次定義映射L:X→X使得L(q,p)=(L1(q,p),L2(q,p))。

設(shè)在t0時刻捕食種群個體的尺度為s0，經(jīng)過一段時間θ=t-t0后，尺度變?yōu)閟，則必有s=Γ-1(Γ(s0)+θ)。應(yīng)用特征線法，得

由(1)中的第二式，可得

因此，得

故此得下述解

(2)

當(dāng)0

(3)

取s0=Γ-1(Γ(s)-t),t0=-τ,有

(4)

當(dāng)t>Γ(s)時，取s0=0,t0=t-Γ(s)，定義B(t)=g(0)p(0,t),得

(5)

當(dāng)t-τ≤Γ(s)且t>Γ(s)時，取s0=0,t0=t-τ-Γ(s),得

(6)

當(dāng)t-τ>Γ(s)時，取s0=0,t0=t-τ-Γ(s),得

(7)

將(3)～(7)代入(1)式得

其中θ1,θ2,θ3,θ4定義如下：

利用特征線法得到上述解，因此式(3)和式(5)聯(lián)合得出式(2)第二式的表達(dá)式。若(q(t),p(s,t))是映射L的不動點，且滿足q(t)≥0,p(s,t)≥0,則該點為狀態(tài)系統(tǒng)(1)的解。

定理1 設(shè)(H1)～(H9)成立，(h1,h2)∈U,若T足夠小，則狀態(tài)系統(tǒng)(1)存在唯一的解(q,p)。

證明由特征線法得映射L的不動點是狀態(tài)系統(tǒng)(1)的解，即只要證明映射L有唯一的不動點，故證映射L是壓縮映射。

第1步 證明L映射到自身。

其中，C1是一個與參數(shù)h1與x1有關(guān)的常數(shù)。

x3(q(t+r-Γ(s)))]p(Γ-1(r),t+r-Γ(s))dr|ds≤

其中,C2是一個與參數(shù)h2,xi,i=2,3,4,β和g的界限及常數(shù)因子有關(guān)的常數(shù)。因此當(dāng)T足夠小時，L映射到自身。

第2步 討論映射L的壓縮性。

‖L(q1,p1)-L(q2,p2)‖L∞(0,T)×L∞(0,T;L1(0,m))=

‖L1(q1,p1)-L1(q2,p2)‖L∞(0,T)+‖L2(q1,p1)-L2(q2,p2)‖L∞(0,T;L1(0,m))=

接下來考慮

其中,Ci(i=3,…,9)都是僅與參數(shù)h1,h2,xi(i=1，…，4),β和g的界限及常數(shù)因子有關(guān)的常數(shù)。因此選擇足夠小的T，可得映射L是空間X上的一個壓縮映射，故T存在唯一的不動點，即狀態(tài)系統(tǒng)(1)存在唯一解。

3 最優(yōu)控制的必要條件

本節(jié)將導(dǎo)出最優(yōu)收獲問題的最優(yōu)性條件，下式為狀態(tài)系統(tǒng)(1)的共軛系統(tǒng)

(8)

對任意函數(shù)α1∈L∞(0,T),α2∈L∞(QT)共軛系統(tǒng)的弱解滿足

其中函數(shù)φ1和φ2滿足

據(jù)定理1的證明方法可證得共軛系統(tǒng)解的存在性。記(qh1,ph2)和(ηh1,ζh2)分別是共軛系統(tǒng)和狀態(tài)系統(tǒng)對應(yīng)于給定的(h1,h2)∈U的解。定義映射Fi:L1(0,T)×L1(QT)→L∞(0,T)×L∞(QT)為

同時除以ε并令ε→0+，即

(9)

(10)

通過計算可得(Iε(t),fε(s,t))滿足方程

接下來，證明當(dāng)ε→0+時，(Iε(t),fε(s,t))→(0,0)。

因為xi(0)=0(i=1,2,3)，x4(0)=1得到下述關(guān)于(I(t),f(s,t))的極限系統(tǒng)

故該系統(tǒng)在(0,T)×QT上有唯一解(I(t),f(s,t))=(0,0)。

將共軛系統(tǒng)(8)前兩式分別乘以ω(t)和z(s,t)，且在(0,T)和QT上積分，通過化簡及利用(8)式、(10)式可得

結(jié)合已知式子，故得

由法錐元素的結(jié)構(gòu)可得(8)式。

4 結(jié)論

本文建立了一類具有時滯和尺度結(jié)構(gòu)的捕食-被捕食種群模型。將單種群模型推廣至兩種群模型，并考慮時滯因素，分析了捕食種群具有尺度結(jié)構(gòu)的情況，使種群模型與現(xiàn)實更加結(jié)合。利用不動點定理證明了該系統(tǒng)解的存在唯一性，由切錐法錐概念推導(dǎo)出最優(yōu)收獲的必要條件。但生物種群受各方面影響，如空間、溫度、氣候等，應(yīng)建立多維度影響因素的模型，以更好地描述貼合實際。