王勝華 陳向正

(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)

高中物理教學(xué)中常見這樣一類勻強(qiáng)電場(chǎng)的典型問題：假設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線與某平面共面，已知該平面上3個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)數(shù)值，求解場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向.近幾年這種類型的問題在高考試題中多次出現(xiàn).

1 試題

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為0 V，點(diǎn)A處的電勢(shì)為6 V，點(diǎn)B處的電勢(shì)為3 V，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為多少？

圖1 試題題圖

2 求解

2.1 平面幾何法

平面幾何法的一般步驟是先在兩個(gè)已知電勢(shì)點(diǎn)的連線上找到第三個(gè)點(diǎn)的等勢(shì)點(diǎn)，作這個(gè)點(diǎn)與第三個(gè)點(diǎn)的連線即為等勢(shì)線，再作等勢(shì)線的垂線確定電場(chǎng)線，最后根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與電勢(shì)差的關(guān)系U=Ed來求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.這種方法最常見.

解析：如圖2所示，取O和A的中點(diǎn)C，則C點(diǎn)的電勢(shì)為3 V，則C和B兩點(diǎn)電勢(shì)相等，連接CB，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)線為直線的性質(zhì)，則CB為等勢(shì)線，電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直且指向電勢(shì)降低的方向，過O點(diǎn)做CB的垂線交CB于D點(diǎn)，則DO為電場(chǎng)線，由幾何知識(shí)可知DO的距離d=0.015 m，而φD=φC=φB=3 V，φO=0 V，所以

圖2 平面幾何法求電場(chǎng)強(qiáng)度

則電場(chǎng)強(qiáng)度

電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿DO方向，與x軸負(fù)方向夾角正切

2.2 正交分解法

圖3 正交分解法 求電場(chǎng)強(qiáng)度

故正交分解法的一般步驟是先分別算出電場(chǎng)強(qiáng)度在兩垂直的坐標(biāo)軸方向的Ex，Ey，然后再用合成法求出電場(chǎng)強(qiáng)度E,如圖3所示.

則有

可得

電場(chǎng)強(qiáng)度方向如圖3,電場(chǎng)強(qiáng)度方向與x軸負(fù)方向的夾角正切

2.3 空間向量法

在高中數(shù)學(xué)中，由空間向量基本定理可知，對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，在直角坐標(biāo)下，可記作p=(x,y,z)，即為“向量的坐標(biāo)表示”，對(duì)學(xué)生而言是非常熟悉的[1].那么,對(duì)于某平面內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量可以采用向量的坐標(biāo)表示法，將E表示為E=Exi+Eyj=(Ex,Ey)，將L表示為L(zhǎng)=xi+yj=(x,y)，因電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系可以寫成|Δφ|=E?L，即

|Δφ|=(Ex,Ey)?(x,y)=xEx+yEy

則有

電場(chǎng)強(qiáng)度方向與x軸負(fù)方向的夾角正切

3 追問

從理論上講，平面幾何法在任何情況下都可以求解這類問題，但從求解過程可以看出，所幸題設(shè)給的數(shù)據(jù)特殊，便于計(jì)算求解.若把A點(diǎn)坐標(biāo)改為(10，0)，則求解的過程有很大的難度，計(jì)算量大，不具備可操作性.

對(duì)于正交分解法，從求解過程可以看出，正交分解法方法簡(jiǎn)潔，思路簡(jiǎn)明，但若把例題中A點(diǎn)坐標(biāo)改為(10，1)，由于OA與OB不再垂直，利用正交分解法求解將有很大的難度.用空間向量法可以解決.

空間向量法在求解電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)與在高中數(shù)學(xué)中利用空間向量法求解立體幾何問題在原理和方法上是一致的.因此，學(xué)生很容易理解且能夠快速熟練掌握.此外，空間向量法還適用于上面兩種方法不方便求解的三維空間勻強(qiáng)電場(chǎng)中求電場(chǎng)強(qiáng)度的問題.若把例題中A點(diǎn)坐標(biāo)改為(10，1)，只有空間向量法能夠快速求解.

即有

則有

(Ex,Ey)?(0.1，0.01)=6 V

(1)

(2)

為詳細(xì)說明求解方法，下面分步計(jì)算.

由式(1)得

(Ex,Ey)?(0.1,0.01)=0.1Ex+0.01Ey=6 V

(3)

由式(2)得

(4)

式(4)代入式(3)得

電場(chǎng)強(qiáng)度方向與x軸負(fù)方向的夾角正切

【例1】如圖4所示，邊長(zhǎng)為2 m的立方體空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中a，b，c，d點(diǎn)的電勢(shì)分別為1 V，11 V，5 V，8 V，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小？

圖4 例1題圖

解析：以c點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立三維直角坐標(biāo)系，如圖5所示，則有a，b，c，d4點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2,2)、(2,0,0)、(0,0,0)、(2,2,0).

圖5 以c為原點(diǎn)，建立三維直角坐標(biāo)系

則有ca=(0,2,2),cb=(2,0,0)，cd=(2,2,0)，有

Uca=E?ca=(Ex,Ey,Ez)?(0，2,2)=4 V

即

2Ey+2Ez=4 V/m

Ucb=E?cb=(Ex,Ey,Ez)?(2，0,0)=-6 V

即

2Ex=-6 V/m

Ucd=E?cd=(Ex,Ey,Ez)?(2，2,0)=-3 V

即

2Ex+2Ey=-3 V/m

可得

空間向量法是一種學(xué)生容易理解且在高中數(shù)學(xué)中常用的方法，可快捷求解勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度.這種方法有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)科融合意識(shí)，拓展學(xué)生視野，提升學(xué)生思維能力.教師們?cè)诮虒W(xué)中不防一試.