謝天揚(yáng)，尹洪浩，王伊凡，楊明月，孫 青

（首都師范大學(xué)物理系，北京 100048）

0 引 言

因?yàn)榫哂泻軓?qiáng)的可調(diào)控性和很高的純凈度，冷原子系統(tǒng)一直是研究多體量子模型的重要實(shí)現(xiàn)平臺(tái).作為一種重要的調(diào)控手段，F(xiàn)eshbach共振技術(shù)利用磁場(chǎng)來調(diào)節(jié)費(fèi)米子間的散射長度，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子間相互作用的連續(xù)調(diào)控［1-2］.當(dāng)相互作用從弱耦合區(qū)調(diào)節(jié)到強(qiáng)耦合區(qū)時(shí)，體系會(huì)發(fā)生從具有庫珀配對(duì)的BCS（Bardeen-Cooper-Schrieffer）費(fèi)米超流體到分子態(tài)的BEC（Bose-Einstein condensation）的連續(xù)跨越（BCS-BEC crossover）［3］.作為冷原子物理中的一個(gè)重要成果，BCS-BEC crossover現(xiàn)象也成為相關(guān)研究的熱點(diǎn).目前，研究者已經(jīng)從二體和多體角度對(duì)這一現(xiàn)象作了深入的研究.2006年，Zwierlein等［4］在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了極化費(fèi)米氣體，即上下自旋粒子數(shù)不同的費(fèi)米氣體，并且發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在一個(gè)上下自旋平衡的核心區(qū)和一個(gè)極化的環(huán)繞區(qū)［4］.如果將其中一個(gè)自旋費(fèi)米子的數(shù)量極大地降低，就可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)費(fèi)米海中的雜質(zhì)模型，這對(duì)于進(jìn)一步了解BCS-BEC crossover的產(chǎn)生機(jī)制有重要意義.

由于泡利不相容原理，在完全極化的費(fèi)米氣體中，費(fèi)米子之間沒有s-波相互作用，所以在s-波極限下，s-波相互作用只可能存在于費(fèi)米雜質(zhì)原子和費(fèi)米海中的原子之間.以三維的費(fèi)米氣體為例（圖1（a）），無相互作用時(shí)，所有的原子近似為自由原子；當(dāng)雜質(zhì)與費(fèi)米海之間的吸引相互作用增加時(shí)，雜質(zhì)原子吸引周圍費(fèi)米海中的原子，形成費(fèi)米極化子（polaron），如圖 1（b）所示；隨著吸引相互作用的進(jìn)一步增強(qiáng)，雜質(zhì)原子會(huì)和費(fèi)米海中的1個(gè)原子束縛在一起，形成 1個(gè) 2原子分子（圖 1（c）），預(yù)示著系統(tǒng)發(fā)生了從極化子態(tài)到分子態(tài)的相變.研究發(fā)現(xiàn)：在一維系統(tǒng)中，不論相互作用有多強(qiáng)，極化子態(tài)到分子態(tài)的相變都不存在；二維系統(tǒng)比三維系統(tǒng)具有更強(qiáng)的量子效應(yīng)，在考慮粒子-空穴漲落之后，系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生從極化子態(tài)到分子態(tài)的相變［5-7］.

圖1 雜質(zhì)與費(fèi)米海之間的相互作用示意

利用激光與原子的相互作用，實(shí)現(xiàn)了人造規(guī)范場(chǎng)［8-10］.這種人造規(guī)范場(chǎng)可以是阿貝爾場(chǎng)，如電場(chǎng)和磁場(chǎng)［11］，也可以是非阿貝爾規(guī)范場(chǎng)，即自旋軌道耦合.自旋軌道耦合可以改變粒子的色散關(guān)系，導(dǎo)致更高的低能態(tài)密度，并引發(fā)新奇的量子現(xiàn)象.如在具有自旋軌道耦合效應(yīng)的費(fèi)米氣體中，費(fèi)米雜質(zhì)問題會(huì)出現(xiàn)一些新的行為.Yi和Zhang［12］研究在二維自旋軌道耦合效應(yīng)的極化費(fèi)米氣體中，雜質(zhì)原子與費(fèi)米海中的原子之間存在配對(duì)不穩(wěn)定性，而這種不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致FFLO（Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinikov）配對(duì)狀態(tài)，這對(duì)解釋FFLO的產(chǎn)生機(jī)制提供了一定的幫助；Zhou等［13］表明將無自旋的雜質(zhì)浸入到具有一維自旋軌道耦合效應(yīng)的三維費(fèi)米氣體后，系統(tǒng)的基態(tài)配對(duì)具有有限中心動(dòng)量，形成FF（Fulde-Ferrell）配對(duì).這些工作都是在一個(gè)有自旋軌道耦合的費(fèi)米海中，研究無自旋的雜質(zhì)問題，然而在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)簡并費(fèi)米氣體具有挑戰(zhàn)性，并且由于實(shí)現(xiàn)自旋軌道耦合時(shí)，原子與光相互作用的過程會(huì)導(dǎo)致加熱效應(yīng)，要實(shí)現(xiàn)自旋軌道耦合的費(fèi)米海就更加困難.本文考慮一個(gè)在無自旋費(fèi)米海中，具有一維自旋軌道耦合的雜質(zhì)問題.由于單個(gè)雜質(zhì)不需要進(jìn)入簡并區(qū)，加熱效應(yīng)完全可以忽略，因此，在實(shí)驗(yàn)上更容易實(shí)現(xiàn)，從而提供一個(gè)通過自旋軌道耦合來調(diào)控雜質(zhì)問題的方法.

1 模 型

引入雜質(zhì)原子的一維自旋軌道耦合效應(yīng)之后［9］，可以將系統(tǒng)的哈密頓量寫為

式中ma(b)是原子a(b)的質(zhì)量，是費(fèi)米海中粒子的動(dòng)量，是費(fèi)米海的動(dòng)量，是費(fèi)米海中粒子激發(fā)到費(fèi)米海外的動(dòng)量，是產(chǎn)生自旋軌道耦合的激光波矢，表示自旋軌道耦合強(qiáng)度，表示有自旋雜質(zhì)的產(chǎn)生（湮滅）算符，表示無自旋費(fèi)米海中原子的產(chǎn)生（湮滅）算符，δ表示雜質(zhì)2個(gè)能級(jí)的塞曼劈裂，Ω是拉曼耦合強(qiáng)度，g是相互作用強(qiáng)度，滿足重整化關(guān)系是約化質(zhì)量.

進(jìn)一步對(duì)取極小值，可以得到系統(tǒng)的基態(tài)動(dòng)量和基態(tài)能量.如果Ω、δ和都取0，式（8）回到?jīng)]有自旋軌道耦合的一般雜質(zhì)問題中極化子的能量自洽方程.在這種情況下，極化子基態(tài)的動(dòng)量min始終為0.

本文選取能量單位為EF，動(dòng)量單位為kF，假設(shè)一維自旋軌道耦合強(qiáng)度始終沿著方向，大小固定為，并且只討論雜質(zhì)原子和費(fèi)米海中的原子質(zhì)量之比ma/mb=1的情況.

2 結(jié)果與分析

固定拉曼耦合強(qiáng)度（Ω/EF=1），可以得到極化子能量沿動(dòng)量水平方向變化的色散曲線，如圖2（a）所示.當(dāng)系統(tǒng)處于BCS區(qū)（(askF)-1=-2）時(shí)，有2個(gè)不對(duì)稱的非零極小值，其中最低的極小值對(duì)應(yīng)極化子基態(tài)，相對(duì)應(yīng)的動(dòng)量記為Qmin.圖2（a）意味著當(dāng)考慮自旋軌道耦合時(shí)，極化子基態(tài)存在一個(gè)有限的動(dòng)量分量Qmin.隨著散射長度的增大，在幺正區(qū)（(askF)-1=0）和BEC區(qū)（(askF)-1=2）中，2個(gè)極小值逐漸變?yōu)?個(gè)，并且不為0.所以不論是BCS區(qū)，還是幺正區(qū)和BEC區(qū)，極化子基態(tài)的動(dòng)量Qmin始終不為0.圖2（b）是沿垂直方向上的色散曲線，在不同散射長度下，能量始終關(guān)于Qy=0對(duì)稱分布，這說明極化子基態(tài)動(dòng)量的y分量始終為0.同樣，極化子基態(tài)動(dòng)量的z分量也始終為0.這是因?yàn)樽孕壍礼詈掀茐牧巳S空間的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，系統(tǒng)只剩下二維空間對(duì)稱性，所以極化子基態(tài)動(dòng)量始終沿自旋軌道耦合強(qiáng)度0所在的x方向，即=(Qmin，0，0).

圖2 極化子能量隨極化方向變化曲線

進(jìn)一步討論基態(tài)動(dòng)量Qmin隨散射長度和拉曼耦合強(qiáng)度的變化關(guān)系.當(dāng)拉曼耦合強(qiáng)度為0時(shí)，自旋軌道耦合強(qiáng)度的影響可以通過一個(gè)規(guī)范變換消除掉，而規(guī)范變換之后的模型等價(jià)于1個(gè)基態(tài)動(dòng)量為0的雜質(zhì)模型，這意味著通過規(guī)范變換，極化子基態(tài)獲得了動(dòng)量k0.隨著拉曼耦合強(qiáng)度增大，極化子基態(tài)動(dòng)量會(huì)逐漸減小，并且BCS區(qū)（(askF)-1=-1）比BEC區(qū)（(askF)-1=1）下降得更快（圖 3（a））.圖 3（b）中，Ω=0時(shí)的曲線與圖3（a）中的情況對(duì)應(yīng)，基態(tài)動(dòng)量始終等于k0.當(dāng)拉曼耦合強(qiáng)度不為0時(shí)，從BCS區(qū)到BEC區(qū)，基態(tài)動(dòng)量在逐漸上升，且拉曼耦合強(qiáng)度Ω越大，基態(tài)動(dòng)量上升得越快.

圖3 極化子基態(tài)動(dòng)量隨拉曼耦合強(qiáng)度和散射長度的變化曲線

本文同時(shí)考察了不同的塞曼劈裂對(duì)極化子基態(tài)動(dòng)量的影響（圖4）.當(dāng)拉曼耦合強(qiáng)度較小時(shí)，塞曼劈裂對(duì)基態(tài)動(dòng)量的影響比較弱；隨著拉曼耦合強(qiáng)度增大，基態(tài)動(dòng)量下降的速度變快，并且在Ω≈7EF時(shí)變?yōu)?.這意味著在塞曼劈裂δ≠0時(shí)，存在一個(gè)臨界的拉曼耦合強(qiáng)度，使極化子基態(tài)變成一個(gè)零動(dòng)量態(tài)，這與δ=0的情況有定性上的不同.

在塞曼劈裂δ/EF≠0的情況下，基態(tài)動(dòng)量隨著散射長度(askF)-1的變化曲線如圖5（a）所示.存在一定的(askF)-1區(qū)間，極化子基態(tài)的動(dòng)量會(huì)變?yōu)?，并且這個(gè)Qmin=0的范圍會(huì)隨著拉曼耦合強(qiáng)度Ω/EF的增大而變大.結(jié)果表明，在Ω＞2之后出現(xiàn)一個(gè)基態(tài)動(dòng)量Qmin=0的狹長區(qū)域，這個(gè)區(qū)域在散射長度(askF)-1方向上的跨度會(huì)隨著Ω/EF的增大而變大，與圖4相符.

圖4 極化子基態(tài)動(dòng)量（Qmin）隨Ω的變化曲線

圖5 極化子基態(tài)動(dòng)量隨散射長度的變化曲線及其相圖

3 總結(jié)與展望

本文運(yùn)用變分波函數(shù)的方法研究了處于無自旋費(fèi)米海中一維自旋軌道耦合雜質(zhì)形成的極化子的基本性質(zhì).研究結(jié)果顯示：對(duì)于塞曼劈裂δ/EF=0時(shí)，在整個(gè)BCS到BEC的區(qū)域中，自旋軌道耦合總是會(huì)導(dǎo)致極化子態(tài)具有一個(gè)有限的基態(tài)動(dòng)量；當(dāng)塞曼劈裂δ/EF≠0時(shí)，得到一個(gè)極化子基態(tài)動(dòng)量的相圖，其存在一個(gè)很窄的區(qū)域，極化子的基態(tài)動(dòng)量可能為0，這個(gè)區(qū)域會(huì)隨著拉曼耦合強(qiáng)度增大而增大.

本文研究了系統(tǒng)的極化子態(tài)，當(dāng)相互作用繼續(xù)增強(qiáng)后，體系會(huì)更傾向于處于分子態(tài)，并發(fā)生極化子態(tài)-分子態(tài)的轉(zhuǎn)變.對(duì)于考慮一維自旋軌道耦合效應(yīng)的分子態(tài)，預(yù)計(jì)也會(huì)出現(xiàn)像極化子態(tài)一樣的有限動(dòng)量，并且這個(gè)有限動(dòng)量會(huì)隨著拉曼耦合強(qiáng)度和相互作用參數(shù)的不同而發(fā)生變化.通過極化子-分子轉(zhuǎn)變?cè)谙嗷プ饔脜?shù)和拉曼耦合強(qiáng)度參數(shù)空間的相圖，可以判斷出系統(tǒng)在拉曼耦合強(qiáng)度的作用下更傾向于哪種狀態(tài).

本文只討論了雜質(zhì)原子和費(fèi)米海中原子質(zhì)量相等的情況，對(duì)于實(shí)驗(yàn)上會(huì)出現(xiàn)的不同質(zhì)量的情況，預(yù)計(jì)類似的結(jié)果也會(huì)出現(xiàn)，只有一些定量上的區(qū)別，這些在接下來的工作中將會(huì)繼續(xù)深入研究.本文考慮的自旋軌道耦合是拉曼激光誘導(dǎo)的一維自旋軌道耦合，二維或三維自旋軌道耦合會(huì)帶來新奇的物理現(xiàn)象.文章的結(jié)論為研究超冷費(fèi)米氣體中的配對(duì)機(jī)制和自旋軌道耦合的雜質(zhì)的物理性質(zhì)，以及BCS-BEC渡越的發(fā)生提供了一些新的理論支持.