廣東省汕頭市潮陽第一中學(515100) 劉振傳

學好高中數(shù)學,需要基礎知識的積累、思想方法的掌握、聯(lián)想能力的提高、運算求解能力的熟練應對.其中,以運算求解能力尤為重要.

運算求解能力是思維能力和運算技能的結(jié)合.運算包括對數(shù)值的計算和近似計算,對數(shù)學表達式的變形,對幾何圖形相關幾何量的計算求解等.運算求解能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力,也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算策略的能力.

在《2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》第160 頁中,提到高中數(shù)學全國卷對學生的運算能力的考查,不僅包括數(shù)的運算,還包括式的運算,兼顧對算理和邏輯推理的考查.考查是以含字母的式的運算為主,包括數(shù)字的計算、代數(shù)式和某些超越式的恒等變形、集合的計算、解方程與不等式、三角恒等變形、求導運算、概率計算、向量運算和幾何圖形中的計算等.運算結(jié)果具有存在性、確定性和最簡性.高考中對運算求解能力的考查主要體現(xiàn)在運算的合理性、準確性、熟練性、簡捷性.

筆者經(jīng)多年教學,對學生計算能力的培養(yǎng)積累了不少經(jīng)驗,總結(jié)一些主要的方法,供同行參考.

1 “獨具慧眼”法

“獨具慧眼”法,就是觀察法,即從復雜的數(shù)據(jù)中,觀察得到部分答案,再利用這部分答案推算出其余答案,從而簡化運算過程,快速計算出正確的答案,起到事半功倍的作用.例如: 如圖,四棱柱ABCD ?A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1⊥平面ABCD,M為棱DD1的中點,N為棱AD的中點,Q為棱BB1的中點.(1) 證 明: 平 面MNQ// 平 面C1BD;

(2)若AA1=2AB,棱A1B1上有一點P, 且A1P=λA1B1(0＜λ ＜1) , 使得二面角P ?MN ?Q的余弦值為,求λ的值.

在第二問中, 以D為坐標原點, 分別以線段DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系后,為方便計算,設AB= 2 可得如果將方程整理成一般的一元二次方程求解,顯然計算量大.可以觀察, 認為左右兩邊分子、分母對應相等, 得再去分母并兩邊平方得由韋達定理,類似“火中取栗”從這個方程抽取數(shù)據(jù)得最后由0＜λ ＜1 得

2 “欲擒故縱”法

“欲擒故縱”法, 即計算數(shù)據(jù)的開始, 先不進行合并、約分、開方等運算, 而是先做簡單的四則運算, 最后才進行合并、約分、開方等運算,起到簡化運算,快速得結(jié)果的作用.例如: 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的6 個白球和4 個紅球.從中任摸4 個球,求摸到白球的個數(shù)的分布列、數(shù)學期望與標準差.

設從中任摸4 個球,摸到白球的個數(shù)為η,則可得概率分布列為:

η 0 1 2 3 4 P 1 210 24 210 90 210 80 210 15 210

摸到白球的個數(shù)的數(shù)學期望為:,方差為

從表格看出,如果將對應的概率進行約分,反而不方便.這里采取了“欲擒故縱”法,放長線釣大魚,先列數(shù)計算,最后再約分,挺方便的.

3 “步步為營”法

“步步為營”法,即在數(shù)據(jù)較大的情況下,無法一下子觀察到化簡的方法,而是一點一點“蠶食”數(shù)據(jù),經(jīng)多次化簡,容易得到結(jié)果.例如: 某高等院校為了判斷主修統(tǒng)計專業(yè)是否與性別有關系,“統(tǒng)計初步”課程的教師隨機調(diào)查了選修該課的一些學生的情況,具體數(shù)據(jù)如下表:

專業(yè)性別男女合計非統(tǒng)計專業(yè)13 7 20統(tǒng)計專業(yè)10 20 30合計23 27 50

參考數(shù)據(jù)表:

P(K2 ≥k)0.50…0.05 0.025…k 0.455…3.814 5.024…

根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得到k2= 4.84,由此判斷選修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關系的可能性達到_____以上.

k2=這里的第一步先套用公式,第二步的分子可以提取100 與分母的100 約分,第三步將分母重新配湊,近似約分的近似值.這里用到估值計算.

4 “瞞天過?！狈?/h2>

“瞞天過海”法就是在計算過程中, 利用數(shù)據(jù)或公式的特征等方法, 比常規(guī)方法更簡便、準確.但書寫時, 還是按常規(guī)方法書寫.例如: 已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+3n,則{an}的通項公式是____.

利用等差數(shù)列的前n項和Sn=na1+an=dn+(a1?d)的特征知道,Sn公式中n2前面的系數(shù)是公差的一半,an公式中n前面的系數(shù)是公差.因此,可先寫出“an= 2n”,再結(jié)合a1=S1= 4 得an= 2n+2.解答題時,可以用an=Sn ?Sn?1列式,但寫答案時用上面方法,“瞞天過?！?

5 “金蟬脫殼”法

“金蟬脫殼”法, 就是在不影響結(jié)果的情況下, 舍棄“輜重”的數(shù)據(jù),抽絲剝繭出需要計算的數(shù)據(jù)或式子,簡化運算過程.例如:

已知函數(shù)f(x) =ae2x+(a ?2)ex ?x.(1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個零點, 求a的取值范圍.(2017年新課標I卷,21)

解(1)f(x)的定義域為(?∞,+∞),f′(x) = 2ae2x+(a?2)ex ?1=(aex ?1)(2ex+1),(i)若a≤0,則f′(x)＜0,所以f(x) 在(?∞,+∞) 單調(diào)遞減.(ⅱ) 若a ＞0, 則由f′(x) = 0 得x=?lna.當x ∈(?∞,?lna)時,f′(x)＜0;當x ∈(?lna,+∞)時,f′(x)＞0,所以f(x)在(?∞,?lna)單調(diào)遞減,在(?lna,+∞)單調(diào)遞增.

在第(2) 問中, 令f(x) = 0, 分離變量a與x得換元令t= ex ＞0 得而f(x)有兩個零點,則a=有兩解,即直線y=a與曲線y=有兩個交點.令g(t) =(t ＞0),則g′(t) =這里恒有因此, 可以“金蟬脫殼”, 令h(t) = 1?t ?lnt, 則h′(t) =注意到h(1) = 0, 所以g(t) 在(0,1) 上單調(diào)遞增, 在(1,+∞) 上單調(diào)遞減, 即g(t)max=g(1) = 1,而所以當t ∈(0,1) 時,g(t)∈(?∞,1); 當t ∈(1,+∞) 時,g(t)∈(0,1), 所以, 當有兩解時,a的取值范圍為(0,1).