李佳欣,董光炯

（華東師范大學(xué) 精密光譜科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200241）

0 引 言

量子隧穿效應(yīng)是指即使粒子動(dòng)能低于勢(shì)壘高度仍能以一定概率穿過勢(shì)壘的現(xiàn)象, 這是粒子波動(dòng)性的直接體現(xiàn). 1927年, Hund[1]首次注意到隧穿現(xiàn)象的幾率問題; 同年, Nordheim[2]應(yīng)用薛定諤方程計(jì)算了電子從多種不同表面反射的反射系數(shù). 隨后隧穿效應(yīng)被廣泛應(yīng)用于原子分子物理、核物理和固體物理的研究. 例如, Oppenheimer[3]根據(jù)隧穿計(jì)算了外場(chǎng)作用下氫原子的電離率; Gamow, Gurney和Condon用隧穿來解釋?duì)亮Ｗ铀プ僛4-6]; Millikan等[7-8]用隧穿來解釋金屬表面的場(chǎng)致發(fā)射; Bardeen等[9]用隧穿來研究電子輸運(yùn)現(xiàn)象. 在這些理論研究基礎(chǔ)之上, 基于量子隧穿效應(yīng)的各種器件應(yīng)運(yùn)而生,如1957年Esaki根據(jù)半導(dǎo)體中的帶間隧穿現(xiàn)象發(fā)明了隧穿二極管[10], 1982年Binnig等[11-12]研制了掃描隧道顯微鏡.

方勢(shì)壘和雙方勢(shì)壘的散射問題[13]是量子隧穿的理論研究中重要的解析可解模型. 方勢(shì)壘散射的解析解不僅給出了粒子反射、透射率, 而且是進(jìn)一步研究量子力學(xué)中的時(shí)間問題(比如隧穿時(shí)間問題)的基礎(chǔ)[14-20]. 在對(duì)雙方勢(shì)壘的研究中, Tsu 等[21]、Chang等[22]發(fā)現(xiàn)了共振隧穿的現(xiàn)象. 在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)有質(zhì)粒子(如電子、原子)的方勢(shì)壘, 對(duì)于研究量子隧穿問題具有重要的意義.

激光操控是原子分子氣體操控的重要實(shí)驗(yàn)手段. 近年來激光光束整形技術(shù)[23-25]快速發(fā)展, 進(jìn)一步豐富了原子分子光力操控技術(shù)[26-28], 其中的一個(gè)重要的進(jìn)展是能制備高質(zhì)量的超高斯光束[29-35]. 超高斯光又稱平頂光, 它的光強(qiáng)在中心近似均勻, 而在離開光斑區(qū)域則迅速下降為零. 超高斯光的光強(qiáng)空間分布的平頂特征為實(shí)現(xiàn)量子力學(xué)中方勢(shì)壘、方勢(shì)阱等提供了可能. 文獻(xiàn)[36]首先提出利用超高斯光和冷分子相互作用的方勢(shì)阱實(shí)現(xiàn)分子鏡, 為物質(zhì)波操控以及量子力學(xué)理想模型的實(shí)驗(yàn)研究提供了一條新途徑. 隨后, 在超冷原子隧穿問題的研究中, 超高斯光和原子相互作用的電偶極勢(shì)能被視為實(shí)現(xiàn)方勢(shì)壘的重要手段[37-38]. 然而, 在這些超冷原子研究中并沒有真正研究超高斯光對(duì)超冷原子的散射問題,尤其是沒有處理不同階數(shù)的超高斯光對(duì)隧穿的影響.

本文中研究利用了超高斯光實(shí)現(xiàn)方勢(shì)壘的理論途徑, 一是利用具有大藍(lán)失諧超高斯光和原子相互作用勢(shì)能實(shí)現(xiàn), 二是利用電子在超高斯光場(chǎng)中受到的有質(zhì)動(dòng)力勢(shì)能[39-40]實(shí)現(xiàn). 此外, 還進(jìn)一步研究了超高斯勢(shì)壘的空間形狀對(duì)隧穿的影響, 發(fā)現(xiàn)超高斯光的階數(shù)需要大于20才能很好模擬方勢(shì)壘的散射. 最后, 研究了雙超高斯勢(shì)壘模型中的共振隧穿. 本文工作對(duì)于用超高斯光模擬量子力學(xué)基本模型的實(shí)驗(yàn)研究具有參考價(jià)值.

1 一維超高斯勢(shì)壘散射的理論模型

以光束傳播的方向?yàn)閦方向, 一束超高斯光在焦平面的光強(qiáng)分布可以描述為[30-32]

其中,wx和wy分別是超高斯光束在x、y方向的e?1光斑半徑,m、n分別是超高斯光的階數(shù). 當(dāng)超高斯光的階數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時(shí), 超高斯光的光束在和的區(qū)域, 光強(qiáng)近似等于I0, 而一旦離開此區(qū)域光強(qiáng)則以超指數(shù)形式減小. 因此, 超高斯光束又稱為平頂光束. 目前實(shí)驗(yàn)上, 超高斯的階數(shù)可以達(dá)到200[30]. 這些技術(shù)進(jìn)步使得超高斯光的平頂特征非常適合于構(gòu)造量子力學(xué)中的理想模型, 如方勢(shì)阱和方勢(shì)壘.

本文現(xiàn)在研究用超高斯光構(gòu)造一個(gè)方勢(shì)壘的可能途徑.

1.1 利用遠(yuǎn)離共振的藍(lán)失諧光和原子相互作用形成的勢(shì)能模擬方勢(shì)壘

首先研究超高斯光和超冷原子的相互作用. 考慮超高斯光的頻率遠(yuǎn)大于電子躍遷頻率(遠(yuǎn)離電子共振躍遷的藍(lán)失諧), 則可以忽略光和原子相互作用的自發(fā)輻射. 在這種情況下, 光和原子相互作用是電偶極勢(shì)能為主, 其電偶極勢(shì)能為[41]

其中,U0=αI0,α是原子極化率.

考慮超冷原子束從x軸方向入射. 如圖1所示, 假設(shè)wy遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于原子束的寬度, 則

圖1 超高斯勢(shì)壘示意圖Fig. 1 Diagram of a super-Gaussian barrier

式中,M為入射原子的質(zhì)量,E為入射原子的能量. 當(dāng)超高斯光的階數(shù)足夠大, 勢(shì)壘(2)可以近似為方勢(shì)壘, 如圖2所示.

圖2 一維超高斯勢(shì)壘散射模型示意圖Fig. 2 Schematic diagram of a one-dimensional super-Gaussian barrier scattering model

1.2 超高斯光和電子束的有質(zhì)動(dòng)力學(xué)勢(shì)模擬方勢(shì)壘

考慮電子束從x軸正方向入射, 假設(shè)電子束寬度足夠?qū)? 可以近似為平面波, 同時(shí)電子束y方向的寬度又遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于wy, 則超高斯光和電子束相互作用的有質(zhì)動(dòng)力學(xué)勢(shì)能為[42]

其中,e是單位電子電荷,ε0是真空介電常數(shù),Me是電子質(zhì)量,ω是光頻率,c是真空中光速. 由于光頻率巨大, 在公式(5)等號(hào)右端根號(hào)中第二項(xiàng)通常遠(yuǎn)小于1, 因此式(5)可化為

其中,

可見超高斯光和電子束的有質(zhì)動(dòng)力學(xué)勢(shì)能在超高斯光階數(shù)足夠時(shí)可以模擬方勢(shì)壘, 電子被超高斯光散射后的系統(tǒng)同樣可以被方程(4)所描述.

2 超高斯勢(shì)壘形狀對(duì)方勢(shì)壘模擬的影響研究

圖2顯示超高斯光的階數(shù)m越大, 勢(shì)壘的形狀越接近一個(gè)寬度為 2wx, 高為U0的方勢(shì)壘US, 其形式為

其中,wS=2wx是勢(shì)壘寬度. 對(duì)于寬度為wS、勢(shì)壘高度為U0的一維方勢(shì)壘模型, 能量為E的粒子的透射系數(shù)的解析形式為[43]

對(duì)于超高斯勢(shì)壘的散射問題, 我們求解方程 (4). 這個(gè)方程不能解析求解, 我們利用數(shù)值求解. 在遠(yuǎn)離超高斯勢(shì)壘的左側(cè), 既有入射波也有反射波, 波函數(shù)的形式可寫為

在遠(yuǎn)離超高斯勢(shì)壘的右側(cè), 只有透射波, 波函數(shù)的形式可寫為

式中,Ae?ikx和Beikx分別表示反射波和透射波. 利用邊界處波函數(shù)及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件采用有限差分法[44]可數(shù)值求解方程 (4)的系數(shù)A,B以及波函數(shù)Ψ(x), 則透射系數(shù)為

表示粒子透過勢(shì)壘的幾率.

下面比較不同階數(shù)的超高斯勢(shì)壘與方勢(shì)壘的透射系數(shù). 在數(shù)值計(jì)算中, 取wx=3λ0,U0分別為0.01ER和 0.1ER, 其中λ0為光波長(zhǎng),為反沖動(dòng)能,h為普朗克常數(shù). 改變?nèi)肷鋭?dòng)能E和階數(shù)m, 得到不同的透射系數(shù)如圖3a)和3c)所示. 當(dāng)U0=0.01ER時(shí), 在入射動(dòng)能小于1/5勢(shì)能處透射率基本為0; 在入射動(dòng)能大于1/5勢(shì)能處, 透射系數(shù)逐漸增大; 當(dāng)入射動(dòng)能等于勢(shì)能時(shí), 透射率可達(dá)0.25, 這與經(jīng)典粒子穿越勢(shì)壘有很大區(qū)別. 當(dāng)U0=0.1ER時(shí), 在入射動(dòng)能小于4/5勢(shì)能處透射率基本為0; 在入射動(dòng)能大于4/5U0勢(shì)能處, 透射系數(shù)逐漸增大; 當(dāng)入射動(dòng)能等于勢(shì)能時(shí), 透射率最高僅達(dá)到0.07, 可見勢(shì)壘高度的增加使透射率大大降低. 從圖中可以看到, 高階的超高斯勢(shì)壘和方勢(shì)壘的透射系數(shù)十分相近, 為了更好地觀察, 我們研究了兩者透射系數(shù)相對(duì)差δT=|TSG?TS|隨入射動(dòng)能變化的趨勢(shì)(這里為了區(qū)別不同的勢(shì)壘對(duì)應(yīng)的透射率, 我們對(duì)透射系數(shù)加下標(biāo)：下標(biāo) S 對(duì)應(yīng)方勢(shì)壘; 下標(biāo)SG對(duì)應(yīng)超高斯勢(shì)壘). 如圖3b)和3d)所示, 超高斯勢(shì)壘的階數(shù)越高, 其透射系數(shù)越接近方勢(shì)壘透射系數(shù),即這個(gè)超高斯勢(shì)壘的性質(zhì)更接近方勢(shì)壘.

圖3 透射系數(shù)隨入射能量的變化Fig. 3 Transmission coefficient as a function of incident energy

接下來進(jìn)一步探究階數(shù)與模擬效果之間的關(guān)系. 給定一個(gè)m階超高斯勢(shì)壘, 我們?cè)谌肷淠芰拷橛?到U0之間均勻取N個(gè)入射能量E1,E2,···,EN?1,EN, 然后計(jì)算相應(yīng)的透射率(k=1,2,···,N). 對(duì)于方勢(shì)壘在入射能量Ek的透射率記為TS,k. 我們定義m階超高斯勢(shì)壘的模擬方勢(shì)壘的平均偏差為

如圖4所示, 隨著階數(shù)m的增大,迅速衰減, 由此可見, 在m<100 時(shí)增大階數(shù)可使模擬質(zhì)量得到快速提升. 當(dāng)m=20 時(shí),已經(jīng)接近10–3, 此時(shí)超高斯勢(shì)壘可以較好地模擬方勢(shì)壘.

圖4 (隨階數(shù) m 的變化Fig. 4as a function of the order m

3 雙超高斯勢(shì)壘中共振隧穿現(xiàn)象的研究

粒子入射到有多個(gè)勢(shì)壘的勢(shì)場(chǎng)時(shí)會(huì)在勢(shì)壘間發(fā)生多次反射. 當(dāng)入射能量和勢(shì)壘間的某個(gè)模式發(fā)生共振, 透射率會(huì)等于1, 這個(gè)現(xiàn)象就是量子隧穿中重要的共振隧穿現(xiàn)象. 因此我們進(jìn)一步研究了雙超高斯勢(shì)壘的共振隧穿現(xiàn)象. 這個(gè)雙超高斯勢(shì)壘的表達(dá)式為

其示意圖如圖5所示, 其中d是兩個(gè)勢(shì)壘中心之間的距離. 在數(shù)值計(jì)算中, 我們?nèi)0=0.01ER,wx=3λ0,d分別取 10λ0和 15λ0, 研究了不同間距的雙超高斯勢(shì)壘透射率隨入射動(dòng)能的變化. 透射率隨入射能量變化的數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖6所示, 圖6a)和圖6b)分別對(duì)應(yīng)勢(shì)壘間距等于 10λ0和 15λ0的情況. 圖6顯示出共振隧穿現(xiàn)象. 共振峰的個(gè)數(shù)可以通過調(diào)整勢(shì)壘間距來控制. 共振峰的細(xì)節(jié)在圖中通過小圖顯示. 對(duì)于不同階數(shù)的超高斯光, 共振位置不一樣. 隨著階數(shù)的增加, 共振峰對(duì)應(yīng)的入射能量也增加.

圖5 雙超高斯勢(shì)壘散射模型示意圖Fig. 5 Schematic model for double super-Gaussian barrier scattering

圖6 透射率隨入射能量的變化Fig. 6 Transmittance as a function of incident energy

4 結(jié) 論

本文從理論上研究了用超高斯光束模擬方勢(shì)壘的問題. 首先分別利用具有大藍(lán)失諧超高斯光和原子相互作用勢(shì)能以及超高斯光和電子的有質(zhì)動(dòng)力勢(shì)能實(shí)現(xiàn)超高斯形勢(shì)壘, 再進(jìn)一步研究了超高斯勢(shì)壘的空間形狀對(duì)隧穿的影響, 發(fā)現(xiàn)超高斯光的階數(shù)在大于20時(shí)即可較好模擬方勢(shì)壘. 隨著超高斯光場(chǎng)階數(shù)m的增大, 提高階數(shù)仍能提升模擬質(zhì)量, 但變化幅度較小, 性價(jià)比不高. 最后, 研究了入射粒子入射到雙超高斯勢(shì)壘的共振隧穿現(xiàn)象, 本文的數(shù)值計(jì)算表明, 通過調(diào)整勢(shì)壘之間的距離可以控制共振峰的位置以及個(gè)數(shù). 本文的研究結(jié)果對(duì)使用超高斯光模擬量子力學(xué)中方勢(shì)壘模型的實(shí)驗(yàn)研究具有參考價(jià)值, 可以用于研究量子力學(xué)的基本問題, 比如隧穿時(shí)間問題[14-20]. 目前對(duì)于隧穿時(shí)間的實(shí)驗(yàn)研究[18-20],都用零質(zhì)量的光子, 它受到材料吸收的影響[45-46]. 而采用原子或者電子作為入射粒子, 可以研究有質(zhì)量粒子的隧穿時(shí)間問題. 在目前的研究中, 本文只考慮了單粒子的隧穿問題, 進(jìn)一步的研究可以考慮多粒子體系, 研究入射粒子的量子統(tǒng)計(jì)性質(zhì)對(duì)隧穿的影響, 比如對(duì)于費(fèi)米子, 入射粒子數(shù)目的奇偶性有關(guān)的隧穿現(xiàn)象值得進(jìn)一步研究[47].