高豐嶺 燕唐 戰(zhàn)楠 卜曉兵

（中汽研汽車檢驗(yàn)中心（天津）有限公司，天津 300300）

主題詞：多目標(biāo)可靠性優(yōu)化 車身結(jié)構(gòu)優(yōu)化 序列更新代理模型 概率充分因子

1 前言

車身研發(fā)是復(fù)雜的系統(tǒng)問(wèn)題，需要考慮包括結(jié)構(gòu)耐撞性，靜、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性及輕量化水平等多種因素。與僅提供1個(gè)最優(yōu)解的單目標(biāo)優(yōu)化相比，多目標(biāo)優(yōu)化在車身設(shè)計(jì)中更常用，其可為設(shè)計(jì)人員提供由一系列折衷方案組成的帕累托最優(yōu)前沿（Pareto Optimal Front，POF），以便后續(xù)決策[1]。

在實(shí)際工程問(wèn)題中，制造公差、載荷條件、材料特性、幾何結(jié)構(gòu)等存在一定程度的不確定性[2]，為了避免執(zhí)行確定性多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)得到實(shí)際不可靠、不可行的設(shè)計(jì)方案，考慮上述不確定性因素開展車身結(jié)構(gòu)多目標(biāo)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)十分必要。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在此方面開展了大量的研究工作。Shetty 和Nilsson[3]對(duì)B 柱總成的側(cè)面耐撞性設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，比較了多目標(biāo)確定性、可靠性和魯棒性優(yōu)化結(jié)果。Duan 等人[4]提出了一種改進(jìn)的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化方法，并應(yīng)用于概念車身設(shè)計(jì)。Lv 等人[5-6]分別實(shí)現(xiàn)了汽車前端和保險(xiǎn)杠系統(tǒng)的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化。在這些研究中，代理模型在提升優(yōu)化效率方面起到了重要作用，但代理模型的構(gòu)造更多憑借工程經(jīng)驗(yàn)，如何兼顧優(yōu)化精度與效率仍需深入研究。

改善代理模型從而保證優(yōu)化精度的方法通常有2種[7]。一種是一步構(gòu)造高質(zhì)量代理模型。這種方法思路直接、流程簡(jiǎn)單，在工程上廣為應(yīng)用，但往往需要在整個(gè)設(shè)計(jì)域內(nèi)大量采樣以增加其在真實(shí)解鄰域內(nèi)出現(xiàn)的概率從而滿足精度要求，難以平衡優(yōu)化精度與效率。另一種為序列更新代理模型。其利用本次迭代得到的優(yōu)化結(jié)果生成補(bǔ)充樣本點(diǎn)，進(jìn)而不斷提高優(yōu)化精度逐步逼近真實(shí)解。由于初始樣本點(diǎn)數(shù)量較少，后續(xù)補(bǔ)點(diǎn)可控，因此該類方法在整體優(yōu)化效率方面較前者更好。盡管該類方法具有廣闊的應(yīng)用前景，但基于其開展車身結(jié)構(gòu)多目標(biāo)可靠性優(yōu)化仍然存在一些挑戰(zhàn)，比如可靠性約束的處理、優(yōu)化算法的選擇以及補(bǔ)點(diǎn)策略的制定等較難統(tǒng)籌，因而在不損失優(yōu)化精度的基礎(chǔ)上保證整體優(yōu)化效率存在困難。

鑒于此，本文集成概率充分因子法、自適應(yīng)加權(quán)多目標(biāo)優(yōu)化算法、徑向基函數(shù)代理模型以及自適應(yīng)補(bǔ)點(diǎn)方法，構(gòu)建基于序列更新代理模型技術(shù)的車身結(jié)構(gòu)多目標(biāo)可靠性優(yōu)化平臺(tái)，并對(duì)其進(jìn)行測(cè)試和應(yīng)用。

2 多目標(biāo)可靠性優(yōu)化平臺(tái)

多目標(biāo)可靠性優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，fi(x)、gj(x)分別為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)和第j個(gè)確定性設(shè)計(jì)約束；x為具有一定分布特征的設(shè)計(jì)變量向量；xL、xU分別為x的下限和上限；P()為以Rj為目標(biāo)可靠度的概率約束；q為設(shè)計(jì)目標(biāo)總數(shù)；s為約束總數(shù)。

通過(guò)適當(dāng)?shù)母怕始s束處理，將可靠性優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化問(wèn)題，利用代理模型代替耗時(shí)的仿真模型并持續(xù)更新模型提升精度，采用高效多目標(biāo)優(yōu)化求解器，即可求解得到高精度近似POF。建立的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化平臺(tái)計(jì)算流程如圖1所示。

2.1 徑向基函數(shù)代理模型

由于對(duì)非線性物理模型具有良好的描述能力，同時(shí)對(duì)離散多變量數(shù)據(jù)進(jìn)行插值的能力較強(qiáng)，徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）模型在工程界與學(xué)術(shù)界都受到了高度重視。通常，RBF模型分為數(shù)量為m的徑向基函數(shù)和數(shù)量為n的帶加權(quán)系數(shù)的多項(xiàng)式項(xiàng)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，‖x-μi‖為設(shè)計(jì)點(diǎn)x與觀測(cè)輸入μi之間的歐幾里德距離；φ為徑向基函數(shù)；λi為未知權(quán)重因子；φj(x)為多項(xiàng)式項(xiàng)；Cj為系數(shù)。

圖1 多目標(biāo)可靠性優(yōu)化平臺(tái)計(jì)算流程

2.2 概率充分因子法

通過(guò)將安全因子與蒙特卡洛仿真得到的失效概率相結(jié)合，概率充分因子（Probabilistic Sufficiency Factor，PSF）法可以在僅增加一小部分計(jì)算量的條件下足夠精確地處理可靠性優(yōu)化問(wèn)題[8-10]?；诟怕食浞忠蜃臃?，式（1）中相應(yīng)的概率約束可替換為：

式中，s(x)為由確定性約束的上界或下界與其在優(yōu)化過(guò)程中計(jì)算的實(shí)際響應(yīng)之比決定的安全系數(shù)；R為Rj的集合。

概率充分因子V是可靠性水平大于或等于R的安全系數(shù)，因此，式（3）可以進(jìn)一步改寫為：

在蒙特卡洛仿真基礎(chǔ)上，V可由式（5）計(jì)算得出：

當(dāng)V≥1 時(shí)，可靠性水平等于或高于目標(biāo)值，因此設(shè)計(jì)方案滿足規(guī)定的安全要求；當(dāng)V＜1 時(shí)，設(shè)計(jì)方案不滿足安全要求。此外，在優(yōu)化過(guò)程中，V可以用代理模型估算。

2.3 自適應(yīng)加權(quán)多目標(biāo)優(yōu)化算法

為了克服進(jìn)化類算法計(jì)算效率低、傳統(tǒng)基于梯度信息的加權(quán)算法在非凸區(qū)域解分布不均或者無(wú)解的缺點(diǎn)，Kim 等人提出了一種自適應(yīng)加權(quán)多目標(biāo)優(yōu)化算法[11-12]。其基本思想是在傳統(tǒng)加權(quán)算法得到初始POF的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加額外約束并進(jìn)行子優(yōu)化的方式在分布不均勻的初始POF 上尋找未知區(qū)域的非支配解。優(yōu)化求解流程如圖2所示。

圖2 自適應(yīng)加權(quán)多目標(biāo)優(yōu)化算法流程

2.4 智能補(bǔ)點(diǎn)方法

為了保證最終近似POF的精度，本文引入智能補(bǔ)點(diǎn)方法來(lái)序列更新RBF模型。智能補(bǔ)點(diǎn)方法基于本次優(yōu)化所得POF的極值點(diǎn)、最大、最小距離點(diǎn)以及設(shè)計(jì)域邊界等信息插值生成補(bǔ)充樣本點(diǎn)[13]，其詳細(xì)流程如圖3所示。

圖3 智能補(bǔ)點(diǎn)方法流程[13]

2.5 收斂準(zhǔn)則

閾值η的默認(rèn)值為20%，當(dāng)優(yōu)化結(jié)果滿足式（6）時(shí)算法收斂：

式中，REPli、REPci、RPOFli、RPOFci分別為第i個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)上次和本次迭代得到的POF 極值點(diǎn)、上次和本次迭代得到的POF點(diǎn)。

3 數(shù)值算例

本文通過(guò)工字梁設(shè)計(jì)算例對(duì)建立的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化平臺(tái)性能進(jìn)行驗(yàn)證。如圖4所示，工字梁的設(shè)計(jì)要求為在2 個(gè)給定力的作用下，梁的垂直撓度最小，以梁的截面積和幾何尺寸作為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)要滿足應(yīng)力約束。這里設(shè)計(jì)變量均服從正態(tài)分布，作為輸入的不確定性因素。

圖4 工字梁設(shè)計(jì)問(wèn)題

該問(wèn)題的相關(guān)參數(shù)為：梁的容許彎曲應(yīng)力為60 MPa，楊氏模量為0.2 GPa，最大彎曲力F1=600 kN、F2=50 kN，梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=200 cm。

無(wú)量綱化處理后，該確定性多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可以表述為：

式中，F(xiàn)d(x)、Fa(x)分別為該工字梁的垂直撓度和橫截面積；g(x)為梁在上述工況下的應(yīng)力約束；x=[x1,x2,x3,x4]為尺寸設(shè)計(jì)變量，具體見圖4。

將應(yīng)力約束可靠度及設(shè)計(jì)變量變異系數(shù)分別設(shè)為99%和10%，建立與式（7）對(duì)應(yīng)的工字梁多目標(biāo)可靠性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)概率充分因子方法，可將該梁設(shè)計(jì)問(wèn)題的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化模型進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

為對(duì)比分析，首先采用最優(yōu)拉丁超立方方法抽取30個(gè)初始樣本點(diǎn)，經(jīng)過(guò)5次迭代后，算法收斂，共增加10個(gè)新樣本點(diǎn)。圖5給出了近似POF的逼近過(guò)程，由于最終近似POF 與真實(shí)POF 的一致性良好（除了上端部），該優(yōu)化平臺(tái)的有效性得到了證明。

圖5 近似POF的逼近過(guò)程

除提出的優(yōu)化平臺(tái)（方法1）外，為了深入比較研究，采用另外2 種方法求解該設(shè)計(jì)問(wèn)題，包括標(biāo)準(zhǔn)的基于代理模型的PSF方法[14]（方法2）和工程中常用的安全系數(shù)法（方法3）。在方法2 和方法3 中，采用最優(yōu)拉丁超立方方法生成50 個(gè)樣本點(diǎn)一步構(gòu)造RBF 模型，選擇多目標(biāo)粒子群算法作為求解器，考慮到算法的精度，將多目標(biāo)粒子群算法中的種群大小和最大迭代次數(shù)均設(shè)置為100。此外，方法3中的安全系數(shù)設(shè)為1.2。

3 種方法的優(yōu)化結(jié)果如表1 所示，與另外2 種方法相比，提出的優(yōu)化平臺(tái)在控制樣本點(diǎn)數(shù)量及提高算法效率方面都具有一定優(yōu)勢(shì)。圖6給出了3種方法所得近似POF 與真實(shí)POF 的對(duì)比結(jié)果。3 種方法所得近似POF的左側(cè)部分與真實(shí)POF高度一致，因此可以滿足可靠度R≥99%的設(shè)計(jì)要求。其右側(cè)部分，盡管方法1 和方法2的Pareto解精度并不十分理想，但與真實(shí)POF的誤差相對(duì)較小。因此，該優(yōu)化平臺(tái)能夠平衡優(yōu)化精度與效率之間的關(guān)系，可以在結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域有效應(yīng)用。

表1 3種方法的優(yōu)化結(jié)果

4 白車身性能仿真分析

4.1 白車身有限元建模

對(duì)某款純電動(dòng)汽車的全承載式白車身進(jìn)行設(shè)計(jì)，電池包位于該車身下部。以2D殼單元為主建立白車身有限元模型，如圖7所示。模型中的材料以Q235鋼為主，采用線彈性各向同性材料模型進(jìn)行模態(tài)與剛度分析，采用分段線性塑性材料模型進(jìn)行耐撞性分析。

圖6 3種優(yōu)化方法所得POF與真實(shí)POF的對(duì)比

圖7 白車身有限元模型

4.2 模態(tài)分析

基于Lanczos方法，計(jì)算了白車身前6階固有頻率，其值與相應(yīng)的振型如表2 所示。較高的車身基頻（1 階模態(tài)頻率）可以有效降低來(lái)自路面的加速度沖擊，而對(duì)于乘用車，基頻通常需要達(dá)到18～32 Hz 的范圍。初始設(shè)計(jì)的白車身基頻為26.24 Hz，基本滿足要求。

表2 白車身前6階固有頻率及振型

4.3 剛度分析

通過(guò)在白車身有限元模型上施加集中（F1～F4）與均布載荷（P1～P3），并限制前、后4個(gè)懸架連接位置的所有自由度，建立了彎曲剛度分析工況，如圖8所示，表3給出了彎曲工況相關(guān)參數(shù)。

扭轉(zhuǎn)剛度分析工況如圖9 所示，邊界條件定義為：在前軸的懸架減震塔處作用一對(duì)沿Z軸方向相反的力|FT|=5.89 kN，約束前軸中點(diǎn)Y軸和Z軸上的平動(dòng)自由度及旋轉(zhuǎn)自由度，其他邊界條件與彎曲剛度工況一致。

圖8 彎曲剛度工況邊界條件

表3 彎曲剛度載荷

圖9 扭轉(zhuǎn)剛度工況邊界條件

為了計(jì)算白車身的彎曲、扭轉(zhuǎn)剛度，在有限元模型上定義了一系列觀測(cè)點(diǎn)，如圖10所示。

圖10 白車身剛度計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)

白車身彎曲剛度KB、扭轉(zhuǎn)剛度KT計(jì)算公式為：

其中，ΣF為表1 中所列載荷總和；δzmax為觀測(cè)點(diǎn)的最大彎曲撓度；T為作用在前軸上的扭矩；θmax、θmin分別為由觀測(cè)點(diǎn)得到的車身最大、最小扭轉(zhuǎn)角。

計(jì)算可得，KB=5 545.8 N/mm，KT=5 021.0 N·m/(°)。

4.4 100%重疊正碰耐撞性分析

由于該工況下白車身變形主要集中在前部，為了提高效率，僅保留前部車身結(jié)構(gòu)，在車輛質(zhì)心位置定義質(zhì)量點(diǎn)代替與前端剛性連接的乘員艙及后部模型，簡(jiǎn)化處理后的仿真模型如圖11所示。碰撞初速度設(shè)為50 km/h，碰撞仿真時(shí)間為25 ms。計(jì)算可得總吸能與最大碰撞力分別為15.27 kJ和417.18 kN。

5 前部車身結(jié)構(gòu)多目標(biāo)可靠性優(yōu)化

5.1 優(yōu)化問(wèn)題定義

考慮到對(duì)白車身整體性能的巨大貢獻(xiàn)，對(duì)車身前部結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。鑒于電動(dòng)汽車節(jié)能與安全的重要性，以正碰吸能量以及前部車身結(jié)構(gòu)質(zhì)量為設(shè)計(jì)目標(biāo)，而最大碰撞力、基頻、彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度均不能低于初始設(shè)計(jì)水平。定義5 個(gè)部件厚度作為設(shè)計(jì)變量，如表4所示，考慮部件制造公差為不確定因素，設(shè)計(jì)變量服從正態(tài)分布，變異系數(shù)為10%。

圖11 簡(jiǎn)化后的正碰模型

前部車身結(jié)構(gòu)的確定性多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

式中，t=[t1,t2,t3,t4,t5]為設(shè)計(jì)變量；tL、tU分別為t的下限和上限；E(t)、M(t)、Fmax(t)、fb(t)、KB(t)及KT(t)分別為吸能量、質(zhì)量、最大碰撞力、基頻、彎曲剛度及扭轉(zhuǎn)剛度。

相應(yīng)的多目標(biāo)可靠性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

5.2 結(jié)果與分析

基于優(yōu)化平臺(tái)，采用最優(yōu)拉丁超立方方法抽取30個(gè)初始樣本點(diǎn)，經(jīng)過(guò)4次迭代后優(yōu)化收斂，共生成7個(gè)補(bǔ)充樣本點(diǎn)。最終的近似POF 包含了20 個(gè)備選設(shè)計(jì)方案，如表5所示。從表5中可知，盡管有3個(gè)解沒(méi)能滿足設(shè)計(jì)要求（V≥1），但其值已經(jīng)十分接近1，滿足工程需要。圖12 給出了近似POF 的迭代過(guò)程，可以看出車身前部吸能量與質(zhì)量相互制約，如果傾向于提高吸能量，則最終POF 左上部分的解（表5 中序號(hào)較大者）可作為備選方案，如果傾向于輕量化，則最終POF 右下部分的解（表5 中序號(hào)較小者）可作為備選方案。考慮到前部車身的綜合性能，這里選擇質(zhì)量相對(duì)較輕，力學(xué)性能均優(yōu)于初始設(shè)計(jì)的第18 個(gè)Pareto 解作為最終設(shè)計(jì)方案。如表6所示，由于與對(duì)應(yīng)的有限元仿真結(jié)果相比誤差可被接受，所以優(yōu)化精度滿足要求。

表5 最終近似POF中的備選設(shè)計(jì)方案

圖12 近似POF迭代過(guò)程

表6 最終近似POF中的備選設(shè)計(jì)方案

6 結(jié)束語(yǔ)

本文基于RBF 代理模型、概率充分因子方法、自適應(yīng)加權(quán)多目標(biāo)優(yōu)化算法及智能補(bǔ)點(diǎn)方法建立了一個(gè)車身結(jié)構(gòu)多目標(biāo)可靠性優(yōu)化平臺(tái)。以工字梁設(shè)計(jì)問(wèn)題為數(shù)值算例，對(duì)優(yōu)化平臺(tái)的實(shí)際應(yīng)用效果進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)與一步建立徑向基函數(shù)模型的概率充分因子方法及安全系數(shù)法對(duì)比分析，證明了優(yōu)化平臺(tái)在保證近似POF精度可接受的同時(shí)，在樣本量控制和計(jì)算效率方面具有一定優(yōu)勢(shì)。

最后，考慮模態(tài)、彎曲與扭轉(zhuǎn)剛度、正碰耐撞性及輕量化水平等性能，應(yīng)用優(yōu)化平臺(tái)對(duì)某款白車身前部結(jié)構(gòu)開展了優(yōu)化設(shè)計(jì)。最終的優(yōu)化方案在保證前部車身結(jié)構(gòu)吸能量提升的同時(shí)降低了質(zhì)量，并滿足可靠度要求。