高豐嶺 燕唐 戰(zhàn)楠 卜曉兵

（中汽研汽車檢驗中心（天津）有限公司，天津 300300）

主題詞：多目標可靠性優(yōu)化 車身結構優(yōu)化 序列更新代理模型 概率充分因子

1 前言

車身研發(fā)是復雜的系統(tǒng)問題，需要考慮包括結構耐撞性，靜、動態(tài)力學特性及輕量化水平等多種因素。與僅提供1個最優(yōu)解的單目標優(yōu)化相比，多目標優(yōu)化在車身設計中更常用，其可為設計人員提供由一系列折衷方案組成的帕累托最優(yōu)前沿（Pareto Optimal Front，POF），以便后續(xù)決策[1]。

在實際工程問題中，制造公差、載荷條件、材料特性、幾何結構等存在一定程度的不確定性[2]，為了避免執(zhí)行確定性多目標優(yōu)化時得到實際不可靠、不可行的設計方案，考慮上述不確定性因素開展車身結構多目標可靠性優(yōu)化設計十分必要。國內外學者在此方面開展了大量的研究工作。Shetty 和Nilsson[3]對B 柱總成的側面耐撞性設計進行了研究，比較了多目標確定性、可靠性和魯棒性優(yōu)化結果。Duan 等人[4]提出了一種改進的多目標可靠性優(yōu)化方法，并應用于概念車身設計。Lv 等人[5-6]分別實現(xiàn)了汽車前端和保險杠系統(tǒng)的多目標可靠性優(yōu)化。在這些研究中，代理模型在提升優(yōu)化效率方面起到了重要作用，但代理模型的構造更多憑借工程經(jīng)驗，如何兼顧優(yōu)化精度與效率仍需深入研究。

改善代理模型從而保證優(yōu)化精度的方法通常有2種[7]。一種是一步構造高質量代理模型。這種方法思路直接、流程簡單，在工程上廣為應用，但往往需要在整個設計域內大量采樣以增加其在真實解鄰域內出現(xiàn)的概率從而滿足精度要求，難以平衡優(yōu)化精度與效率。另一種為序列更新代理模型。其利用本次迭代得到的優(yōu)化結果生成補充樣本點，進而不斷提高優(yōu)化精度逐步逼近真實解。由于初始樣本點數(shù)量較少，后續(xù)補點可控，因此該類方法在整體優(yōu)化效率方面較前者更好。盡管該類方法具有廣闊的應用前景，但基于其開展車身結構多目標可靠性優(yōu)化仍然存在一些挑戰(zhàn)，比如可靠性約束的處理、優(yōu)化算法的選擇以及補點策略的制定等較難統(tǒng)籌，因而在不損失優(yōu)化精度的基礎上保證整體優(yōu)化效率存在困難。

鑒于此，本文集成概率充分因子法、自適應加權多目標優(yōu)化算法、徑向基函數(shù)代理模型以及自適應補點方法，構建基于序列更新代理模型技術的車身結構多目標可靠性優(yōu)化平臺，并對其進行測試和應用。

2 多目標可靠性優(yōu)化平臺

多目標可靠性優(yōu)化的數(shù)學表達式為：

式中，fi(x)、gj(x)分別為第i個設計目標和第j個確定性設計約束；x為具有一定分布特征的設計變量向量；xL、xU分別為x的下限和上限；P()為以Rj為目標可靠度的概率約束；q為設計目標總數(shù)；s為約束總數(shù)。

通過適當?shù)母怕始s束處理，將可靠性優(yōu)化問題轉化為確定性優(yōu)化問題，利用代理模型代替耗時的仿真模型并持續(xù)更新模型提升精度，采用高效多目標優(yōu)化求解器，即可求解得到高精度近似POF。建立的多目標可靠性優(yōu)化平臺計算流程如圖1所示。

2.1 徑向基函數(shù)代理模型

由于對非線性物理模型具有良好的描述能力，同時對離散多變量數(shù)據(jù)進行插值的能力較強，徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）模型在工程界與學術界都受到了高度重視。通常，RBF模型分為數(shù)量為m的徑向基函數(shù)和數(shù)量為n的帶加權系數(shù)的多項式項，其數(shù)學表達式為：

式中，‖x-μi‖為設計點x與觀測輸入μi之間的歐幾里德距離；φ為徑向基函數(shù)；λi為未知權重因子；φj(x)為多項式項；Cj為系數(shù)。

圖1 多目標可靠性優(yōu)化平臺計算流程

2.2 概率充分因子法

通過將安全因子與蒙特卡洛仿真得到的失效概率相結合，概率充分因子（Probabilistic Sufficiency Factor，PSF）法可以在僅增加一小部分計算量的條件下足夠精確地處理可靠性優(yōu)化問題[8-10]?；诟怕食浞忠蜃臃ǎ剑?）中相應的概率約束可替換為：

式中，s(x)為由確定性約束的上界或下界與其在優(yōu)化過程中計算的實際響應之比決定的安全系數(shù)；R為Rj的集合。

概率充分因子V是可靠性水平大于或等于R的安全系數(shù)，因此，式（3）可以進一步改寫為：

在蒙特卡洛仿真基礎上，V可由式（5）計算得出：

當V≥1 時，可靠性水平等于或高于目標值，因此設計方案滿足規(guī)定的安全要求；當V＜1 時，設計方案不滿足安全要求。此外，在優(yōu)化過程中，V可以用代理模型估算。

2.3 自適應加權多目標優(yōu)化算法

為了克服進化類算法計算效率低、傳統(tǒng)基于梯度信息的加權算法在非凸區(qū)域解分布不均或者無解的缺點，Kim 等人提出了一種自適應加權多目標優(yōu)化算法[11-12]。其基本思想是在傳統(tǒng)加權算法得到初始POF的基礎上，通過增加額外約束并進行子優(yōu)化的方式在分布不均勻的初始POF 上尋找未知區(qū)域的非支配解。優(yōu)化求解流程如圖2所示。

圖2 自適應加權多目標優(yōu)化算法流程

2.4 智能補點方法

為了保證最終近似POF的精度，本文引入智能補點方法來序列更新RBF模型。智能補點方法基于本次優(yōu)化所得POF的極值點、最大、最小距離點以及設計域邊界等信息插值生成補充樣本點[13]，其詳細流程如圖3所示。

圖3 智能補點方法流程[13]

2.5 收斂準則

閾值η的默認值為20%，當優(yōu)化結果滿足式（6）時算法收斂：

式中，REPli、REPci、RPOFli、RPOFci分別為第i個設計目標上次和本次迭代得到的POF 極值點、上次和本次迭代得到的POF點。

3 數(shù)值算例

本文通過工字梁設計算例對建立的多目標可靠性優(yōu)化平臺性能進行驗證。如圖4所示，工字梁的設計要求為在2 個給定力的作用下，梁的垂直撓度最小，以梁的截面積和幾何尺寸作為設計變量，同時要滿足應力約束。這里設計變量均服從正態(tài)分布，作為輸入的不確定性因素。

圖4 工字梁設計問題

該問題的相關參數(shù)為：梁的容許彎曲應力為60 MPa，楊氏模量為0.2 GPa，最大彎曲力F1=600 kN、F2=50 kN，梁的長度為L=200 cm。

無量綱化處理后，該確定性多目標優(yōu)化問題可以表述為：

式中，F(xiàn)d(x)、Fa(x)分別為該工字梁的垂直撓度和橫截面積；g(x)為梁在上述工況下的應力約束；x=[x1,x2,x3,x4]為尺寸設計變量，具體見圖4。

將應力約束可靠度及設計變量變異系數(shù)分別設為99%和10%，建立與式（7）對應的工字梁多目標可靠性優(yōu)化數(shù)學模型：

根據(jù)概率充分因子方法，可將該梁設計問題的多目標可靠性優(yōu)化模型進一步轉化為：

為對比分析，首先采用最優(yōu)拉丁超立方方法抽取30個初始樣本點，經(jīng)過5次迭代后，算法收斂，共增加10個新樣本點。圖5給出了近似POF的逼近過程，由于最終近似POF 與真實POF 的一致性良好（除了上端部），該優(yōu)化平臺的有效性得到了證明。

圖5 近似POF的逼近過程

除提出的優(yōu)化平臺（方法1）外，為了深入比較研究，采用另外2 種方法求解該設計問題，包括標準的基于代理模型的PSF方法[14]（方法2）和工程中常用的安全系數(shù)法（方法3）。在方法2 和方法3 中，采用最優(yōu)拉丁超立方方法生成50 個樣本點一步構造RBF 模型，選擇多目標粒子群算法作為求解器，考慮到算法的精度，將多目標粒子群算法中的種群大小和最大迭代次數(shù)均設置為100。此外，方法3中的安全系數(shù)設為1.2。

3 種方法的優(yōu)化結果如表1 所示，與另外2 種方法相比，提出的優(yōu)化平臺在控制樣本點數(shù)量及提高算法效率方面都具有一定優(yōu)勢。圖6給出了3種方法所得近似POF 與真實POF 的對比結果。3 種方法所得近似POF的左側部分與真實POF高度一致，因此可以滿足可靠度R≥99%的設計要求。其右側部分，盡管方法1 和方法2的Pareto解精度并不十分理想，但與真實POF的誤差相對較小。因此，該優(yōu)化平臺能夠平衡優(yōu)化精度與效率之間的關系，可以在結構優(yōu)化領域有效應用。

表1 3種方法的優(yōu)化結果

4 白車身性能仿真分析

4.1 白車身有限元建模

對某款純電動汽車的全承載式白車身進行設計，電池包位于該車身下部。以2D殼單元為主建立白車身有限元模型，如圖7所示。模型中的材料以Q235鋼為主，采用線彈性各向同性材料模型進行模態(tài)與剛度分析，采用分段線性塑性材料模型進行耐撞性分析。

圖6 3種優(yōu)化方法所得POF與真實POF的對比

圖7 白車身有限元模型

4.2 模態(tài)分析

基于Lanczos方法，計算了白車身前6階固有頻率，其值與相應的振型如表2 所示。較高的車身基頻（1 階模態(tài)頻率）可以有效降低來自路面的加速度沖擊，而對于乘用車，基頻通常需要達到18～32 Hz 的范圍。初始設計的白車身基頻為26.24 Hz，基本滿足要求。

表2 白車身前6階固有頻率及振型

4.3 剛度分析

通過在白車身有限元模型上施加集中（F1～F4）與均布載荷（P1～P3），并限制前、后4個懸架連接位置的所有自由度，建立了彎曲剛度分析工況，如圖8所示，表3給出了彎曲工況相關參數(shù)。

扭轉剛度分析工況如圖9 所示，邊界條件定義為：在前軸的懸架減震塔處作用一對沿Z軸方向相反的力|FT|=5.89 kN，約束前軸中點Y軸和Z軸上的平動自由度及旋轉自由度，其他邊界條件與彎曲剛度工況一致。

圖8 彎曲剛度工況邊界條件

表3 彎曲剛度載荷

圖9 扭轉剛度工況邊界條件

為了計算白車身的彎曲、扭轉剛度，在有限元模型上定義了一系列觀測點，如圖10所示。

圖10 白車身剛度計算觀測點

白車身彎曲剛度KB、扭轉剛度KT計算公式為：

其中，ΣF為表1 中所列載荷總和；δzmax為觀測點的最大彎曲撓度；T為作用在前軸上的扭矩；θmax、θmin分別為由觀測點得到的車身最大、最小扭轉角。

計算可得，KB=5 545.8 N/mm，KT=5 021.0 N·m/(°)。

4.4 100%重疊正碰耐撞性分析

由于該工況下白車身變形主要集中在前部，為了提高效率，僅保留前部車身結構，在車輛質心位置定義質量點代替與前端剛性連接的乘員艙及后部模型，簡化處理后的仿真模型如圖11所示。碰撞初速度設為50 km/h，碰撞仿真時間為25 ms。計算可得總吸能與最大碰撞力分別為15.27 kJ和417.18 kN。

5 前部車身結構多目標可靠性優(yōu)化

5.1 優(yōu)化問題定義

考慮到對白車身整體性能的巨大貢獻，對車身前部結構進行優(yōu)化設計。鑒于電動汽車節(jié)能與安全的重要性，以正碰吸能量以及前部車身結構質量為設計目標，而最大碰撞力、基頻、彎曲剛度、扭轉剛度均不能低于初始設計水平。定義5 個部件厚度作為設計變量，如表4所示，考慮部件制造公差為不確定因素，設計變量服從正態(tài)分布，變異系數(shù)為10%。

圖11 簡化后的正碰模型

前部車身結構的確定性多目標優(yōu)化數(shù)學模型為：

式中，t=[t1,t2,t3,t4,t5]為設計變量；tL、tU分別為t的下限和上限；E(t)、M(t)、Fmax(t)、fb(t)、KB(t)及KT(t)分別為吸能量、質量、最大碰撞力、基頻、彎曲剛度及扭轉剛度。

相應的多目標可靠性優(yōu)化數(shù)學模型為：

5.2 結果與分析

基于優(yōu)化平臺，采用最優(yōu)拉丁超立方方法抽取30個初始樣本點，經(jīng)過4次迭代后優(yōu)化收斂，共生成7個補充樣本點。最終的近似POF 包含了20 個備選設計方案，如表5所示。從表5中可知，盡管有3個解沒能滿足設計要求（V≥1），但其值已經(jīng)十分接近1，滿足工程需要。圖12 給出了近似POF 的迭代過程，可以看出車身前部吸能量與質量相互制約，如果傾向于提高吸能量，則最終POF 左上部分的解（表5 中序號較大者）可作為備選方案，如果傾向于輕量化，則最終POF 右下部分的解（表5 中序號較小者）可作為備選方案?？紤]到前部車身的綜合性能，這里選擇質量相對較輕，力學性能均優(yōu)于初始設計的第18 個Pareto 解作為最終設計方案。如表6所示，由于與對應的有限元仿真結果相比誤差可被接受，所以優(yōu)化精度滿足要求。

表5 最終近似POF中的備選設計方案

圖12 近似POF迭代過程

表6 最終近似POF中的備選設計方案

6 結束語

本文基于RBF 代理模型、概率充分因子方法、自適應加權多目標優(yōu)化算法及智能補點方法建立了一個車身結構多目標可靠性優(yōu)化平臺。以工字梁設計問題為數(shù)值算例，對優(yōu)化平臺的實際應用效果進行了驗證。通過與一步建立徑向基函數(shù)模型的概率充分因子方法及安全系數(shù)法對比分析，證明了優(yōu)化平臺在保證近似POF精度可接受的同時，在樣本量控制和計算效率方面具有一定優(yōu)勢。

最后，考慮模態(tài)、彎曲與扭轉剛度、正碰耐撞性及輕量化水平等性能，應用優(yōu)化平臺對某款白車身前部結構開展了優(yōu)化設計。最終的優(yōu)化方案在保證前部車身結構吸能量提升的同時降低了質量，并滿足可靠度要求。