【摘要】當下的數(shù)學課堂教學中，部分教師存在一定的盲目性，主要表現(xiàn)為憑借以往的經(jīng)驗或主觀臆斷等來進行教學，缺乏依據(jù)和標準而忽略學生的真實情況。循證，即基于“證據(jù)”的數(shù)學學習，強調(diào)教師教學決策要基于學生“真實”的事實性材料。文章從收集“證據(jù)”、分享“證據(jù)”、關聯(lián)“證據(jù)”、補充“證據(jù)”四個方面建構基于“證據(jù)”的數(shù)學學習的一般路徑。

【關鍵詞】循證;思維痕跡;思維進階;學習力

對于教師而言，教學活動的推進在很大程度上是教師基于主觀經(jīng)驗的一種選擇。而學生的思維活動軌跡是隱匿的、不可見的，真實的學習過程存在于學生的大腦中，在無形中發(fā)生。如何讓學習活動“被看見”？如何讓思維對話“真發(fā)生”？為此，筆者倡導一種基于“證據(jù)”的“可見的學習”。

一、聚焦：一個課間故事引發(fā)的思考

一名學生在計算48÷7=6……6這一題時，反復擦、寫，眉頭緊鎖。這讓筆者頗感奇怪，這分明是對的，學生在糾結(jié)什么呢？于是，師生展開了以下對話。

生：我算了好幾遍，都是商6余6，這對嗎？

師：你到底在擔心什么？困惑之處在哪里呢？和老師說說。

生：商和余數(shù)都是6，可以嗎？

師：你為什么認為不可以是6呢？

生：上午有一個題目，就是這樣的，但是您說不對，讓我訂正?。▽W生把題目拿出來，如圖1）

看了學生的錯題，筆者恍然大悟：這道題目的錯誤在于余數(shù)比除數(shù)大，可是學生卻以為余數(shù)不能和商一樣大。學生只是在表面上改正了錯題，并沒有厘清余數(shù)和除數(shù)的大小關系，反而形成一個新的錯誤觀念：有余數(shù)的除法，商和余數(shù)不能相同。此事引起教師間的熱烈討論：如何使學生遠離主觀猜測、慣用經(jīng)驗？如何捕捉學生的思維痕跡，讓學生和學習真實相遇？

約翰·哈蒂教授所著《可見的學習——最大程度地促進學習》一書的核心概念就是“可見的學習”，書中出示了相關的數(shù)據(jù)來證明，學生的“學”要對教師可見，當“可見”發(fā)生時，對學生學習產(chǎn)生的效應最大。[1]從教學實際來理解，教師要時刻站在學生的角度去審視自己的教學行為，并且基于學生的反饋及時調(diào)整自己的教學行為。由此，筆者提出“循證”，即基于“證據(jù)”的數(shù)學學習，以期投石問路，為數(shù)學教師的教學探索提供一些思考。

二、叩問：“循證”的概念與價值探尋

（一）何為“循證”：對“循證”學習的內(nèi)涵探尋

循證，不是通過經(jīng)驗、猜測來指導教學，而是“遵循證據(jù)”?！白C據(jù)”通過多種多樣的方式存在，它通常是課程標準要求、課前調(diào)研、學生訪談、作品批改、課堂觀察、試卷數(shù)據(jù)反饋、學后反思等事實性材料，這些都可稱為“證據(jù)”。通過“循證”，教師可有效捕捉學生真實的思維痕跡，讓學生的思維過程變得可見，從而精準把握學生的困難和障礙，不斷調(diào)整、優(yōu)化教學策略。

（二）為何“循證”：對“循證”學習的意義和價值追溯

1.觸摸學生不可視的內(nèi)隱性思維

“為何題目講了很多遍，后面做依然出錯？”歸根結(jié)底，教師沒有捕捉學生錯誤背后的真實思維，沒有收集“證據(jù)”，僅僅依靠主觀判斷出錯原因。基于“證據(jù)”的學習，通過訪談、畫一畫等方式，將學生原生態(tài)的內(nèi)隱思維顯性化，呈現(xiàn)學生的“真實思維”過程。

2.優(yōu)化教師的教學決策

教師往往憑借自己以往的經(jīng)驗，對學生的學習起點做出假設，再根據(jù)教材、課程標準和教師用書的相關規(guī)定展開教學，這樣的教學忽略了學生的真實情況。通過“證據(jù)”的收集，教師可以清晰地看到所有學生的學習過程，在此基礎上進行判斷、分析、調(diào)整、優(yōu)化，從而制訂以“學”為中心的教學決策。

3.課堂深度變革的新載體

循證，基于“證據(jù)”，強調(diào)“真實”。它要求教師至少經(jīng)歷以下4個環(huán)節(jié)：

（1）收集證據(jù)——遠離“教學盲目性”，注重捕捉“證據(jù)”。

（2）精準分析——學生的起點、困惑或障礙究竟在哪里。

（3）有效引導——基于學生的起點，教師需要作出哪些引導。

（4）調(diào)整反思——實現(xiàn)有效引導，需要怎樣的教學行為。

除此之外，教師還可以引導學生從最終結(jié)果出發(fā)，反思解決問題的整個過程，發(fā)現(xiàn)存在困惑的主要原因，修正、完善解決問題的思路，為后續(xù)的循證學習積累更多的可能性知識。

三、實踐：“可見的學習”理論下的兒童思維“能見度”提升的路徑建構

（一）收集“證據(jù)”，研讀學生的“前狀態(tài)”

收集“證據(jù)”，是為了充分把握學生在知識學習中的可能狀態(tài)，了解學生在解決問題過程中可能出現(xiàn)的多種解決方案，注重學生個體差異，使不同水平學生的數(shù)學素養(yǎng)都能在原有基礎上得到提升。

1.大問題：給學生適度的探究空間

教學設計要指向?qū)W科內(nèi)容的本質(zhì)問題，給每一個學生預留探究空間，讓每一個學生都自由開放地展示自己的真實思維方式，呈現(xiàn)自己的獨特理解。對于蘇教版數(shù)學五年級下冊“和與積的奇偶性”一課，筆者這樣設計問題：

小明說：“任意選兩個不為0的自然數(shù)相加，有這樣的規(guī)律：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)”，小明說得對嗎？為什么？把你的思考過程寫下來。

這個問題給不同層次水平的學生留足了空間，使不同層次水平的學生都有個性化的理解（如圖2），使每個學生的思維痕跡清晰地呈現(xiàn)出來。教師找到學生學習起始狀態(tài)的證據(jù)，據(jù)此可預見各種不同的觀點在課堂內(nèi)相互碰撞、激蕩，也可在此基礎上引導學生完成知識體系的建構，實現(xiàn)思維進階。

2.小工具：讓差異成為教學資源

教師在課堂上不能對學生的差異視而不見，不能只關注少數(shù)學優(yōu)生而忽略部分學困生，也不能犧牲部分學優(yōu)生的發(fā)展換取一部分學困生的進步，而應當深入發(fā)掘?qū)W生的差異，創(chuàng)造合適的機會和條件，促進學生最大程度的發(fā)展。

（1）提供小錦囊。在教學拓展課“有趣的估算”時，在“估算一頁紙有多少個字？”的學習活動中，教師提出如下要求：

·獨立思考，設計方案

·小組交流，評估方案

·小組合作，操作實踐（算、畫、折、撕）

·小錦囊

教師關注三類不同學習水平的學生：水平高的可以自主探索，水平一般的，教師給予提示“算、畫、折、撕”，水平偏低的，教師給予小錦囊。這樣的設計使每一個層次水平的學生都參與學習中，留下思考的痕跡。需要特別注意的是，小錦囊并不是直接告知學生答案，而是提供一個思考的可能路徑，使研究任務更明確，或者通過溫習之前的學習片段，喚醒學生的某種經(jīng)驗。在學習片段中，筆者提供了一個小錦囊（如圖3），它再現(xiàn)了學生自主探索的一般步驟，旨在喚醒學生已有的經(jīng)驗，并將其運用到新情境，完成知識的遷移過程。

【小錦囊】同學們，一年級的時候，我們曾解決過這樣的一個問題。當時我們的方法是： 先圈出其中的一塊，再看看這樣的有幾塊。同學們，有啟發(fā)了嗎？

每數(shù)10顆圈一圈，邊數(shù)邊估，大約有幾十顆？

（2）開展小打卡。對課前小研究等學習活動采取敷衍態(tài)度的學生，很難有真正有效的學習體驗，教師也難以捕捉其思維痕跡。小打卡，是讓學生獲得有效學習體驗、留下思維痕跡的好工具。在教學“分米和毫米”一課時，教師在教完“毫米”后，提供了一張任務單（如圖4）。教師提請小組長注意：四個活動必須按順序一個一個進行。以“指一指”為例，后面有四個選項，已經(jīng)指出的學生要在對應的選項上打鉤，當四個學生都完成打鉤后，才能進行第二個活動。這樣的教學安排，真正把每一個學生都帶入活動之中，學習活動變得有序，現(xiàn)場更加安靜，活動時間縮短，學習效率得到明顯提高。

（二）分享“證據(jù)”，每一種思維都被看見

在分享“證據(jù)”的環(huán)節(jié)中，教師要努力讓不同層次水平的學生都獲得分享思考的機會，通?？梢赃@樣處理。

1.多元對話，營造有層次的交流

教師嘗試把每一個學生都帶入學習中，可以從組內(nèi)到全班、從層次低到層次高的原則進行。

（1）從組內(nèi)討論到全班交流。組內(nèi)討論即每個學生有序分享、傾聽、對話，在組內(nèi)伙伴的幫助下，否定、調(diào)整、補充觀點，在對話和交流中完成思維的進階。教師在教學時如把這樣的思維進階活動通過追問形式在課堂呈現(xiàn)，實際上是對寶貴教學資源的有效利用。筆者在巡堂期間發(fā)現(xiàn)，面對“從實驗小學去電影院可以怎么走？”這個問題，有學生回答“先往西南方向走2格，再往西走1格”（如圖5），組內(nèi)成員立刻指出其中的問題：“正西、正南方向之間的區(qū)域，都是西南，你說西南不合適?！痹陔S后的交流中，筆者追問：“哪些同學通過小組內(nèi)的交流，有了新的收獲？”鼓勵學生在全班分享自己的思考成果，這樣的“證據(jù)”分享有獨特的意義。

（2）從低層次到高層次。分享證據(jù)的理想狀況是先分享思維層次低的，再慢慢過渡到思維層次高的，從不全面到全面，這體現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程，也符合學生認知規(guī)律。層層遞進的討論，保證各種層次、各種風格的思維痕跡都被看見，使學生經(jīng)歷一個完整的學習過程。如在“和與積的奇偶性”教學中，學生呈現(xiàn)了四種解法：解法一，學生簡單舉3個例子;解法二，學生意識到舉幾個例子不全面，需涵蓋所有情況，所以就從末尾去考慮，列舉出所有情況的末尾數(shù)字;解法三，學生在作品二的基礎上增加列表整理的思考;解法四，學生采用更加直觀的方式進行解釋。

證據(jù)僅僅是學生思考的最終結(jié)果，學生的思考過程究竟是怎樣的呢？在教學中，教師應當適度挖掘，這也是教師尋找證據(jù)的有效方式。對于作品四，教師可以追問：“這里的‘落單二字，究竟是什么意思？”通過追問，學生靜態(tài)思維成果背后的動態(tài)思考過程就能一一呈現(xiàn)。

2.減少干預，豐富生生對話的過程

特級教師仲廣群在其著作《教學新密碼：小學數(shù)學“助學課堂”范式》中提到：深入剖析生生互動的情形，通常就是提問、補充等6種（如圖6），每位教師都應當努力把這幾種機制有機運用于課堂中。

·評價·在對方表達特別清晰時，教師可以引導學生評價：“他通過畫一畫，借助手勢指一指，表達起來讓我們感到很清晰?！?/p>

·反駁·在不同意對方觀點時，教師可以引導學生反駁：“我反對你的觀點，因為……”

·補充·在對方?jīng)]有表達完整時，教師可以引導學生補充：“我對你的觀點有一點補充，請大家看我的學習單?！?/p>

……

事實上，教師這個權威適度隱退，有意識地在課堂上反復實踐這幾種教學方法，引導學生思考和表達，可以捕捉更多學生學習的證據(jù)，利于教師調(diào)整和優(yōu)化后續(xù)的教學進程。在積極的學習氛圍引導和影響下，學生學習探究的興趣被激發(fā)，引發(fā)生生之間的對話，交流過程被拉長，教學效果顯著。

（三）關聯(lián)“證據(jù)”，實現(xiàn)思維的進階

通過前期收集、分享“證據(jù)”，學生思維有一定程度的進階，但還停留在模糊、零散、膚淺的水平，教師要嘗試關注不同“證據(jù)”之間的聯(lián)系，尋找聯(lián)結(jié)點，使學生的認知逐漸清晰與深刻。

1.經(jīng)歷“織網(wǎng)”：知識結(jié)構的完整建構

學習，不是把孤立、靜止、碎片化的知識一個勁地往籮筐里裝，而是要看到知識之間的彼此關聯(lián)，經(jīng)歷知識結(jié)構化的過程。教學過程中，有學生提出減法和除法也有交換律，如“3-3=0，4-4=0，8÷8=1”。筆者引導學生通過反例澄清這個觀點后，又有學生提出，“減法、除法可能也有交換律，而且適合所有情況”（如圖7）。他的這個觀點，贏得了班級同學的認可。

師：仔細看這兩道算式（手指第2組算式的2、8），大家覺得它和哪個乘法算式緊密相關？

生：2×8=16。2、8可以調(diào)換，不是因為除法交換律，而是因為2×8=16這個乘法算式，我覺得它本質(zhì)上就是乘法交換律！

教師巧妙借助證據(jù)之間的關聯(lián)進行追問，給學生提供了思維進階的路徑，使一些碎片化的知識系統(tǒng)化和結(jié)構化，將學生的一個個知識點編織成利于理解、利于內(nèi)化、利于遷移的網(wǎng)狀知識。

2.經(jīng)歷“播種”：知識技能和思想方法的完整審視

證據(jù)的關聯(lián)可以是多樣的，如對與錯的關聯(lián)，同中求異、異中求同的關聯(lián)，簡單與復雜的關聯(lián)，也可以是數(shù)與形的關聯(lián)……關聯(lián)的最終目的，就是為了引領學生“登高”，實現(xiàn)思維進階。[2]

在教學蘇教版數(shù)學四年級下冊“你知道嗎？”關于“三角形穩(wěn)定性”時，筆者這樣處理：提供兩組學習材料，明確告知學生一組小棒的長度分別為8厘米、6厘米、5厘米，另一組則是5厘米、6厘米、8厘米。接著，教師讓學生猜測圍成的三角形是否相同，學生在猜一猜、看一看、圍一圍、拉一拉的活動中發(fā)現(xiàn)三角形是完全一樣的。最后，教師總結(jié)，“通過剛才的交流發(fā)現(xiàn)，三角形邊定了，形狀也就定了，不容易變形。而且，我們還發(fā)現(xiàn)三角形三條邊分別相等的時候，兩個三角形是完全相同的”。

學生猜測“圍成三角形是否一樣”后，接著圍出作品。每個學生作品的呈現(xiàn)過程，實際上就是一次證據(jù)的關聯(lián)過程，學生能夠在這樣的證據(jù)關聯(lián)中感悟“邊定了，形狀自然也就定了”“三角形具有穩(wěn)定性”的科學道理。學生對穩(wěn)定性有了更加深刻的理解，也為學生初中要學習的全等三角形的“邊邊邊定理”打下基礎。這次學習經(jīng)歷，使學生對學科知識的認識走向深刻，思維實現(xiàn)進階。

3.經(jīng)歷“反思”：思維進階感悟的完整呈現(xiàn)

對于課堂上思維顯著進階的學生，教師可以設置一些教學環(huán)節(jié)，引導學生回顧和反思，讓學生說一說自己將“原證據(jù)”（通常指自己的原思考）與“現(xiàn)證據(jù)”（通常指經(jīng)學習受啟發(fā)之后的新思考）進行對比后獲得的感悟，讓這部分學生思維進階的歷程在課堂清晰地呈現(xiàn)。如在小組討論后，教師可以問：“通過剛才小組的討論，哪些同學對這個問題有了新的收獲？如果有，你能說說你原來是怎么想的，得到誰的幫助，現(xiàn)在是怎么想的？”教師要放手讓學生走一走崎嶇路，爬一爬思維坡，接著再促一促學生自我反思，適時完整呈現(xiàn)其真實的思維進階過程，尋找思路的轉(zhuǎn)折點，讓學習徹底被看見，以啟發(fā)更多的學生共同實現(xiàn)學習進階。

（四）補充“證據(jù)”，提升學生的學習力

“證據(jù)”的進一步補充，主要是讓不同層次的學生保持持續(xù)學習，不斷提升自身的學習力。教師可以引導學生補充“我的提醒”“我的困惑”“好題分享”等證據(jù)，也可以提供“數(shù)學史料”“人文故事”以及指向關鍵能力的練習題，如“我來挑戰(zhàn)”等。通過這樣的小路徑，師生共同補充更加豐富的“證據(jù)”，促進不同層次學生的進一步發(fā)展。這對教師專業(yè)素養(yǎng)提出了更高要求：教師準備的“數(shù)學史料”在何時呈現(xiàn)？學生好題呈現(xiàn)的順序是什么？這些都需要教師在“證據(jù)”補充時相機而行。

總之，基于“證據(jù)”的教學，它更強調(diào)充分利用學生先前的知識基礎和生活經(jīng)驗，強調(diào)教師在學生學習路徑的每一步找到學習發(fā)生的證據(jù)，看見學生學習過程中思維活動的痕跡，以一種尊重個性、關注學生發(fā)展的方式，讓學生在不斷沖突、啟發(fā)和思維的碰撞中實現(xiàn)學習的進階，最終實現(xiàn)學習力的提升。事實上，這樣的學習，更加契合我們所追求的深度學習和發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的整體目標。思維只有“被看見”，交流才有意義，對話才成為可能，“真學習”才會真正發(fā)生。

參考文獻：

[1]楊建偉.教師角色重構：基于《可見的學習：最大程度地促進學習》一書的再思考[J].生活教育，2020（1）：42-45.

[2]王飛.小學數(shù)學課堂教學中學情證據(jù)的收集與利用[J].小學數(shù)學教育，2019（24）：7-9.

（責任編輯：馬龍珠）

【作者簡介】王江，一級教師，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市優(yōu)秀教育工作者，南京市師德先進個人。

【基金項目】南京市教育科學“十三五”規(guī)劃課題“基于多維對話的課堂新生態(tài)的校本研究”（L/2016/146）