李明，游有鵬，楊雪峰

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

為實現(xiàn)數(shù)控裝備的平穩(wěn)控制，運動加減速控制得到廣泛而持久的重視，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了多種加減速規(guī)劃算法。梯形加減速因其實現(xiàn)簡單被最早提出和廣泛使用，但存在剛性沖擊，只能用于運動平穩(wěn)性要求不高的場合[1]；指數(shù)加減速離散形式適合于遞推計算，但精度不足，且加減速起點沖擊較大；ERKORKMAZ K提出了S形加減速規(guī)劃方法[2]，可以實現(xiàn)加速度連續(xù)但存在柔性沖擊。穆海華等[3]提出了用于點位控制的初末速度為0的S形加減速控制方法；劉志峰和楊亮亮等[4-5]使用牛頓迭代法和智能算法求解各階段時間，OS ORNIORIOS R A等[6-7]提出用于離散系統(tǒng)的多項式加減速控制方法。郭新貴等[8]基于三角函數(shù)提出了正弦加減速，其各階加速度均連續(xù)，擁有最優(yōu)越的加減速柔度，但是正弦函數(shù)計算復(fù)雜，不易在資源有限的嵌入式系統(tǒng)中滿足實時計算要求；李加文等[9]提出采用函數(shù)逼近的方法改造三角函數(shù)加減速，加快了計算速度，但是逼近函數(shù)導(dǎo)致了加加速度不連續(xù)，不適合高速高精場合。近年來，關(guān)于加加速度連續(xù)的加減速研究也在持續(xù)進(jìn)行。李志杰等[10]提出了加加速度連續(xù)的S形加減速算法；翁祖昊等[11]提出了基于五次多項式的變Jmax加減速算法；趙翔宇等[12]提出了三次S曲線加減速算法。但是這些都不可避免地帶來了巨大計算量，不利于實際應(yīng)用。

在三角函數(shù)加減速優(yōu)良特性的啟發(fā)下，本文設(shè)計出一種采用多項式替代三角函數(shù)構(gòu)造加加速度方程，并結(jié)合S加減速的特點給出七段式的完整加減速規(guī)劃，最后通過仿真驗證本方法運動控制的平滑性。

1 連續(xù)的加加速度方程

為了得到平穩(wěn)而高效的加減速規(guī)劃，本文加減速設(shè)計方案從以下幾個方面考慮：位移、速度、加速度滿足邊界條件；位移、速度、加速度、加加速度曲線形狀理想，沒有沖擊；加減速時間盡可能短；算法應(yīng)盡量簡潔，復(fù)雜度可以滿足實時性要求。

因此，本節(jié)首先利用多項式逼近正弦函數(shù)，構(gòu)造連續(xù)可導(dǎo)的加加速度方程，在此基礎(chǔ)上通過積分得到各物理量方程，從而得到運動平穩(wěn)而計算相對簡單的完整加減速算法。

1.1 三角函數(shù)的多項式逼近

三角函數(shù)加減速擁有優(yōu)越的柔性度，但是計算復(fù)雜，不易在算力有限的嵌入式系統(tǒng)中滿足實時計算要求。其加加速度函數(shù)如下

(1)

其中：T為加速度加速時間，函數(shù)在t=T/2處取得最大加加速度Jmax。

令

(2)

代入式(2)得到

j(x)=-Jmaxsin(πx)

(3)

對f(x)=sin(πx)進(jìn)行切比雪夫多項式逼近，階數(shù)取4，得到

(4)

為滿足邊界條件，將系數(shù)圓整后得到如下形式：

(5)

將式(2)代入可以得到

(6)

1.2 連續(xù)的加加速度方程

為了使加加速度曲線具有對稱性，將式(6)關(guān)于t=T/2對稱后得到

(7)

將式(6)與式(7)相加后得到對稱形式的加加速度方程如下：

(8)

其中k為待定系數(shù)，滿足在區(qū)間[0,T]內(nèi)j(t)≤Jmax，并在t=T/2處取得最大值Jmax，可以解得系數(shù)|k|=4Jmax。由多項式表示的加加速度方程具有二階連續(xù)可導(dǎo)的特點，計算上又比正弦函數(shù)更加簡單。時間t滿足t=iTs，i∈(1,2,…,n)，Ts為控制周期，n為T/Ts的最大整數(shù)。

2 加加速度連續(xù)的加減速算法

類似S形加減速的七段控制特點，本文加加速度方程j(t)如下：

(9)

其中k1、k3、k5、k7為加加速度方程系數(shù)，|k1|=|k3|=|k5|=|k7|=4·Jmax。積分后得到式(10)-式(12)。

a(t)=

(10)

(11)

(12)

其中：Vs、Ve分別為初、末速度；A、D分別為所達(dá)到的最大加速度和最大減速度；Vc為勻速運動時的速度，在數(shù)控系統(tǒng)中一般等于最大進(jìn)給速度；T1-T7分別代表加減速過程中各階段時間。

連續(xù)加加速度的加減速規(guī)劃的各階段曲線如圖1所示。其中，前3個階段為加速階段，第1階段加加速度為正值，此時加速度在增加，系統(tǒng)處于正向加速狀態(tài)；第2階段，加加速度為0，加速度不變，系統(tǒng)處于勻加速運動狀態(tài)；第3階段，加加速度為負(fù)值，此時加速度在減小，系統(tǒng)處于減加速狀態(tài)。其次是勻速階段，此時系統(tǒng)按照速度Vc勻速運動。最后是減速的3個階段t4-t7，其與加速過程的前3個階段正好相反。

圖1 加加速度連續(xù)的加減速規(guī)劃曲線

3 仿真分析

根據(jù)本文加減速規(guī)劃進(jìn)行運動控制時，還需要根據(jù)實際情況進(jìn)行控制計算，即基于給定的系統(tǒng)參數(shù)和初末速度以及運動行程，求解本加減速規(guī)劃的各個階段時間T1-T7。本文設(shè)計了如下加減速控制仿真實驗，最大加加速度Jmax= 50000mm/s3，最大允許加速度為2000mm/s2,進(jìn)給速度150mm/s，在給定初速度Vs、末速度Ve以及路程S的情況下，實際運動過程的5種情況如下：

1) 能夠達(dá)到末速度Ve且可達(dá)到最大進(jìn)給速度F、最大加速度Amax；

2) 能夠達(dá)到末速度Ve、最大加速度Amax，但沒有達(dá)到最大進(jìn)給速度F；

3) 能夠達(dá)到末速度Ve，但沒有達(dá)到最大加速度Amax和最大進(jìn)給速度F；

4) 剛好達(dá)到末速度Ve，末速度即為最大速度Vmax；

仿真結(jié)果見表1。

表1 5種情況仿真實驗數(shù)據(jù)

圖2 情況1的速度曲線

圖3 情況2的速度曲線

圖4 情況3的速度曲線

圖5 情況4的速度曲線

圖6 情況5的速度曲線

為了比較本文加減速和正弦加減速的性能優(yōu)劣，設(shè)計了對比試驗如下，系數(shù)參數(shù)：最大加加速度Jmax=50000mm/s3，最大允許加速度為2000mm/s2,進(jìn)給速度150mm/s。仿真曲線如圖7所示。

圖7 本文加減速與正弦加減速曲線對比

從圖7可以看出，在由同一初速度加速到進(jìn)給速度的過程中，本文加減速和正弦加減速兩者均可獲得加加速度連續(xù)的平滑加減速，而本文方法加速到給定速度所需的加速時間更短，具有更高的加減速效率。另外，在計算機(jī)領(lǐng)域，正弦函數(shù)的計算復(fù)雜度高于O(n10)，遠(yuǎn)高于本文加減速位移方程的最大復(fù)雜度O(n5)，因而在實際計算中，后者更適用于實時性要求較高的數(shù)控系統(tǒng)。

4 結(jié)語

本文在切比雪夫多項式的基礎(chǔ)上，通過修正處理得到了曲線對稱且連續(xù)的加加速度方程；通過積分得到了加速度、速度、位移方程，進(jìn)而得到七段式的新型加減速算法。仿真結(jié)果表明，在不同初始參數(shù)下，本加減速都可以實現(xiàn)平滑控制。本文算法與正弦加減速的對比實驗表明，兩者均可獲得加加速度連續(xù)的平滑加減速，而本加減速效率更高，且計算大幅簡化。