張肖平，于金飛，崔英英，于金鵬

(1. 青島大學 自動化學院，山東 青島 266071；2. 淄博市技師學院，山東 淄博 255025； 3. 山東勞動職業(yè)技術(shù)學院，山東 濟南 250022)

0 引言

永磁同步電動機(PMSM)憑借其體積小、功率密度高、動態(tài)性能好、可靠性強等優(yōu)點在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛應用[1]。然而PMSM多變量、強耦合、易受外部負載擾動影響等特性會影響控制性能，因此如何克服上述問題已經(jīng)成為了研究熱點。隨著相關(guān)研究者對PMSM的深入研究，許多控制方法被提出并得到了快速發(fā)展。例如反步控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、模糊控制、自適應控制和哈密頓控制等[2-6]。

文獻[7]提出了一種針對PMSM的有限時間動態(tài)面控制方法。有限時間控制[8]是一種簡單有效的控制方法，與漸近控制方法相比，不僅可以提高系統(tǒng)的響應速度，還能夠使跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到原點的一個充分小鄰域內(nèi)，從而提高控制精度。在實際應用中，當電動機在輕載條件下長期工作時，電動機會產(chǎn)生大量的鐵芯損耗[9]，從而嚴重影響控制性能。此外，傳統(tǒng)控制策略忽略了輸入飽和[10]問題，會導致輸入電壓過高，從而影響控制系統(tǒng)的控制性能和穩(wěn)定性。

本文針對考慮鐵損的PMSM中存在的飽和問題，提出了一種有限時間自適應模糊動態(tài)面控制方法。首先采用有限時間控制技術(shù)提高了系統(tǒng)的收斂速度，縮短了系統(tǒng)的響應時間，減少了跟蹤誤差；然后引入動態(tài)面技術(shù)，有效解決了傳統(tǒng)反步法中存在的計算復雜性問題；最后利用一個光滑的分段函數(shù)g(v)來逼近飽和函數(shù)，解決輸入飽和問題，使電動機更加安全穩(wěn)定。

1 同步電動機的數(shù)學模型

考慮帶有鐵損的同步電動機動態(tài)數(shù)學模型[9]如下:

為了簡化上述數(shù)學模型，將變量重新定義如下：

其中：id、iq代表d-q軸電流；ud、uq表示d-q軸電壓；iod和ioq分別代表d-q軸勵磁電流分量。其余參數(shù)的定義在文獻[9]中有具體說明?？紤]鐵損的PMSM動態(tài)數(shù)學模型可表示為：

考慮同步電動機輸入飽和問題如下：umin≤v≤umax，其中umin和umax分別代表已知定子輸入電壓的最小值和最大值，即：

其中：umax>0和umin<0都為輸入約束限制的未知常數(shù)；v為實際的輸入信號。利用分段光滑函數(shù)g(v)來近似約束函數(shù)，定義為：

其中：u=sat(v)=g(v)+d(v)，d(v)是一個有界函數(shù)[10],表示為|d(v)|=|sat(v)-g(v)|≤D。結(jié)合中值定理可知，存在一個常數(shù)μ(0<μ<1)，有：

g(v)=g(v0)+gvμ(v-v0)

其中g(shù)vμ=((?g(v))/(?v))|v=vμ，vμ=μv+(1-μ)v0。選取v0=0，則以上函數(shù)可以寫為：g(v)=gvμv，因此u=gvμv+d(v)。故有：

其中存在一個未知常數(shù)gm，使得0≤gm≤gvμd≤1并且0≤gm≤gvμq≤1。

引理2[2]：設(shè)f(Z)是定義在緊集Ωz上的連續(xù)函數(shù)，對任意的ε>0，存在一個模糊邏輯系統(tǒng)WTS(Z)使得f(Z)=WTS(Z)+δ(Z)，其中Z∈Ωz，δ(Z)為逼近誤差且|δ(Z)|≤ε。

2 有限時間動態(tài)面控制器設(shè)計

結(jié)合反步法構(gòu)造永磁同步電動機的有限時間動態(tài)面控制器。定義跟蹤誤差變量為：

定義正參數(shù)εj，lj(j=2,3,4,6)，由引理2及楊氏不等式可知：

(1)

(2)

(3)

(4)

實際系統(tǒng)中，負載轉(zhuǎn)矩TL是有界的，其范圍為|TL|≤d，其中d>0。

(5)

選取虛擬控制函數(shù)

應用引理2和式(1)并將α2代入式(5)可得：

(6)

(7)

其中：增益k3>0；常數(shù)s3>0。則應用引理2和式(1)并將α3代入式(7)可得：

(8)

(9)

d1z4uq=d1z4g(vq)+d1z4d(vq)

(10)

其中常數(shù)Dq>0。

應用引理2和式(1)，結(jié)合vq、式(9)和式(10)可得：

(11)

(12)

令f5(Z5)=-c1x5-c2x2x3，Z5=[x2,x3,x5]T。

(13)

(14)

由輸入飽和可知，ud=sat(vd)=g(vd)+d(vd)。則有：

d2z6ud=d2z6g(vd)+d2z6d(vd)

(15)

(16)

由定義yi=αid-αi,i=1,2,3,5，則有：

(17)

(18)

構(gòu)建自適應律為：

(19)

3 穩(wěn)定性證明

將式(19)代入式(18)可得：

(20)

通過文獻[12]可知，|Bi|有一個最大值BiM在緊集|Ωi|,i=1,2,3,4上，其中|Bi|≤BiM，則有：

其中常數(shù)Γ>0。由楊氏不等式得：

由文獻[13]可推導出以下不等式：

將不等式代入式(20)可得：

(21)

其中：a0=min{2(k1-1),2(k2-1),2(k3-1),

2(gmk4-1),2(k5-1),2(gmk6-1),2(e1-1),2(e2-1),2(e3-1),2(e5-1),m1}；

b0=min{2,2s1,2s2,2s3,2gms4,2s5,2gms6,m1}；

由式(21)可得：

(22)

4 仿真結(jié)果分析

仿真結(jié)果如圖1-圖4所示，其中圖1表示角位置跟蹤信號x1以及相應的角位置期望信號x1d；圖2表示跟蹤誤差；圖3表示飽和環(huán)節(jié)之前的d軸電壓vd和飽和環(huán)節(jié)之后的d軸電壓ud；圖4表示飽和環(huán)節(jié)之前的q軸電壓vq和飽和環(huán)節(jié)之后的q軸電壓uq。由仿真結(jié)果可以看出，兩種方法可以把電壓限制在安全范圍內(nèi)，保證了電動機的控制性能，然而本文提出的有限時間動態(tài)面控制方法相比動態(tài)面控制方法提高了系統(tǒng)的響應速度和收斂速度，減少了跟蹤誤差。

圖1 角位置跟蹤信號及期望信號

圖2 跟蹤誤差

圖3 飽和環(huán)節(jié)前后d軸電壓

圖4 飽和環(huán)節(jié)前后q軸電壓

5 結(jié)語

本文針對具有鐵損和輸入飽和問題的PMSM驅(qū)動系統(tǒng)，以自適應模糊反步法為基礎(chǔ)，結(jié)合有限時間技術(shù)和動態(tài)面技術(shù)構(gòu)建了一種PMSM位置跟蹤控制器。與動態(tài)面控制方法相比，本文引入有限時間控制技術(shù)不僅提高了系統(tǒng)的響應和收斂速度，還減少了跟蹤誤差。仿真實驗結(jié)果表明，本文提出的控制策略實現(xiàn)了對PMSM快速有效的位置跟蹤，驗證了控制方法的可行性。