許 飛，劉翠香，閔祥娟，單彩虹，曹貽鵬

（陸軍裝甲兵學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 100072）

0 引言

在戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈攔截領(lǐng)域，傳統(tǒng)的基于視線（LOS）角速度的比例導(dǎo)引及其變形，以其易于實現(xiàn)、高效而得到廣泛的應(yīng)用［1-2］，其在本質(zhì)上是在目標(biāo)不機動、系統(tǒng)無延時、控制能量不受約束情況下產(chǎn)生零脫靶量和控制量的平方積最小的制導(dǎo)律［2］。但現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的攔截目標(biāo)機動性強、制導(dǎo)環(huán)境惡劣、飛行軌跡無法準(zhǔn)確預(yù)測等現(xiàn)實問題，也對導(dǎo)引律的設(shè)計和應(yīng)用提出了更高的要求，針對這些問題，相繼提出了最優(yōu)制導(dǎo)、自適應(yīng)制導(dǎo)、微分對策及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)制導(dǎo)等大量的現(xiàn)代制導(dǎo)規(guī)律，但真正在實際中應(yīng)用更多的是如比例導(dǎo)引及其變形的古典制導(dǎo)律［3］。

空間域下攔截彈的制導(dǎo)問題可抽象為空間曲線問題，是微分幾何主要的研究對象，曲線性態(tài)在局部上完全由曲率和撓率所決定，為此，可通過實時調(diào)整曲率和撓率的取值，實現(xiàn)攔截彈的路徑預(yù)測和規(guī)劃。本文以攔截彈的實時位置信息為原點，建立活動標(biāo)架，結(jié)合攔截彈的實時速度建立關(guān)于弧長的Frenet 公式，并將其轉(zhuǎn)化為時域上的Frenet 公式，根據(jù)視線運動方程和彈目相對運動方程推導(dǎo)了曲率和撓率指令表達式，從指令表達式上看，相關(guān)變化量易于測量，便于仿真，是對攔截彈路徑規(guī)劃及有效制導(dǎo)的有益探索。

1 空間曲線的活動標(biāo)架和Frenet 公式

1.1 弧長域下的空間曲線及Frenet 公式

攔截彈制導(dǎo)策略問題可抽象化為E3上具有一個自由度的質(zhì)點運動問題，其向量形式的參數(shù)方程可表示為［4-5］

1.2 時域下的空間曲線及Frenet 公式

在傳統(tǒng)的攔截彈制導(dǎo)策略研究中，通常采用的獨立參數(shù)為時間變量t，與采用弧長參數(shù)s 之間具有關(guān)系式［6-7］

聯(lián)立式（12）～式（14），可得到具有形式（1）的時域下的Frenet 公式

通過對式（12）～式（14）的簡單計算，可得空間曲線方程在時域下的曲率和撓率計算公式

式（5）、式（6）、式（18）、式（19）即為弧長域及時域下的曲率、撓率表達式，下面將對實際問題進行幾何建模，推導(dǎo)能夠應(yīng)用于實際的曲率和撓率公式，從而用于攔截彈制導(dǎo)的路徑規(guī)劃。

2 攔截彈制導(dǎo)的幾何模型建立

2.1 視線運動方程的推導(dǎo)

圖1 攔截彈活動標(biāo)架

根據(jù)視線旋轉(zhuǎn)的幾何關(guān)系，可建立關(guān)于視線運動的Frenet 公式

2.2 攔截彈運動方程的推導(dǎo)

2.2.1 彈目運動方程的推導(dǎo)

在本節(jié)中，下角標(biāo)T，M 分別表示目標(biāo)彈和攔截彈，彈目相對運動的幾何模型如圖2 所示，其中，rM是攔截彈的有向距離，vM為攔截彈速度矢量，大小為vM，tM，nM是攔截彈運動的方向切向量和主法向量，r 是彈目的有向距離，θM是彈目視線角，φM，φM是攔截彈運動方向與彈目視線和其法向量的夾角，同時目標(biāo)彈也有上述相關(guān)幾何描述，如圖2 所示。

圖2 彈目相對運動幾何模型

在2.2.1 節(jié)中得到了彈目視線的切向量、主法向量及副法向量的表達式（22），其形式完全由攔截彈與目標(biāo)彈的速度及實時位置信息所決定。

2.2.2 空間曲線曲率指令的推導(dǎo)

對式（21）進行變形可得

由于曲率用于控制攔截彈的轉(zhuǎn)向，其方向與eθ同向，則可對式（27）兩端同乘eθ得

2.2.3 空間曲線撓率指令的推導(dǎo)

在2.2.2 與2.2.3 節(jié)中詳細(xì)地推導(dǎo)了攔截彈制導(dǎo)的曲率和撓率指令表達式，其中，曲率指令表達式又分為恒速和變速兩種攔截方式，適用范圍更廣，且表達式的各個變量均是可測的，易于后續(xù)模擬仿真的實現(xiàn)。

3 結(jié)論

攔截彈路徑規(guī)劃及制導(dǎo)過程實際上就是空間曲線性態(tài)研究問題，本文通過弧長域下的Frenet 公式轉(zhuǎn)化到時域下的Frenet 公式，又進一步推導(dǎo)了在恒定速度攔截和變速攔截兩種情況下的曲率和撓率的指令表達式，從結(jié)果上看，指令表達式的各量都可以根據(jù)彈目實時位置信息和速度信息求得，后續(xù)將依托曲率和撓率的指令表達式進行離散化處理，利用MATLAB、PYTHON 相關(guān)軟件進行模擬仿真。