亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        利用Mathematica改進(jìn)懸絲耦合彎曲共振法測(cè)量彈性模量實(shí)驗(yàn)

        2021-02-02 10:34:22秦月婷張貴清明成國(guó)
        物理實(shí)驗(yàn) 2021年1期
        關(guān)鍵詞:振動(dòng)物理實(shí)驗(yàn)

        秦月婷,張貴清,明成國(guó)

        (天津科技大學(xué) 理學(xué)院 物理系,天津 300457)

        懸絲耦合彎曲共振法測(cè)量彈性模量[1],因其共振易判別,支撐的影響易排除,實(shí)驗(yàn)結(jié)果穩(wěn)定,且有較寬的溫度適用范圍,而成為世界各國(guó)廣泛采用的測(cè)量方法,也是我國(guó)推薦的動(dòng)態(tài)法測(cè)量金屬材料彈性模量的測(cè)定方法[2],該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目在各高?;A(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中廣泛開(kāi)設(shè).由于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)對(duì)象是本科低年級(jí)的學(xué)生,因此在實(shí)際教學(xué)中,通常有2方面的原因使學(xué)生無(wú)法深刻理解和把握該實(shí)驗(yàn)原理而產(chǎn)生困惑,一是不清楚實(shí)驗(yàn)中所提及的基本概念;二是在實(shí)驗(yàn)理論中涉及梁的橫向彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、微分方程求解及超越方程等復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算.為了幫助學(xué)生更好地理解基本概念和數(shù)學(xué)計(jì)算,本文對(duì)實(shí)驗(yàn)中的基本概念進(jìn)行了詳盡闡述,將解析計(jì)算和圖形演示相結(jié)合,并利用Mathematica求解微分方程數(shù)值解.在教學(xué)中降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度,有效地增加對(duì)該實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)原理的理解,同時(shí)提供了可以利用數(shù)學(xué)軟件解決物理問(wèn)題的直觀方法和手段.

        1 實(shí)驗(yàn)理論中的基本概念

        1.1 梁的概念和分類(lèi)

        梁是一種承受垂直于軸線的橫向載荷的桿件.將彎曲變形時(shí)的梁的軸線,即各截面形心連線取做x軸;垂直于梁的方向取做y軸.若梁在對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)做彎曲振動(dòng)時(shí),梁的軸線只有橫向位移η(x,t),這種模型的梁稱(chēng)作歐拉-伯努利梁,也稱(chēng)細(xì)梁;如果與梁的長(zhǎng)度相比,橫截面的尺寸并不很小,則需要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切形變的影響,這種梁稱(chēng)為鐵木辛柯梁,也稱(chēng)粗梁[3].本實(shí)驗(yàn)中采用的試樣為細(xì)直圓桿,為細(xì)梁.

        1.2 梁的橫向彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

        對(duì)于連續(xù)介質(zhì)的細(xì)梁,根據(jù)微元的受力分析,利用牛頓第二定律推導(dǎo)梁的橫向振動(dòng)的微分方程.這部分雖有些復(fù)雜,但只要清楚細(xì)梁橫向彎曲時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變發(fā)生的位置及其關(guān)系,即可明晰其動(dòng)力學(xué)方程的來(lái)由.梁的橫向彎曲振動(dòng)的示意圖如圖1所示.圖1中,虛線部分表示中性層L,半徑為ρ,梁的彎曲橫振動(dòng)時(shí),其線應(yīng)變?chǔ)舩和正應(yīng)力σx均為零,這意味著在中性層上根本不存在拉伸或壓縮,而在中性層的兩邊,形變具有相反的符號(hào);彎曲層L′,其半徑為r.圖2中O點(diǎn)稱(chēng)為形心,即截面圖形的幾何中心,z軸為中性軸.由圖1可知

        圖1 梁的橫向彎曲自由振動(dòng)示意圖

        L=ρθ,L′=rθ=(ρ-y)θ,

        其彎曲層的形變量δ為

        δ=L′-L=-yθ,

        其縱向線應(yīng)變?chǔ)舩為

        (1)

        當(dāng)梁的形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi),根據(jù)胡克定律[4]有

        (2)

        其中E為彈性模量,即待測(cè)物理量.

        圖2 圖1的右視圖

        (3)

        其中“-”表示與M正方向相反,M正方向?yàn)閦軸正方向,M稱(chēng)為彎矩,表示作用在梁的給定截面上的內(nèi)應(yīng)力之力矩.將式(2)代入式(3)中,得

        (4)

        (5)

        其中η稱(chēng)為撓度,表示中性層上一點(diǎn)的垂直位移(如圖3所示).由式(5)可寫(xiě)出彈性曲線控制微分方程為[3]

        圖3 圖1正視圖

        (6)

        圖4中f(x,t)表示單位長(zhǎng)度上微元所受的作用力,V為微元所受的剪切力,剪切力的定義如圖5所示.因?yàn)?/p>

        圖4 微元的受力分析圖

        圖5 微元的切應(yīng)力分析圖

        (7)

        微元中各力對(duì)過(guò)C點(diǎn)在軸方向上的力矩

        ∑Mz=0,

        (8)

        根據(jù)式(7)列微分方程有

        (9)

        其中,ρ為密度,A為梁的橫截面積.根據(jù)式(8),得

        (10)

        將式(10)展開(kāi)后,略去高階小項(xiàng),得:

        (11)

        將式(11)和(6)代入式(9)中,得動(dòng)力學(xué)方程:

        (12)

        當(dāng)梁自由振動(dòng)時(shí)f(x,t)=0,動(dòng)力學(xué)方程為

        (13)

        1.3 梁的橫截面慣性矩的概念

        截面所在平面上關(guān)于z軸的截面慣性矩的積分為

        這個(gè)概念與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類(lèi)似,二者的區(qū)別僅在于用面元dA代替質(zhì)量元[5].這里計(jì)算慣性矩的方法像力學(xué)中用到的垂直軸定理,即

        Iz+Iy=Ix,

        (14)

        坐標(biāo)軸方向如圖5所示.

        2 運(yùn)用Mathematica求解兩端自由的橫向彎曲振動(dòng)梁的動(dòng)力學(xué)方程及相關(guān)的數(shù)值計(jì)算

        2.1 運(yùn)用Mathematica求解橫向彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

        把計(jì)算機(jī)輔助手段引入物理學(xué)各科教學(xué)之中,已成為提升物理教學(xué)水平的新增長(zhǎng)點(diǎn).Mathematica既能進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算,又能進(jìn)行數(shù)值求解,有豐富的矢量運(yùn)算函數(shù)、統(tǒng)計(jì)運(yùn)算函數(shù)、表型數(shù)據(jù)處理函數(shù)和作圖函數(shù),功能非常強(qiáng)大[6],因此選用該數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

        梁的彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程(13)中,令η(x,t)=X(x)T(t),分離變量[2,6]得

        (15)

        其中,K為待定常數(shù).由此得

        (16)

        (17)

        式(16)的解為梁彎曲振動(dòng)的模態(tài)方程.根據(jù)式(17),得梁的彎曲振動(dòng)的固有角頻率為

        (18)

        式(18)對(duì)處于各種邊界條件下的任意形狀截面的試樣都成立[7-8].只要根據(jù)特定的邊界條件定出常數(shù)K,代入特定截面的慣性矩I,即可得到具體條件下的頻率計(jì)算公式,其中求解常數(shù)K是關(guān)鍵,這也是實(shí)驗(yàn)教學(xué)中學(xué)生理解困難的主要方面.

        現(xiàn)在利用Mathematica 軟件對(duì)(15)式進(jìn)行微分方程求解和數(shù)值計(jì)算,進(jìn)而得出常數(shù)K.具體計(jì)算過(guò)程及命令語(yǔ)句如下:

        In:=ExpToTrig[DSolve[{X''''[x]-K4X[x]==0},

        X[x],x]]/.Rule→Equal

        Out:=X[x]==C[1]Cos[Kx]+C[2]Cosh[Kx]+C[4] Cosh[Kx]+C[3]Sin[Kx]-C[2]Sinh[Kx]+C[4]Sinh [Kx]

        In:=%/.{C[1]→c1,C[2]+C[4]→c2,C[3]→c3,-C

        [2]+C[4]→c4}

        Out:=X[x]==c1Cos[Kx]+c2Cosh[Kx]+c3Sin[Kx]

        +c4Sinh[Kx]

        (19)

        式(19)為式(16)的通解,也是梁彎曲振動(dòng)的模態(tài)方程.

        兩端自由的梁懸掛在試樣的節(jié)點(diǎn)處,則相應(yīng)的邊界條件為:橫向作用力V為零,彎矩M為零,即

        輸入邊界條件:

        In:=MatrixForm[Flatten[{{Solve[?{x,2}%==0]/.x→0},{Solve[?{x,2}%==0]/.x→l},{Solve[?{x,3}}%==0]/.x→0},{Solve[?{x,3}%==0]/.x→l}}]]

        Out:=Cos[Kl]Cosh[Kl]==1

        Cos[Kl]Cosh[Kl]-1=0,

        (20)

        此式即為通解式(19)加入邊界條件后的特解,也稱(chēng)為兩端自由梁的頻率方程.

        2.2 運(yùn)用Mathematica對(duì)動(dòng)力學(xué)方程特解求根

        利用Mathematica尋找滿(mǎn)足式(20)的Kl值的方法.首先,利用圖像法判斷根的范圍.

        In:=Show[Plot[Cos[Kl]*Cosh[Kl]-1,{Kl,0,10}]

        Out:=

        由圖6可知,第1個(gè)根和第2個(gè)根分別在4.7和7.8附近.依此方式,尋找到一系列滿(mǎn)足方程(20)的根.

        圖6 cos(Kl)·cosh(Kl)-1隨Kl的變化曲線

        In:=FindRoot[-1+Cos[Kl]*Cosh[Kl]==

        0,{x,{4.7,7.8,11.0,14.1,17.3,20.4,23.5,26.7,29.8,33.0,36.2,39.2,42.4,45.5,48.7,51.8,54.97,58.1,61.2,64.4,67.5,70.5,73.8,77.2,80.0,83.2,86.4,89.2,92.6,95.5,99.2,102.0,105.5,108.4,111.7,114.7}},WorkingPrecision→7]

        Out:=Kl->{ 4.730041, 7.853205, 10.99561,

        14.13717, 17.27876, 20.42035, 23.56194, 6.70354,

        29.84513, 32.98672, 36.12832, 39.26991, 42.41150,

        45.55309, 48.69469, 51.83628, 54.97787, 58.11946,

        61.26106, 64.40265, 67.54424, 70.68583, 73.82743,

        76.96902, 80.11061, 83.25221, 86.39380, 89.53539,

        92.67698, 95.81858,98.96017, 102.1018, 105.2434,

        108.3849, 111.5265, 114.6681}}

        然后進(jìn)行擬合Kl與正整數(shù)n的函數(shù)關(guān)系,并繪圖(見(jiàn)圖7).

        In:=FindFit[{4.730041, 7.853205, ……,114.6681},

        a+bn,{a,b},n]

        Out: =Kl=1.572678+3.141516n

        Kl值與正整數(shù)n之間關(guān)系的擬合方程為Kl=3.141 516n+1.572 678,擬合方程近似為

        (21)

        這一結(jié)論與文獻(xiàn)[9]一致.表1給出Knl的數(shù)值解和擬合解的數(shù)值及相對(duì)偏差.

        表1 Knl數(shù)值解和擬合解的數(shù)值對(duì)比表

        2.3 兩端自由梁的彎曲振動(dòng)的角頻率公式及模態(tài)函數(shù)

        根據(jù)(20)式可知,兩端自由的梁的彎曲振動(dòng)的各階固有角頻率公式可寫(xiě)為

        (22)

        代入(14)式,得出細(xì)直圓桿的彈性模量公式為

        n=1,2,3…

        (23)

        表2 數(shù)值解和擬合解下的值對(duì)比

        +c4[sin(Knx)+sinh(Knx)],n=1,2,3…

        2.4 兩端自由梁在基頻振動(dòng)時(shí)的節(jié)點(diǎn)位置計(jì)算和振形圖

        兩端自由梁在基頻振動(dòng)K1l=4.730 041時(shí),節(jié)點(diǎn)處X(x)=0,得

        [sin(K1x)+sinh(K1x)]=0,

        (24)

        In:=Plot[-1.0178094106701914(Cos[4.730041y]+

        Cosh[4.730041y])+Sin[4.730041y]+

        Sinh[4.730041y],{y,0,1},Epilog→

        {PointSize[Medium],Point[{{0.224,0},{0.7758,0}}]}

        Out:=

        由圖8可知,y值在0.2和0.8附近,因此利用數(shù)值計(jì)算尋找滿(mǎn)足式(24)的數(shù)值解為

        圖8 當(dāng)K1l=4.730 04時(shí)試樣彎曲基頻振動(dòng)的振形圖

        In:=FindRoot[-1.0178094106701914(Cos[4.730041y]+

        Cosh[4.730041y])+Sin[4.730041y]+

        Sinh[4.730041y]==0,{y,{0.2,0.7}},

        WorkingPrecision->7]

        Out:={y→{0.2241575,0.7758425}}

        求出y值的數(shù)值解.

        當(dāng)K1=4.730 041/l時(shí),節(jié)點(diǎn)位置為x=0.224 137 5l和0.775 842 5l.依此方式,可計(jì)算出一系列Kl值相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位置x/l及其振形圖,如圖9所示.

        (a)Knl=4.730 041

        3 結(jié)束語(yǔ)

        綜上,對(duì)懸絲耦合彎曲共振測(cè)量彈性模量的實(shí)驗(yàn)原理,從基本理論出發(fā)詳細(xì)地推導(dǎo)出梁的橫向彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程.利用Mathematica對(duì)微分方程求解兩端自由梁的橫向彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程中頻率方程的根和相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位置,并擬合了節(jié)點(diǎn)位置及其變化規(guī)律,得出新的固有圓頻率公式和模態(tài)函數(shù);詳細(xì)地給出彎曲振動(dòng)的基振振形求解過(guò)程及二階、三階振形圖.為更好地理解本實(shí)驗(yàn),這部分理論內(nèi)容可以在實(shí)驗(yàn)內(nèi)容中給以補(bǔ)充和豐富.

        在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)中,面對(duì)一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算的時(shí)候,引導(dǎo)學(xué)生借助計(jì)算軟件化解知識(shí)難點(diǎn),可使物理實(shí)驗(yàn)原理的闡述更加明晰,物理概念得到深化,同時(shí)拓寬了物理實(shí)驗(yàn)課程的內(nèi)容,也促使物理實(shí)驗(yàn)課程的進(jìn)一步改進(jìn)和拓展.對(duì)于學(xué)生而言,學(xué)懂弄通是提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的關(guān)鍵,引入計(jì)算恰恰是使學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)原理理解更加透徹的一種有效途徑,且培養(yǎng)了學(xué)生利用現(xiàn)代化手段解決問(wèn)題的能力.因此,這種教學(xué)模式的改進(jìn)在進(jìn)一步提升物理實(shí)驗(yàn)課程的學(xué)術(shù)水平和教學(xué)水平,提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣方面,起到了極大地促進(jìn)作用.

        猜你喜歡
        振動(dòng)物理實(shí)驗(yàn)
        振動(dòng)的思考
        記一次有趣的實(shí)驗(yàn)
        只因是物理
        井岡教育(2022年2期)2022-10-14 03:11:44
        振動(dòng)與頻率
        處處留心皆物理
        做個(gè)怪怪長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)
        中立型Emden-Fowler微分方程的振動(dòng)性
        三腳插頭上的物理知識(shí)
        NO與NO2相互轉(zhuǎn)化實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)
        實(shí)踐十號(hào)上的19項(xiàng)實(shí)驗(yàn)
        太空探索(2016年5期)2016-07-12 15:17:55
        后入到高潮免费观看| 精品人妻一区二区三区蜜臀在线| 一区二区三区亚洲免费| 最美女人体内射精一区二区 | 999久久66久6只有精品| 亚洲中文字幕免费精品| 亚洲精品国产电影| 999久久久无码国产精品| 伊香蕉大综综综合久久| 国产精品日本中文在线| 2021国产精品视频网站| 人妻丰满熟妇av无码片| 无码中文日韩Av| 青青草成人原视频在线播放视频| 极品人妻少妇av免费久久| 大桥未久亚洲无av码在线| 夜夜被公侵犯的美人妻| 饥渴少妇一区二区三区| 中文字幕人妻丝袜成熟乱| 性色av无码一区二区三区人妻| 亚洲黄色性生活一级片| 亚洲一区二区三区精品久久av| 婷婷成人丁香五月综合激情| 亚洲av无码久久寂寞少妇| caoporon国产超碰公开| 国产一级黄色录像大片| 亚洲娇小与黑人巨大交| 无码国产精品一区二区免费97| 日本一区二区高清视频在线| 无码精品国产一区二区三区免费| 国产乱色精品成人免费视频| 97久久久久国产精品嫩草影院| 少妇被粗大猛进进出出男女片| 亚洲av成人噜噜无码网站| 少妇高潮喷水久久久影院| 日韩精品极品在线观看视频| 国内自拍情侣露脸高清在线| 波多野结衣乳巨码无在线| 久国产精品久久精品国产四虎 | а√天堂资源官网在线资源 | 97超级碰碰碰久久久观看|