韓志強(qiáng)，沈仲馳，唐明君

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院，四川 成都 610101)

顆粒物質(zhì)是指直徑大于1 μm的大量離散的固體顆粒相互作用而組成的復(fù)雜體系，是常見(jiàn)的物態(tài)形式，也是地球上存在最多且最為人們熟悉的物質(zhì)類型之一.由于顆粒物質(zhì)體系處于靜止堆積時(shí)，具有典型的非線性、自組織和能量耗散等特征，會(huì)產(chǎn)生諸如成拱、崩塌、糧倉(cāng)效應(yīng)等許多奇特的現(xiàn)象，這些現(xiàn)象的產(chǎn)生與日常生活生產(chǎn)息息相關(guān).比如，當(dāng)糧食堆積高度約大于2倍底面直徑后，糧倉(cāng)底面所受的壓強(qiáng)不隨糧食的增加而增加，而是趨于飽和值，這就是糧倉(cāng)效應(yīng).糧倉(cāng)效應(yīng)由英國(guó)科學(xué)家Isaac Roberts在研究糧倉(cāng)底面的壓強(qiáng)時(shí)發(fā)現(xiàn)[1]，直到1895年，德國(guó)學(xué)者Janssen提出的連續(xù)介質(zhì)模型巧妙地將顆粒物質(zhì)空間應(yīng)力求解的問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)化, 很好地解釋了“糧倉(cāng)系統(tǒng)”中底部壓力隨填充高度的增加而逐漸趨于飽和的現(xiàn)象[2].直到如今，許多國(guó)家仍然采用Janssen的連續(xù)介質(zhì)模型作為糧倉(cāng)設(shè)計(jì)規(guī)范[3-5]的主要計(jì)算思想.

為了探究顆粒物質(zhì)的糧倉(cāng)效應(yīng)和驗(yàn)證Janssen模型的正確性，有很多研究小組采用不同的測(cè)量方法測(cè)量了糧倉(cāng)底部壓力和側(cè)壁壓力.比如，早期采用的敲擊法[6]，但由于敲擊容器的力度很難控制，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可重復(fù)性低.后來(lái)，王晶等采用間歇沉降法與連續(xù)沉降法對(duì)容器底部壓力進(jìn)行了測(cè)量[7]，該方法彌補(bǔ)了敲擊法的不足，具有一定優(yōu)勢(shì).但王晶等沒(méi)有對(duì)側(cè)壁壓力進(jìn)行探究，同時(shí)，顆粒與器壁的摩擦力未達(dá)到最大，導(dǎo)致所測(cè)的底部壓力數(shù)據(jù)偏大.本實(shí)驗(yàn)通過(guò)間歇沉降法測(cè)量糧倉(cāng)的底部壓力，在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出了能連續(xù)測(cè)量側(cè)壁壓力的實(shí)驗(yàn)裝置，并且保證了測(cè)量值在誤差允許范圍內(nèi)具有可重復(fù)性.

1 理論計(jì)算

下面計(jì)算底面邊長(zhǎng)為a的正方形的立方體糧倉(cāng)中的顆粒堆積情況，在Janssen模型中，假設(shè)顆粒在同一高度處的橫向應(yīng)力強(qiáng)度相等，且正比于縱向應(yīng)力強(qiáng)度.

如圖1所示，建立坐標(biāo)系，水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閦軸方向.顆粒物質(zhì)受力情況如圖2所示，則在面積為S、厚度為dz的體積元上，力平衡的條件為

圖1 坐標(biāo)軸建立示意圖

圖2 顆粒物質(zhì)受力示意圖

-ρSgdz+Sdp=-τ,

(1)

其中，ρ為堆積密度，p為深度為z處的壓強(qiáng)，τ為糧倉(cāng)壁與顆粒物質(zhì)間的摩擦力.由于縱向應(yīng)力和橫向應(yīng)力是正比關(guān)系，摩擦力為

τ=4κμfpagdz，

(2)

κ為轉(zhuǎn)換系數(shù)[8-10]，在實(shí)驗(yàn)中使用沉降法顆粒與容器壁之間的摩擦達(dá)到最大靜摩擦力，所以μf為顆粒與容器壁摩擦系數(shù).對(duì)上式進(jìn)行積分可得深度為z處的壓強(qiáng)為

(3)

又根據(jù)Janssen模型假設(shè)，側(cè)向應(yīng)力正比于正向應(yīng)力

(4)

則用側(cè)壁半徑為R的圓來(lái)測(cè)量力面上的壓力為

(5)

2 實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)器材：亞克力板、升降平臺(tái)、壓力傳感器及顯示屏、PVC板、鋼尺、3 mm和5 mm陶碳粒.

本實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)如圖3所示，由以下實(shí)驗(yàn)操作系統(tǒng)組成：

(a)正視圖

a.糧倉(cāng)主體部分，具體尺寸如圖4所示，正方體糧倉(cāng)的底邊邊長(zhǎng)均為4 cm，高為30 cm，活板的長(zhǎng)度長(zhǎng)于其他3個(gè)面的高度.底部設(shè)置為邊長(zhǎng)略小于糧倉(cāng)邊長(zhǎng)的方形活塞，這樣可以使活塞上下移動(dòng)時(shí)不會(huì)觸碰容器的內(nèi)壁，也避免顆粒掉落；

圖4 方筒糧倉(cāng)四壁設(shè)計(jì)圖

b.升降支架部分，調(diào)節(jié)升降臺(tái)的旋鈕控制糧倉(cāng)的底板和側(cè)面的活動(dòng)板的移動(dòng)，用以測(cè)量不同高度和深度時(shí)，糧倉(cāng)的底板正壓力和側(cè)壁壓力的大小變化；

c.壓力傳感器部分，使用精度為0.01 g，量程為0～500 g的力傳感器，將2個(gè)壓力傳感器的一端分別與側(cè)壁上的小圓片和底部的方形活塞相連，另一端再與升降臺(tái)上的固定裝置相連，這樣力傳感器就能測(cè)量到小圓片和方形活塞所受到的力的大小.實(shí)驗(yàn)裝置的實(shí)物圖如圖5所示.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

1)底部壓力測(cè)量

由于在理論中假設(shè)側(cè)面所受靜摩擦力為最大靜摩擦力，而將顆粒注入方筒中后，側(cè)面對(duì)顆粒的摩擦力不是最大靜摩擦力，故直接測(cè)量的底面壓力并不滿足此模型，所以本文采用沉降法測(cè)量底部的壓力.如圖3所示，在固定主體部分的位置時(shí)，通過(guò)緩慢調(diào)節(jié)升降臺(tái)，使底面支撐體下降，即側(cè)面靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力.然后使支撐體下降很小的高度，此時(shí)堆積的顆粒將有下降的趨勢(shì)，故此時(shí)產(chǎn)生的摩擦力接近于最大靜摩擦力，在整體堆積處于Janssen模型的狀態(tài)后，使用壓力傳感器測(cè)量顆粒對(duì)糧倉(cāng)產(chǎn)生的底部壓力.

2)側(cè)壁壓力測(cè)量

在研究糧倉(cāng)效應(yīng)時(shí)，側(cè)壁壓力的精確測(cè)量是整個(gè)實(shí)驗(yàn)和驗(yàn)證模型的正確性的關(guān)鍵.已有采用在側(cè)壁的不同高度上放置不同的壓力測(cè)量裝置，測(cè)量側(cè)壁的壓力[8]，這種測(cè)量方式的缺點(diǎn)在于，只能測(cè)量固定高度點(diǎn)的側(cè)壁壓強(qiáng)，不能連續(xù)測(cè)量.為了測(cè)量更多高度的側(cè)壁壓力，本文設(shè)計(jì)了能連續(xù)測(cè)量不同高度側(cè)壁壓力的實(shí)驗(yàn)裝置.如圖3所示，在裝置的側(cè)面，糧倉(cāng)的側(cè)壁和測(cè)力裝置作為整體.具體做法是在側(cè)壁中切割出圓形區(qū)域，在此圓形區(qū)域，制作不與側(cè)壁接觸的圓片，將圓片與測(cè)力裝置相連.調(diào)整該組件的高度，可以連續(xù)測(cè)量出不同深度時(shí)糧倉(cāng)的側(cè)壁壓力值.該實(shí)驗(yàn)裝置不僅能夠?qū)崿F(xiàn)沉降法測(cè)量底部顆粒壓力，還能夠連續(xù)地測(cè)量側(cè)壁壓力.

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集

3.1 不同堆積高度下的底部壓力測(cè)量

實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)，將壓力傳感器與數(shù)碼顯示器連接.顆粒半徑分別為3 mm和5 mm的均勻球形陶粒，成分主要為高嶺土、長(zhǎng)石和黏土，密度為1.22 g/cm3.將陶粒注入方筒中，達(dá)到實(shí)驗(yàn)所需高度，將底部支撐升降臺(tái)旋轉(zhuǎn)固定小角度，顆粒達(dá)到極限應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，測(cè)量出陶粒的堆積高度和糧倉(cāng)底部正壓力的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

如圖6所示，測(cè)量出當(dāng)陶粒半徑分別為3 mm和5 mm時(shí)，陶粒的堆積高度和糧倉(cāng)底面所受壓力大小的關(guān)系，圖中實(shí)心圓點(diǎn)表示在同一位置進(jìn)行10多次實(shí)驗(yàn)測(cè)量的底部壓力的平均值，實(shí)線表示的是式(3)使用Matlab軟件計(jì)算模擬出的理論曲線.其中3 mm陶粒的κ為0.41，5 mm陶粒的κ為0.56，在彈性理論計(jì)算的范圍(0.33～2.50)內(nèi)[11]，且與其粒徑變化的規(guī)律相同[8].從圖6中可以看出，隨著陶粒高度的增加，糧倉(cāng)的底部壓力增大，當(dāng)高度增加到一定值時(shí)候，底部壓力的大小趨于平穩(wěn).從圖6(a)中可以看出，半徑為3 mm的陶粒高度達(dá)到大約12 cm后，糧倉(cāng)底部壓力趨于平穩(wěn)，達(dá)到定值.如圖6(b)中所示，當(dāng)半徑為5 mm的陶粒高度達(dá)到大約10 cm后，糧倉(cāng)底部壓力趨于平穩(wěn).即，當(dāng)堆積高度達(dá)到方倉(cāng)底邊邊長(zhǎng)(4 cm)約2倍以上以后，糧倉(cāng)的底部壓力達(dá)到飽和.從圖6的測(cè)量結(jié)果可以看出，對(duì)于不同粒徑的陶粒，糧倉(cāng)的底部壓力達(dá)到飽和的陶粒高度不同，這是由于2種半徑不同的陶粒具有不同的轉(zhuǎn)向系數(shù)和堆積密度，所以，造成了同樣深度下的底部壓力不同.從圖6中還可以看出，實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與理論計(jì)算模擬值存在偏差，這是由于每次測(cè)量時(shí)，難以形成完全相同的極限應(yīng)力狀態(tài)造成的，但是，理論曲線和實(shí)驗(yàn)測(cè)量值的變化趨勢(shì)都相同.

(a)3 mm

3.2 不同高度的側(cè)壁壓力測(cè)量

實(shí)驗(yàn)測(cè)量糧倉(cāng)側(cè)壁壓力時(shí)，先將測(cè)力面置于裝置能達(dá)到的最低處，在保持底部正壓力為Janssen模型的狀態(tài)下，旋轉(zhuǎn)控制側(cè)壁升降臺(tái)的旋鈕，使側(cè)壁裝置整體上升，通過(guò)壓力傳感器測(cè)量，讀出相同堆積高度的情況下，不同測(cè)量深度處的側(cè)壁壓力大小，2種不同的陶粒不同深度的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如圖7所示.

圖7測(cè)量出了當(dāng)陶粒半徑分別為3 mm和5 mm時(shí)，陶粒在相同堆積高度16.1 cm下不同深度的側(cè)壁壓力傳感器所受壓力的大小.圖7中的實(shí)心圓點(diǎn)表示在多次側(cè)壁整體上升過(guò)程中不同深度的測(cè)量值的平均值，雖然圓片有一定的面積，但仍能代表這個(gè)深度的側(cè)壁壓力.圖7中實(shí)線表示的是根據(jù)式(5)，用Matlab積分計(jì)算模擬的理論曲線.從圖7中可以看出，在相同堆積高度的糧倉(cāng)中，隨著測(cè)量深度的增加，側(cè)壁壓力逐漸增大，隨著深度的繼續(xù)增加，側(cè)壁壓力的增長(zhǎng)趨勢(shì)越來(lái)越緩，最后趨于定值.理論模擬值和實(shí)驗(yàn)測(cè)量值符合得比較好.

(a)3 mm

4 結(jié)論與討論

通過(guò)本文的討論得出：隨著方形糧倉(cāng)中倒入顆粒的高度的增加，糧倉(cāng)底部的壓力會(huì)逐步增大，最后會(huì)趨于某定值；當(dāng)陶粒的堆積高度一定時(shí)，隨著測(cè)量深度的增加，方形糧倉(cāng)的側(cè)壁壓力逐漸增加，且會(huì)趨于定值，出現(xiàn)糧倉(cāng)效應(yīng).

實(shí)驗(yàn)使用自制的實(shí)驗(yàn)裝置能明顯地演示出糧倉(cāng)效應(yīng)，并能較精確地測(cè)量底部正壓力和側(cè)壁壓力，驗(yàn)證了Janssen模型的正確性.同時(shí)，該實(shí)驗(yàn)裝置能夠連續(xù)測(cè)量側(cè)壁壓力，能較好地反映側(cè)壁壓力變化的趨勢(shì)，驗(yàn)證了產(chǎn)生糧倉(cāng)效應(yīng)的原因，即，由于顆粒物質(zhì)間的相互作用，重力方向的力被分解到了水平方向，糧倉(cāng)的側(cè)壁支撐了顆粒的部分重力，使得糧倉(cāng)的底部壓力趨于飽和.但由于在改變側(cè)壁裝置整體高度時(shí)裝置的晃動(dòng)很容易改變?cè)镜亩逊e應(yīng)力狀態(tài)，所以側(cè)壁壓力的測(cè)量誤差偏大，但并不影響對(duì)整個(gè)趨勢(shì)變化的判斷.