李恒一，張 權(quán)，王中平，趙 偉，鄭 虹，朱 玲，張?jiān)雒?/p>

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，安徽 合肥 230026)

2006年，Pendry等提出了變換光學(xué)理論，應(yīng)用這一理論，可以精確控制電磁波傳輸?shù)穆窂絒1].變換光學(xué)的理論是：利用麥克斯韋方程組在坐標(biāo)變換下的形式不變性[2](只考慮電磁場(chǎng)關(guān)于空間的變換)，通過空間坐標(biāo)變換來推導(dǎo)介質(zhì)在現(xiàn)實(shí)物理空間上的介電常量和磁導(dǎo)率張量等參量，從而根據(jù)這些參量設(shè)計(jì)具有特殊功能的介質(zhì).變換光學(xué)建立了空間坐標(biāo)變換與材料參量改變之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可將復(fù)雜的電磁計(jì)算問題轉(zhuǎn)換為較簡(jiǎn)單的空間坐標(biāo)變換問題，為人類控制電磁波的傳播特性提供了理論指導(dǎo)并拓展了新的研究思路.科研人員使用變換光學(xué)的方法設(shè)計(jì)了各種變換光學(xué)器件，比如隱身斗篷[3-4]、天線[5]、電磁集中器[6]、電磁波旋轉(zhuǎn)器[7]、透鏡[8]等，且很多變換光學(xué)器件在實(shí)驗(yàn)上已得到了驗(yàn)證[9-10].

本文介紹了麥克斯韋方程組在坐標(biāo)變換下形式不變性，基于變換光學(xué)設(shè)計(jì)隱身衣的設(shè)計(jì)思路，并通過COMSOL Multiphysics仿真軟件仿真二維圓柱形、橢圓柱形、正方形的隱身衣.將變換光學(xué)的理論引入本科物理實(shí)驗(yàn)，有利于激發(fā)本科生的科學(xué)研究興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高科研技能等綜合實(shí)驗(yàn)素質(zhì).此外，本文模擬仿真的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容亦適用于作為遠(yuǎn)程教學(xué)的課程，豐富教學(xué)模式.

1 麥克斯韋方程組在坐標(biāo)變換下的協(xié)變性

麥克斯韋方程組在坐標(biāo)變換下形式保持不變[11]，這里進(jìn)行空間變換的區(qū)域是無源的，因此麥克斯韋方程組在原空間的表達(dá)形式為

×E-jωμH=0,×H+jωεE=0.

(1)

介電常量ε和磁導(dǎo)率μ是與位置坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)，原直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)是x(x1,x2)，新的扭曲坐標(biāo)系的坐標(biāo)是x′(x1′,x2′)，如圖1所示.麥克斯韋方程組在新坐標(biāo)系下變?yōu)?/p>

(a)直角坐標(biāo)系 (b)扭曲坐標(biāo)系

′×E′-jωμ′H′=0,′×H′+jωε′E′=0,

(2)

其中

E′(x′)=(ΛT)-1E(x)，H′(x′)=(ΛT)-1H(x),

(3)

雅克比變換矩陣定義為

(4)

將式(2)進(jìn)一步展開有

(5)

從而只需要證明

(6)

式(6)在正交坐標(biāo)系是顯然成立的，而在一般的曲線坐標(biāo)系中，亦可以通過張量相關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明.因此證明了麥克斯韋方程組在坐標(biāo)變換下的形式不變性，并可以根據(jù)式(3)設(shè)計(jì)和計(jì)算變換介質(zhì)的介電常量和磁導(dǎo)率.值得注意的是，以上情況成立的前提是物體的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速.

2 設(shè)計(jì)思路

變換光學(xué)的理論是：利用麥克斯韋方程組在三維坐標(biāo)變換下保持形式不變性，通過空間坐標(biāo)變換來推導(dǎo)介質(zhì)在現(xiàn)實(shí)物理空間上的介電常量和磁導(dǎo)率張量等參量，從而根據(jù)這些介電參量設(shè)計(jì)出具有特殊功能的介質(zhì).該介質(zhì)也因此稱作變換介質(zhì).下面以圓柱形隱身衣為例，進(jìn)行變換介質(zhì)的設(shè)計(jì).

設(shè)計(jì)思想如圖2所示，原空間光線沿平直的自然空間直線傳播，(b)空間為設(shè)計(jì)的變換空間，其空間網(wǎng)格是變形扭曲的.在二維平面上看(z方向無限長(zhǎng))，(a)空間到(b)空間的變換是在拓?fù)渖习言c(diǎn)脹開變成了小圓的周邊，把原本大圓的空間區(qū)域壓縮到圓環(huán)區(qū)域中.在原空間中光線沿著光程最短的直線傳播，在變換空間中光線則繞過了小圓的區(qū)域沿著曲線傳播.根據(jù)麥克斯韋方程組在坐標(biāo)變換下的形式不變性，使用特殊設(shè)計(jì)的變換介質(zhì)取代圓環(huán)區(qū)域中的空氣介質(zhì)，可以在物理空間中模擬變換空間中的電磁波傳播，即電磁波在(c)空間中藍(lán)色變換介質(zhì)內(nèi)的傳播路徑完全等效于電磁波在對(duì)應(yīng)(b)空間中圓環(huán)區(qū)域空氣介質(zhì)內(nèi)的傳播路徑.在實(shí)際物理空間(c)中觀察，圓環(huán)區(qū)域電磁波的傳播被變換介質(zhì)彎曲，圓環(huán)內(nèi)部的空間對(duì)電磁波而言就是隱形的，可以通過變換空間(b)與原空間(a)的坐標(biāo)變換關(guān)系得到物理空間(c)中變換介質(zhì)的介電常量和磁導(dǎo)率張量等參量，這就是變換光學(xué)的核心思想.

(a)原空間 (b)變換空間 (c)物理空間

3 不同形狀隱身衣的設(shè)計(jì)結(jié)果

3.1 二維圓柱形隱身衣

對(duì)二維圓柱形隱身衣而言，考慮任意的圓柱形物體，外面包裹1層隱身衣，此隱身衣的橫向截面圖就是內(nèi)外半徑分別為a和b的圓環(huán).沿z軸方向是恒等變換，可以在柱坐標(biāo)系中定義如下空間變換：

(7)

計(jì)算出雅克比矩陣：

(8)

對(duì)應(yīng)的介電常量和磁導(dǎo)率張量為

(9)

注意物理空間坐標(biāo)是(r′,θ′).

對(duì)入射波是TE波的情況，只需要考慮μr,μθ,μz3個(gè)參量即可(TM波則只需要滿足εr,εθ,εz)，使用有限元數(shù)值模擬軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行模擬計(jì)算.

模擬區(qū)域?yàn)?6 μm×9 μm，設(shè)置外圓半徑b=4 μm,內(nèi)圓半徑a=2 μm，計(jì)算區(qū)域四周的邊界都設(shè)置了1 μm厚的完美匹配層，在模擬區(qū)域的左側(cè)設(shè)置真空波長(zhǎng)為365 nm的無限寬TE偏振的電磁波，電場(chǎng)幅值為Ez=1 V/m，在沒有損耗的理想情況下(所有材料的折射率虛部為0)，模擬結(jié)果如圖3所示.

(a)空氣中無限寬TM波的場(chǎng)強(qiáng)分布

由圖3(a)和圖3(b)可以看出，電磁波被隱身衣引導(dǎo)繞過了隱身衣罩住的中心區(qū)域，圖3(c)和圖3(d)對(duì)比表明：加入隱身衣后，小銅塊的散射完全消失了.值得注意的是，圓環(huán)內(nèi)組成隱身衣的變換介質(zhì)其介電常量和磁導(dǎo)率參量是張量形式，并且各分量的數(shù)值均不是常量，具體與所處位置的坐標(biāo)有關(guān)，且此種形態(tài)的隱身衣，介電常量和磁導(dǎo)率的某些分量在隱身衣內(nèi)邊界處的取值趨于無窮大，因此難以在實(shí)驗(yàn)上真正實(shí)現(xiàn).如果犧牲一定的隱身效果，則可以設(shè)計(jì)出實(shí)驗(yàn)上能夠制作的隱身衣.

再回到式(7)，這是線性的壓縮變換，可以采用任意連續(xù)可微的函數(shù)來定義大圓區(qū)域到圓環(huán)區(qū)域內(nèi)的映射，最終隱身衣內(nèi)部的電場(chǎng)分布與映射函數(shù)有關(guān)，但均不影響隱身效果.以二次函數(shù)映射為例，令

計(jì)算相應(yīng)介電常量和磁導(dǎo)率后，給出隱身衣的模擬結(jié)果如圖4所示.

圖4 二次函數(shù)映射的圓柱形隱身衣

相比線性映射，電磁波在隱身衣內(nèi)邊界處被扭曲得更厲害，而在外表邊界則變化得更趨平緩，此結(jié)果與本文的設(shè)計(jì)思路是一致的.

3.2 橢圓柱形隱身衣

設(shè)橢圓柱隱身衣橢圓的長(zhǎng)短軸之比為k，外橢圓短軸長(zhǎng)為b，內(nèi)橢圓短軸長(zhǎng)為a.由幾何關(guān)系推導(dǎo)可以寫出其坐標(biāo)變換為[11]

(10)

計(jì)算出相對(duì)介電常量(相對(duì)磁導(dǎo)率數(shù)值相同)的參量分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

其中,

注意實(shí)際物理空間的坐標(biāo)是x′和y′.可見當(dāng)k=1時(shí)，橢圓退化為正圓，此時(shí)介電常量和磁導(dǎo)率張量形式與圓柱形隱身衣的形式完全相同.

不考慮z坐標(biāo)，在二維平面上考慮橢圓柱形隱身衣的空間變換關(guān)系，實(shí)質(zhì)是將二維平面上的外橢圓的中心撕裂成內(nèi)橢圓的周長(zhǎng)，其坐標(biāo)映射可以如文獻(xiàn)[12]經(jīng)過幾何的關(guān)系推導(dǎo)出來，也同樣可以進(jìn)行多次空間變換得到.

空間變換的過程是：

1)將二維平面內(nèi)長(zhǎng)軸為kb、短軸為b的橢圓沿短軸y軸方向拉伸k倍，變成半徑kb的圓，此時(shí)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是(x,y,z)→(x′,y′,z′),其坐標(biāo)變換關(guān)系是

x′=x,y′=ky,z′=z，

雅克比矩陣Λ1和相對(duì)介電常量張量ε1為(空氣的相對(duì)介電常量為ε0)

(15)

(16)

2)將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)，即(x′,y′,z′)→(r′,θ′,z′)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系是：

雅克比矩陣Λ2和相對(duì)介電常量張量ε2為

(17)

(18)

3)類似于圓柱形隱身衣，將半徑為kb圓的圓心變換成半徑為ka的圓，即(r′,θ′,z′)→(r″,θ″,z″)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系是

雅克比矩陣Λ3和相對(duì)介電常量張量ε3為

(19)

(20)

4)將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)，即(r″,θ″,z″)→(x″,y″,z″), 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系是

x″=r″cosθ″,y″=r″sinθ″，

雅克比矩陣Λ4和相對(duì)介電常量張量ε4為

(21)

(22)

5)將半徑ka和kb的圓環(huán)沿y″軸方向壓縮k倍，變成長(zhǎng)軸分別為ka和kb，短軸分別為a和b的2個(gè)橢圓圍成的橢圓環(huán)區(qū)域，即(x″,y″,z″)→(x?,y?,z?)，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系是

此區(qū)域即為以介電常量ε5和磁導(dǎo)率μ5填充的變換介質(zhì)區(qū)域.雅克比矩陣Λ5和相對(duì)介電常量張量ε5為

(23)

(24)

注意實(shí)際物理空間的坐標(biāo)是x?,y?,z?.

得到變換介質(zhì)的相對(duì)介電常量張量ε5(相對(duì)磁導(dǎo)率張量μ5數(shù)值上完全相等)，可見多次坐標(biāo)變換可以得到正確的結(jié)果，與文獻(xiàn)[12]復(fù)雜的幾何推導(dǎo)相比，多次坐標(biāo)變換的方法思路上更加容易被學(xué)生理解，計(jì)算上更加程序化，可以通過編程省去復(fù)雜的中間過程.

取a=2 μm,b=3 μm，k=1.5,橢圓柱形隱身衣的模擬結(jié)果如圖5所示.

圖5 橢圓柱形隱身衣的場(chǎng)強(qiáng)分布

3.3 正方形隱身衣

基于同樣的原理，選擇合適的坐標(biāo)變換關(guān)系，可以制作正方形隱身衣.如圖6所示，將大的正方形區(qū)域變換到大小正方形之間的方形環(huán)狀區(qū)域中，拓?fù)渖闲枰獙⒃c(diǎn)撕裂為小正方形的四邊，大小正方形的邊長(zhǎng)分別為b和a.可以把大正方形分割為4個(gè)大三角形，例如圖6中的三角形陰影區(qū)域.把所有陰影部分的坐標(biāo)點(diǎn)一一映射到陰影部分內(nèi)部的梯形區(qū)域中，坐標(biāo)變換關(guān)系為

圖6 正方形隱身衣空間變換示意圖

進(jìn)一步計(jì)算出梯形區(qū)域的相對(duì)介電常量和磁導(dǎo)率為

(25)

其中

對(duì)剩下的區(qū)域，構(gòu)造類似的坐標(biāo)變換關(guān)系，分別求出其介電常量和磁導(dǎo)率，得到4個(gè)梯形組合形成的方形環(huán)狀變換介質(zhì)的介電常量和磁導(dǎo)率，其張量表達(dá)式中的變量x′和y′是實(shí)際物理空間的直角坐標(biāo).模擬結(jié)果如圖7所示，其中圖7(a)是正方形隱身衣，正方形邊長(zhǎng)分別為a=3 μm,b=6 μm,圖7(b)是通過類似方法設(shè)計(jì)的長(zhǎng)方形隱身衣，長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊長(zhǎng)是短邊長(zhǎng)的1.5倍.

(a)正方形

4 結(jié)束語

介紹了變換光學(xué)的理論，給出基于變換光學(xué)設(shè)計(jì)隱身衣的設(shè)計(jì)思路.通過空間坐標(biāo)變換，推導(dǎo)了二維圓柱形、橢圓柱形、正方形隱身衣的變換介質(zhì)在實(shí)現(xiàn)物理空間上的介電常量和磁導(dǎo)率張量公式，并通過COMSOL Multiphysics仿真軟件給出了隱身仿真結(jié)果.基于變換光學(xué)的隱身衣仿真設(shè)計(jì)可作為本科生物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生可通過軟件設(shè)計(jì)模擬隱身衣仿真效果.該實(shí)驗(yàn)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高思考能力，有助于學(xué)生了解前沿的科學(xué)知識(shí).