許銀伙

(福建省泉州外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 362000)

針對(duì)含參不等式恒成立求參數(shù)范圍的問(wèn)題，通常有三種方法：分離參數(shù)，化成函數(shù)最值問(wèn)題；構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)分類討論；半分離參數(shù)，化成含參直線與固定函數(shù)的位置關(guān)系.2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第21題(2)問(wèn)是含參不等式恒成立問(wèn)題，其參考解答仍然是常規(guī)的分類討論，但在不等式變形也就是構(gòu)造新函數(shù)時(shí)展現(xiàn)了新技巧，具有很強(qiáng)的創(chuàng)新性.按照傳統(tǒng)的思路能否解決？參考解答能否改進(jìn)？本文對(duì)此進(jìn)行探究，并對(duì)各種方法的適用性進(jìn)行歸納總結(jié).

一、試題呈現(xiàn)

試題(2020年全國(guó)高考Ⅰ卷·理21)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

二、試題解析

1.第(1)問(wèn)解析

解析f(x)在(-∞,0]單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增.

2.第(2)問(wèn)解析

思考1 參數(shù)容易分離的不等式恒成立或方程有解的問(wèn)題，為避免討論，通?？紤]分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或值域的問(wèn)題.

因?yàn)間′(0)=0，g′(x)>0對(duì)x>0恒成立，g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.又因?yàn)間(0)=0，所以g(x)≥0對(duì)x≥0恒成立，符合.

當(dāng)x∈(0,x1)和x∈(x2,+∞)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，h(x)<0，所以g′(x)在(0,x1)和(x2,+∞)單調(diào)遞增，在(x1,x2)單調(diào)遞減.

由于g′(x)>0對(duì)x∈(0,x1]恒成立，所以函數(shù)g′(x)在(x1,+∞)最小值為g′(x2).

①當(dāng)g′(x2)≥0時(shí)，得g′(x)≥0對(duì)x>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(0)=0，所以g(x)≥0對(duì)x≥0恒成立.

此時(shí)h(x2)=ex2+2a-3x2=0，即ex2=3x2-2a.

當(dāng)x∈(0,t1)和x∈(t2,+∞)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈(t1,t2)時(shí)，g′(x)<0,所以g(x)在(0,t1)和(t2,+∞)單調(diào)遞增，在(t1,t2)單調(diào)遞減.

因?yàn)間(0)=0，所以g(x)>0對(duì)x∈(0,t1]恒成立，g(x)在(t1,+∞)最小值為g(t2).

令φ(x)=x2+2x+2-2ex，則φ′(x)=2x+2-2ex，φ″(x)=2-2ex<0對(duì)x>0恒成立，φ′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.因?yàn)棣铡?0)=0，所以φ′(x)<0對(duì)x>0恒成立，所以φ(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

因?yàn)棣?0)=0，所以φ(x)<0對(duì)x>0恒成立.

由g(t2)≥0，得ln3

思考3 遇到含參數(shù)不等式問(wèn)題，還經(jīng)常化成半分離參數(shù)形式解決，即化成不等式兩邊分別是含參數(shù)直線方程形式和不含參數(shù)的固定函數(shù)，借助切線解決.

記φ(x)=(7-e2)x2-4[x3-1-(x-1)ex]，則φ′(x)=2x(7-e2-6x+2ex).令τ(x)=7-e2-6x+2ex，則τ′(x)=2ex-6，令τ′(x)=0，解得x=ln3.

當(dāng)x∈(0,ln3)時(shí)，τ′(x)<0；當(dāng)x∈(ln3,+∞)時(shí)，τ′(x)>0，所以τ(x)在(0,ln3)單調(diào)遞減，在(ln3,+∞)單調(diào)遞增.

由τ(0)=9-e2>0，τ(ln3)=7-e2+6-6ln3<0，τ(2)=e2-5>0，得τ(x)=0有兩個(gè)不同的解x1,x2，且00，φ′(x)=2xτ(x)>0；當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，τ(x)<0，φ′(x)=2xτ(x)<0，所以φ(x)在(0,x1)和(x2,+∞)單調(diào)遞增，在(x1,x2)單調(diào)遞減.

因?yàn)棣?0)=0，φ(2)=0，所以φ(x)=0有兩個(gè)不同的解t1,t2，且x1

思考4解法2和3在求極值和最小值時(shí)都遇到極值點(diǎn)無(wú)法求出的問(wèn)題，需要用到設(shè)而不求的方法，運(yùn)算量大且討論都非常繁雜，可以考慮把原不等式變形，讓極值點(diǎn)不再隱蔽，簡(jiǎn)化最值討論與計(jì)算.

三、規(guī)律總結(jié)

四、相關(guān)練習(xí)

練習(xí)1(廈門雙十中學(xué)2018年高三·理21)已知函數(shù)f(x)=a(x-1)lnx+x,a∈R.

(1)若a=1，直線l:y=mx是函數(shù)f(x)的切線，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≤ex-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等， 證明f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對(duì)于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).