張嶺芝

(江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué) 214036)

利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)比較兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)值的大小是高一代數(shù)的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)，有沒(méi)有象乘法口訣“三五十五”那樣朗朗上口且通俗易懂的方法來(lái)比較函數(shù)值的大小呢？有！筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)，總結(jié)出“大大大，大小小，小大小，小小大”這四句口訣.

一、同底數(shù)冪的大小比較

同底數(shù)冪的大小比較是利用指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)，當(dāng)a>1時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)0

例1比較下列兩組數(shù)的大?。?/p>

二、同底數(shù)對(duì)數(shù)的大小比較

同底數(shù)對(duì)數(shù)的大小比較是利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)當(dāng)a>1時(shí)，在R*上單調(diào)遞增，當(dāng)0

例2比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

三、同指數(shù)冪的大小比較

同指數(shù)冪的比較的是通過(guò)冪函數(shù)y=xα當(dāng)α>0時(shí)，在R*上單調(diào)遞增，當(dāng)α<0時(shí),在R*上單調(diào)遞減這個(gè)性質(zhì)來(lái)進(jìn)行比較的.

例3比較下列兩組數(shù)的大小.

注意：四句口訣中“大”的個(gè)數(shù)不是3就是1，相應(yīng)的“小”的個(gè)數(shù)不是0就是2！

事實(shí)上，口訣“大大大”本應(yīng)該是下面的三句：增大大(增函數(shù)+自變量大?函數(shù)值大)，大增大(自變量大+增函數(shù)?函數(shù)值大)，大大增(自變量大+函數(shù)值大?增函數(shù)，注：此處僅研究單調(diào)函數(shù))，就是說(shuō)，“大大大”中的一個(gè)“大”應(yīng)該是“增”，只不過(guò)用“增”字，口訣就變成三句了.

同理對(duì)于另外三句：“大小小，小大小，小小大”，把其中的一個(gè)“大”改為“增”，或者一個(gè)“小”改為“減”，比如“減大小(減函數(shù)+自變量大?函數(shù)值小)”當(dāng)然是成立的.如果這樣一改，三句口訣就變成九句了，為了簡(jiǎn)約又朗朗上口，還是“大大大，大小小，小大小，小小大”這四句口訣比較好，實(shí)踐證明用這四句口訣比較兩個(gè)函數(shù)值的大小特別順，效果特別好.

四、應(yīng)用舉例

練習(xí)1若0y>1,試比較ax,ay,xa,ya大小.

解析由“大大大”知，xa>ya>1a=1(此處用冪函數(shù)單調(diào)性比較)，由“小大小”知，ax

所以xa>ya>ay>ax.

事實(shí)上，這種情況可以推廣到更一般初等函數(shù).

例4比較下列兩組數(shù)的大小:

口訣“大大大，大小小，小大小，小小大”沒(méi)有多少科技含量，也沒(méi)有什么噱頭，就是一個(gè)實(shí)用工具而已，學(xué)生如果能記住并用好就是作者最大的心愿.