朱 兵

(江蘇省徐州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué) 221131)

用反證法證明命題是先假定“結(jié)論不成立”，并將其作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，就會(huì)推出矛盾，這個(gè)矛盾是通過(guò)與已知條件矛盾、與公理或定理矛盾的方式暴露出來(lái)的.這個(gè)矛盾是如何造成的呢？推理是沒(méi)有錯(cuò)誤的，而且已知條件、公理或定理也沒(méi)有錯(cuò)誤，那么唯一有錯(cuò)誤的地方就是我們開(kāi)始所作的假設(shè).“結(jié)論不成立”與“結(jié)論成立”必然有一個(gè)正確.既然“結(jié)論不成立”有錯(cuò)誤，就能肯定結(jié)論必然正確.

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(選修2-2)》第90頁(yè)對(duì)反證法有明確的定義.從數(shù)學(xué)思想方法的角度來(lái)看，反證法是一種化歸與整合的思想，體現(xiàn)了“正難則反”的化歸.下面從高中數(shù)學(xué)解題方法角度對(duì)反證法和其它方法進(jìn)行對(duì)比研究.

A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2

C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2

點(diǎn)評(píng)(1)本題為開(kāi)放性結(jié)論，可進(jìn)行解法多樣性的訓(xùn)練，既可用特殊值法，又可以用反證法進(jìn)行求解.

(2)應(yīng)用反證法解題的步驟為：

假設(shè)：作出與結(jié)論相反的假設(shè)；

推理：將假設(shè)作為條件，并由此通過(guò)邏輯推理推導(dǎo)出矛盾；

結(jié)論：根據(jù)矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立，從而原命題成立.

求證：經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸.

整理,得a(x1-x2)=x1-x2.

因?yàn)閤1≠x2,所以a=1，這與已知“a≠1”矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.

因?yàn)閍≠1，所以kM1M2≠0.所以結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng)采用反證法，假設(shè)“平行”后得出矛盾，從而推翻假設(shè).在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，“平行”的等價(jià)轉(zhuǎn)化方式很多，易于下手，例如可通過(guò)斜率相等、向量平行、坐標(biāo)運(yùn)算等角度轉(zhuǎn)化，但“不平行”的局限性比較多.

例3 設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．

解法1(反證法、特殊值法)假設(shè){an+1}是等比數(shù)列，則a1+1,a2+1,a3+1成等比.

所以(a2+1)2=(a1+1)(a3+1).

所以(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1).

化簡(jiǎn)，得q2-2q+1=0.

解得q=1，這與已知矛盾．所以假設(shè)不成立，即數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.

解法2(反證法)假設(shè){an+1}是等比數(shù)列，則對(duì)任意的k∈N+，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1).

因?yàn)閍1≠0，所以2qk=qk-1+qk+1.

因?yàn)閝≠0，所以q2-2q+1=0.

解得q=1，這與已知矛盾．

所以假設(shè)不成立，故{an+1}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)(1)解法1，2都應(yīng)用了反證法，但是解法1利用特殊的三項(xiàng)推導(dǎo)出矛盾，而解法2利用一般的三項(xiàng)推導(dǎo)出矛盾，兩者相比較，解法1的計(jì)算要簡(jiǎn)潔得多.

(2)反證法一般適用于下列情況：

直接證明較困難的命題；

需要分成很多種情況進(jìn)行分類(lèi)討論的命題；

結(jié)論中含有“至少”“至多”“唯一”“有無(wú)窮多個(gè)”等詞語(yǔ)的命題；

命題的結(jié)論為“否定形式”.

例4 求證：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行(線面平行的判定定理).

已知：如圖1,a?α,b?α,a∥b.

求證：a∥α.

證明直接證明只能用線面平行的定義，不太容易，所以用反證法.

假設(shè)直線a與平面α不平行，由a?α，則它必與平面α相交，設(shè)a∩α=P，按點(diǎn)P的位置分為兩種情況論述：

(1)若點(diǎn)P∈b，則a∩b=P，與已知a∥b矛盾；

(2)若P?b，根據(jù)異面直線的定義，則直線a,b異面，也與已知a∥b矛盾.

綜上所證，假設(shè)不成立.

所以原命題成立.

點(diǎn)評(píng)(1)對(duì)一些直接證明不容易的試題，可用反證法，例如本例中若直接證明，必須要證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，這很難證明，所以用反證法更好.

(2)應(yīng)用反證法解答時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)必須規(guī)范，特別是開(kāi)始必須寫(xiě)出“假設(shè)……”.

(3)反證法推導(dǎo)出的矛盾一般有下列情形：

直接與假設(shè)矛盾；

與已知條件矛盾；

與數(shù)學(xué)定義矛盾；

與公理或定理矛盾；

推出結(jié)果自相矛盾.