傅澤平

(湖南省長沙市長沙大學(xué)附屬中學(xué) 410003)

一、理解導(dǎo)數(shù)概念，了解例題有關(guān)思路

1.理解導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，解答導(dǎo)數(shù)例題

2.多做有關(guān)導(dǎo)數(shù)的題目，加深例題思路的印象

在學(xué)習(xí)過程中，要多做有關(guān)于導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)題目，不斷地通過例題練習(xí)和思路分析來加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的掌握和導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，也為解決數(shù)學(xué)問題提供新的解題思路.所謂俗話說“熟能生巧”，在學(xué)習(xí)過程中多做練習(xí)題對(duì)于加深導(dǎo)數(shù)問題的應(yīng)用具有重要的作用，同時(shí)知道導(dǎo)數(shù)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性.例如已知函數(shù)y=x-a·lnx，求函數(shù)的極值.這種題目屬于帶參數(shù)的函數(shù)極值問題，解題時(shí)我們需要考慮參數(shù)的取值對(duì)函數(shù)極值的影響.

解題步驟：

(1)先確定函數(shù)的定義域，當(dāng)a≠0時(shí),x∈(-,0)∪(0,+),當(dāng)a=0時(shí),x∈R；

(3)討論a的不同取值對(duì)y極值的影響：當(dāng)a>0時(shí)，在x∈(-,0)和(a,+)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)y′>0,函數(shù)單調(diào)遞增，在x∈(0,a)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在x=a處取得極小值；當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)在x∈R單調(diào)遞增，不存在極值；當(dāng)a<0時(shí)，在x∈(-,a)和(0,+),導(dǎo)函數(shù)y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，在x∈(a,0)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減,函數(shù)在x=a處取得極大值.

通過對(duì)這個(gè)例題的分析，我們可以總結(jié)得到，對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)極值問題，首先需要考慮參數(shù)對(duì)于函數(shù)的定義域的影響，討論不同情況下函數(shù)的定義域，然后再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在定義域的單調(diào)性情況，最后討論不同參數(shù)的取值對(duì)于函數(shù)極值的影響.

二、高中數(shù)學(xué)例題解答中導(dǎo)數(shù)的典型性應(yīng)用

下文中將具體地從不同的數(shù)學(xué)習(xí)題中來分析導(dǎo)數(shù)在解答數(shù)學(xué)典型例題中的應(yīng)用.

1.導(dǎo)數(shù)在求解最值中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中具有重點(diǎn)教學(xué)意義，高中數(shù)學(xué)習(xí)題經(jīng)常通過導(dǎo)數(shù)和最值問題的聯(lián)系來考查學(xué)生對(duì)綜合數(shù)學(xué)知識(shí)和知識(shí)系統(tǒng)的總結(jié)能力，所以學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，必須掌握導(dǎo)數(shù)在求解最值問題中的應(yīng)用.對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)來說，導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)單調(diào)性的最有力工具，因此在求解函數(shù)最值的過程中，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析最值問題既方便又高效，所以利用導(dǎo)數(shù)求解最值問題就變成了最簡單自然，并且有效的方法.下面以一個(gè)高考數(shù)學(xué)習(xí)題為例.

例1已知函數(shù)F(x)=x3-3x+1，求這個(gè)函數(shù)在[-3,0]上的最大值和最小值.

這一類的問題是導(dǎo)數(shù)解決最值問題中最基礎(chǔ)的一個(gè)題目，它的解題思路就是首先要了解在題目中所提供的閉區(qū)間上函數(shù)的極值，其次利用端點(diǎn)函數(shù)值來進(jìn)行比較大小進(jìn)而確定最值問題.

解題步驟：

(1)首先對(duì)F(x)進(jìn)行求導(dǎo)，得到F′(x)=3x2-3；

(2)令F′(x)=0，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)值為x=±1，此時(shí)我們可以知道,當(dāng)x∈[-3,-1)時(shí),F′(x)>0，所以F(x)在[-3,-1)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,0]時(shí),F′(x)<0，所以F(x)在(-1,0]單調(diào)遞減.我們可以得出，F(xiàn)(x)在x=-1處取得最大值F(-1)=3；

(3)F(x)取得最小值的點(diǎn)應(yīng)該是區(qū)間[-3,0]的端點(diǎn)處，將x=-3和x=0代入函數(shù)F(x),得到函數(shù)值分別為F(-3)=-17和F(0)=1，最后進(jìn)行比較，得出F(x)的最小值為F(-3)=-17.

通過對(duì)這個(gè)例題的分析，我們可以總結(jié)得到，在解答最值問題過程中利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，首先需要在函數(shù)的區(qū)間范圍內(nèi)求出極值；第二是求出函數(shù)在端點(diǎn)的函數(shù)值，也就是自變量區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值；第三就是將極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，以此來求出函數(shù)的最值.

2.利用導(dǎo)數(shù)來解決曲線的切線問題

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一個(gè)題目，那就是在坐標(biāo)系中求解有關(guān)切線方程的問題.通常情況下，我們會(huì)得知在曲線外的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，然后求解此點(diǎn)的切線方程.對(duì)于這類題目來說，如果學(xué)生單憑作圖或者運(yùn)用函數(shù)的基本概念進(jìn)行解答很難將題目正確地完成，所以在解答過程中引入導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容可以更加有效地解答此類題目.

例2 已知曲線C：y=F(x)，求經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)的曲線切線方程.

如何利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來更加準(zhǔn)確地解決此類題目呢？在實(shí)際解題過程中，我們先要確定點(diǎn)是否在對(duì)應(yīng)的曲線C上，然后再將y的導(dǎo)函數(shù)求出，進(jìn)而通過計(jì)算得到答案.在此過程中，我們一定要掌握在不同情況下的函數(shù)所具有的不同結(jié)果，分情況進(jìn)行討論得到最完整的答案.

解題步驟：

(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在曲線上時(shí)，先求F(x)在P(x0，y0)處導(dǎo)數(shù)值F′(x0),則可以得到切線方程為y-y0=F′(x0)(x-x0);

在高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常會(huì)碰到對(duì)特殊曲線求解切線方程的問題，例如三角形曲線，如果利用傳統(tǒng)的解答切線問題的方法，畫圖過程將非常復(fù)雜，同時(shí)也非常容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此學(xué)生在解答此類題目時(shí)引入導(dǎo)數(shù)知識(shí)也是對(duì)函數(shù)值問題的進(jìn)一步擴(kuò)展.

3.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解答三角函數(shù)問題

利用導(dǎo)數(shù)來解決三角函數(shù)問題，例如求函數(shù)y=(1+cos2x)2關(guān)于x的導(dǎo)函數(shù)，這個(gè)題目是比較典型的函數(shù)求導(dǎo)題.在解答此類題目中，學(xué)生可能會(huì)由于不熟悉復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式而出現(xiàn)錯(cuò)誤，所以在當(dāng)次數(shù)相同的2x與x之間，其為一種復(fù)合過程，所以在實(shí)際解答此類題目過程中，學(xué)生要尤其注意這一點(diǎn)，避免在解答過程中出錯(cuò).所以在解答此類題目中，可以代入第三個(gè)函數(shù)，以此來進(jìn)行解答.

解題步驟：

(1)y=u2，u=1+cos2x.

對(duì)于導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)需要學(xué)生掌握基本的導(dǎo)數(shù)概念，并學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)習(xí)題過程中的使用原則.學(xué)好導(dǎo)數(shù)不僅僅可以使學(xué)生能夠更好地解答數(shù)學(xué)題目，還能夠在生活中將數(shù)學(xué)知識(shí)得以應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)也是一種函數(shù)的存在形式，并且也是曲線上任意一點(diǎn)的斜率，通過利用導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)含義，使得導(dǎo)數(shù)只是在解決切線問題過程中具有更加有力的價(jià)值，使得解題思路進(jìn)一步擴(kuò)展，解題過程變得更加簡單，解決問題變得更加高效，使學(xué)生能夠快速掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，并且得到更加明確的解題思路.