何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526020)

高考卷往往能考查學(xué)生各個(gè)方面的能力，本文對(duì)2020年全國高考Ⅰ卷的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行分析，易錯(cuò)往往由于沒有養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維而缺乏靈便的方法，因此在對(duì)試卷進(jìn)行分析后，筆者歸類為核心概念、數(shù)據(jù)分析、空間想象、數(shù)學(xué)思維、建模能力五個(gè)方面的原因.

一、核心概念模糊

例1 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第1題)若z=1+i，則|z2-2z|=( ).

解析由題意，可得z2=(1+i)2=2i，則z2-2z=2i-2(1+i)=-2.

故|z2-2z|=|-2|=2.

故選D.

此題為試卷第一題，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.由題意首先求得z2-2z的值，然后計(jì)算其模即可，容易錯(cuò)選了C答案，錯(cuò)誤地將復(fù)數(shù)的模與開方混為一談，這是典型的復(fù)數(shù)相關(guān)概念模糊.

圖1

故選C.

二、建模能力欠缺

例3 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第3題)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

圖2

圖3

故選C.

例4 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，

當(dāng)b=1時(shí)，f(a)-f(b2)=2>0，此時(shí)f(a)>f(b2)，有a>b2

當(dāng)b=2時(shí)，f(a)-f(b2)=-1<0，此時(shí)f(a)

故選B.

此題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.學(xué)生能否構(gòu)造函數(shù)模型f(x)=2x+log2x是解決這道題的關(guān)鍵.

三、數(shù)據(jù)處理能力不足

例5 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第5題)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點(diǎn)圖：

圖4

由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( ).

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y=a+blnx.

故選D.

本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，應(yīng)該屬于基礎(chǔ)題.表面上這是一道根據(jù)散點(diǎn)圖的分布選擇合適的函數(shù)模型，其實(shí)更加是一道數(shù)據(jù)分析題，學(xué)生能從散點(diǎn)圖讀出數(shù)據(jù)，與認(rèn)識(shí)的函數(shù)圖象對(duì)比數(shù)據(jù)分析，找出答案.

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

(2)記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

(1)根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；

(2)計(jì)算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

(3)列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率，由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對(duì)立事件的概率可求得丙贏的概率.

2020年的概率統(tǒng)計(jì)題目雖然從字?jǐn)?shù)上比前兩年少，但是數(shù)據(jù)分析卻成為考查難點(diǎn).2018,2019年概率統(tǒng)計(jì)題目字?jǐn)?shù)多，但往往提供的信息也多，而2020年題目雖短，但要分析的內(nèi)容也多，缺乏數(shù)據(jù)分析能力的學(xué)生往往就無從下手.

四、空間想象不足

例7 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第10題)已知A,B,C為球O球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為( ).

A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π

故選A.

圖5

本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.需要學(xué)生的空間想象能力，由已知可得等邊△ABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出OO1的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，求出球的半徑.

圖6

本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.需要學(xué)生三維到二維的空間想象能力，在△ACE中，利用余弦定理可求得CE，從而可得出CF，利用勾股定理計(jì)算出BC，BD，可得出BF，這些都是從三棱錐空間中得到的等量關(guān)系.

五、數(shù)學(xué)思維缺失

例9 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第11題)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為( ).

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0

C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

則以MP為直徑的圓方程為(x-1)(x+1)+y(y-1)=0，即x2+y2-y-1=0，兩圓的方程相減，可得2x+y+1=0，即為直線AB的方程．

故選D.

本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．當(dāng)學(xué)生遇到點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，往往感覺很迷茫，缺乏辯證分析數(shù)學(xué)思維.通過點(diǎn)到直線的距離和半徑比較推出直線與圓相離，挖掘出四點(diǎn)A,P,B,M共圓，且AB⊥MP，根據(jù)|PM|·|AB|=2S△PAM=2|PA|可知，當(dāng)直線MP⊥l時(shí)，|PM|·|AB|最小，求出以MP為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線AB的方程．從條件引結(jié)果，從結(jié)果找條件，步步為營，順藤摸瓜的數(shù)學(xué)思維是解決這道題的關(guān)鍵.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

解析(1)依據(jù)題意作出如圖7的圖象.

圖7

所以直線CD的方程為

從2020年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題發(fā)現(xiàn)，核心概念、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、空間想象、數(shù)學(xué)思維五個(gè)方面作為著力點(diǎn)，幫助高三學(xué)生理清自身數(shù)學(xué)體系，要知己，還要知彼，在數(shù)學(xué)思維的高度理解題目，找到解題的突破口、解題規(guī)律，分析解題思路，平時(shí)教師鼓勵(lì)學(xué)生談他們自己的想法和困惑，加強(qiáng)對(duì)數(shù)據(jù)分析、空間想象方面的能力.