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        一道函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題的源與流

        2021-02-02 09:47:30蔡海濤
        數(shù)理化解題研究 2021年1期

        蔡海濤

        (福建省莆田第二中學(xué) 351131)

        一、試題呈現(xiàn)

        例1(2020年廈門市高三質(zhì)檢·理21)已知函數(shù)f(x)=alnx+x-1,g(x)=x3-1.

        (1)若直線l:y=-x+1與曲線y=f(x)相切,求實(shí)數(shù)a的值;

        (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

        二、解法探究

        1.第(1)問解析.

        解析a=-2.(過程略)

        2.第(2)問解析

        解法1 當(dāng)0

        當(dāng)x=1時(shí),f(1)=g(1)=0,從而h(1)=0,故x=1為h(x)的一個(gè)零點(diǎn).

        當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0,所以h(x)的零點(diǎn)即為f(x)的零點(diǎn).

        若-a≤1,即a≥-1時(shí),f′(x)>0,從而f(x)在區(qū)間(1,+)單調(diào)遞增,進(jìn)而f(x)>f(1)=0.又g(x)>g(1)=0,所以h(x)>0,此時(shí)h(x)在(1,+)沒有零點(diǎn).

        若-a>1,即a<-1時(shí),f(x)在區(qū)間(1,-a)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-a,+)單調(diào)遞增.因?yàn)閒(1)=0,f(-a)

        易證當(dāng)x>0時(shí),lnx≤x-1,則ln(4a2)=2ln(-2a)≤2(-2a-1).所以f(4a2)=aln(4a2)+4a2-1≥a×2(-2a-1)+4a2-1=-2a-1>0.故存在x0∈(-a,4a2),進(jìn)而存在x0∈(-a,+),使得f(x0)=0,即h(x0)=0,此時(shí)h(x)在(1,+)上存在唯一零點(diǎn).

        綜上可得,當(dāng)a≥-1時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a<-1時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

        評(píng)注本題若考慮求出函數(shù)h(x)的解析式,則需要對(duì)a進(jìn)行討論,研究f(x)與g(x)的大小關(guān)系,情況比較復(fù)雜.考慮函數(shù)g(x)不含參,故先研究其零點(diǎn),則得到討論的分界點(diǎn),分為“01”等三種情況,突破了本題的第一個(gè)難點(diǎn).當(dāng)x>1時(shí),由于g(x)>0,故把要求解的問題轉(zhuǎn)化為f(x)的零點(diǎn)情況,則需對(duì)其求導(dǎo),對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論,研究其單調(diào)性,結(jié)合f(1)=0,得到零點(diǎn)個(gè)數(shù),突破了本題的第二個(gè)難點(diǎn).在對(duì)含參函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的討論中,對(duì)參數(shù)的討論分界點(diǎn)的分析尤為重要.

        當(dāng)x=1時(shí),因?yàn)閒(1)=g(1)=0,所以h(1)=0,1為h(x)的零點(diǎn);

        當(dāng)x>1時(shí),因?yàn)閒(x)>f(1)=0,g(x)>g(1)=0,h(x)>0,無零點(diǎn);

        此時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn).

        當(dāng)0

        當(dāng)x=1時(shí),因?yàn)閒(1)=g(1)=0,所以h(1)=0,1為h(x)的零點(diǎn);

        當(dāng)x>1時(shí),因?yàn)間(x)>g(1)=0,此時(shí)只需考慮f(x)在(1,+)上的零點(diǎn)即可.

        若-a≤1,即-1≤a<0時(shí),因?yàn)閒(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(1)=0.從而f(x)無零點(diǎn),進(jìn)而h(x)無零點(diǎn),此時(shí)h(x)在(0,+)上共有一個(gè)零點(diǎn).

        若a<-1時(shí),與解法1相同,可得h(x)在(1,+)上存在唯一零點(diǎn);

        綜上可得,當(dāng)a≥-1時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a<-1時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

        評(píng)注解法2從研究函數(shù)f(x)的零點(diǎn)入手,求導(dǎo)后結(jié)合定義域?qū)?shù)a討論.當(dāng)a<0時(shí),結(jié)合函數(shù)g(x)的零點(diǎn)情況,難點(diǎn)為f(x)在(1,+)上的零點(diǎn)研究,基本思路同解法1.

        三、高考探源

        (1)當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線y=f(x) 的切線;

        (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

        (2)當(dāng)x∈(1,+)時(shí),因?yàn)間(x)=-lnx<0,所以h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0.所以h(x)在(1,+)上無零點(diǎn).

        當(dāng)x∈(0,1)時(shí),因?yàn)間(x)=-lnx>0,所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

        四、變式拓展

        例3 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x2+1,g(x)=kx+1-lnx.

        (1)若過點(diǎn)P(a,-4)恰有兩條直線與曲線y=f(x)相切,求a的值;

        (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)恰有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

        解析(1)設(shè)切點(diǎn)為Q(t,f(t)),因?yàn)閒′(x)=6x2-6x,所以切線的斜率為f′(t)=6t2-6t.所以切線方程為y-f(t)=(6t2-6t)(x-t).因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(a,-4),所以-4-f(t)=(6t2-6t)(a-t).整理,得4t3-(3+6a)t2+6at-5=0.(*)

        又曲線恰有兩條切線,即方程(*)恰有兩個(gè)不同解.

        解得a=-1.

        (2)因?yàn)閒(x)=2x3-3x2+1=(x-1)2(2x+1),所以f(x)在(0,+)上只有一個(gè)零點(diǎn)x=1.

        ①當(dāng)k≤0時(shí),因?yàn)間′(x)<0,所以g(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,所以g(x)在(0,+)上至多只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意.

        令F(x)=ex-x2(x>2),則F′(x)=ex-2x,F(xiàn)″(x)=ex-2>e2-2>0.所以F′(x)>F′(2)=e2-4>0,所以F(x)在區(qū)間(2,+)單調(diào)遞增.

        所以F(x)>F(2)=e2-4>0,ex-x2>0,

        即ex>x2(x>2).

        (**)

        所以g(x1)=g(x2)=0.

        因?yàn)間(1)=k+1>0,f(x1)>0,f(x2)>0,故h(1)>f(1)=0,h(x1)=g(x1)=0,h(x2)=g(x2)=0.

        從而h(x)有三個(gè)零點(diǎn).

        每年高考試題及各地的高三模擬試題,都是命題老師智慧的結(jié)晶,對(duì)這些試題進(jìn)行深入的探究,探究試題的“源與流”,滲透到高三的教學(xué)中去,既能讓教學(xué)內(nèi)容更豐富多彩,又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有利于拓展學(xué)生的思維,提升學(xué)生的素養(yǎng),對(duì)高三的復(fù)習(xí)備考有很大的意義.

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