劉立強(qiáng) 杜紅全

(1.甘肅省康縣第一中學(xué) 746500；2.甘肅省康縣教育局教研室 746500)

一、用于求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或系數(shù)

(1)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；

(2)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；

(3)求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)的系數(shù).

例2(1+x)8(1+y)4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是( ).

A.56 B.84 C.112 D.168

點(diǎn)評(píng)解此問(wèn)題的關(guān)鍵是求(1+x)8的展開(kāi)式中x2的系數(shù)與(1+y)4的展開(kāi)式中y2的系數(shù)的積.若是求一個(gè)三項(xiàng)式的系數(shù)問(wèn)題，則應(yīng)利用公式把三項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)(可因式分解)或把兩項(xiàng)看成一項(xiàng)，然后利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)求解.

二、用于求二項(xiàng)式定理中的相關(guān)元素

三、用于確定展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)

解析由題意，得22n-2n=992.即(2n-32)(2n+31)=0.所以2n=32，解得n=5.

設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大.

因?yàn)閞∈Z，所以r=3.

點(diǎn)評(píng)(1)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)”“系數(shù)最大的項(xiàng)”“系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)”這三個(gè)不同的概念，“二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)”一定是中間項(xiàng)，而“系數(shù)最大的項(xiàng)”“系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)”不一定居中.

(3)二項(xiàng)展開(kāi)式中有四個(gè)特殊項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)、系數(shù)最大項(xiàng)，要掌握它們的求法.

四、用于求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和

例5 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求

(1)a1+a2+…+a7；

(2)a1+a3+a5+a7；

(3)a0+a2+a4+a6；

(4)a2+a5.

解析(1)令x=0，則a0=-1.

令x=1，則a7+a6+…+a1+a0=27=128.

①

所以a1+a2+…+a7=129.

(2)令x=-1，則-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7.

②

點(diǎn)評(píng)本題的解法是賦值法，這是一種重要的方法，它適用于恒等式.對(duì)展開(kāi)式的系數(shù)和的求解，一般采用賦值法，賦值的選擇要根據(jù)展開(kāi)式系數(shù)和特征靈活賦值，通常令x=0，1，-1.

五、用于證明組合數(shù)恒等式

點(diǎn)評(píng)解此問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合二項(xiàng)式定理，注意觀察數(shù)列1,2,22，…，2n的規(guī)律性，令二項(xiàng)展開(kāi)式中a=1，b=2，聯(lián)想二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，構(gòu)造左=(1+2)n=3n=右.

點(diǎn)評(píng)解此問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n，比較等號(hào)兩邊的展開(kāi)式中含xn項(xiàng)的系數(shù).

六、用于證明不等式

所以原不等式成立.

七、用于解決整除性問(wèn)題

例9 求證：9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

證明因?yàn)?n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

所以9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

點(diǎn)評(píng)解此問(wèn)題的關(guān)鍵是將所給的多項(xiàng)式通過(guò)恒等變形變?yōu)槎?xiàng)式的形式，使其展開(kāi)后各項(xiàng)均含有除式.利用二項(xiàng)式定理證明整除性問(wèn)題，通常需要將底數(shù)化成兩數(shù)和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切關(guān)系.

八、用于求余數(shù)問(wèn)題

例109192除以100的余數(shù)是____.

所以9192除以100的余數(shù)是81.

點(diǎn)評(píng)解此問(wèn)題的關(guān)鍵是從9192的式子結(jié)構(gòu)出發(fā)，利用9192=(90+1)92展開(kāi)后再分析即可，但要注意余數(shù)的范圍是[0,90)；當(dāng)然本題也可以利用9192=(100-9)92展開(kāi).利用二項(xiàng)式定理求余數(shù)，通常需要將底數(shù)化成兩數(shù)和與差的形式，且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切關(guān)系.

九、用于求近似值

例11 求1.056的近似值，使結(jié)果精確到0.01.

點(diǎn)評(píng)解此問(wèn)題的關(guān)鍵是展開(kāi)式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似計(jì)算的精確度.在選取展開(kāi)式中保留項(xiàng)時(shí)，以最后一項(xiàng)小數(shù)位超過(guò)精確度即可，少了不符合要求，多了無(wú)用，且增加麻煩.對(duì)于估算求值問(wèn)題，常利用二項(xiàng)式定理.