董凌云
(江蘇省南通市如皋市第二中學(xué) 226500)
不等式作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個重要的內(nèi)容,起著承上啟下的作用,是函數(shù)和方程的延伸和發(fā)展,又為學(xué)生以后學(xué)習(xí)不等式組打下良好的基礎(chǔ).涉及不等式的數(shù)學(xué)題目一般比較困難,同學(xué)們在解題過程中如果快速找到解決問題的關(guān)鍵,可以增強(qiáng)同學(xué)們的解題效率,也能夠調(diào)動同學(xué)們的上課積極性和主動性.如果高中數(shù)學(xué)教師在課堂上多帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)解決不等式問題中的方法和思維,這樣可以開闊學(xué)生的解題思路,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率和積極性.
高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相對初中階段比較困難,題目相對比較復(fù)雜,如果僅僅簡單的運(yùn)用定義定理去思考問題,解決問題比較繁瑣.因此我們可以引入數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法這個概念,幫助同學(xué)們更好地解決問題.我們運(yùn)用的數(shù)學(xué)思維主要包括:函數(shù)方程思維,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)模型、化歸思想等,這些是高中數(shù)學(xué)中的常見的和關(guān)鍵的解題方法,在不等式的學(xué)習(xí)章節(jié)中,有些題目解決起來比較復(fù)雜,不僅僅考察不等式方面的題目,會將不等式的內(nèi)容與函數(shù)方程和圖形結(jié)合在一起,這時候運(yùn)用以上總結(jié)的數(shù)學(xué)思維去解決綜合性的題目相對具有突破性,可以幫助學(xué)生短時間內(nèi)找到解題思路和解題方法,提高答題效率.
1.數(shù)形結(jié)合思想在不等式教學(xué)過程中的運(yùn)用
在不等式的學(xué)習(xí)過程中,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法是指將不等式的問題化為函數(shù)的問題,在坐標(biāo)中畫出函數(shù)的圖像,通過函數(shù)圖像幫助理解不等式,使問題更加簡單易懂.例如在題目解不等式x2-5x>-6中,可以化為x2-5x+6>0,然后將不等式化為等式x2-5x+6=0,得出方程的兩個解為x=2和x=3.然后畫出坐標(biāo)系,在坐標(biāo)系上畫出函數(shù)的圖像,借助函數(shù)的圖像得出不等式的解,通過這種方法使不等式的解,通過圖像更加明了,把抽象的問題直觀化.
2.化歸思想在不等式教學(xué)過程中的應(yīng)用
化歸的數(shù)學(xué)思維在學(xué)生的學(xué)習(xí)中是一個難點(diǎn)和重點(diǎn),首先,學(xué)生對化歸的數(shù)學(xué)思維不了解,更無法說熟練運(yùn)用,熟能生巧.化歸的思想其實(shí)很簡單,就是把題目中的比較復(fù)雜,難以理解的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀兤綍r比較簡單,已經(jīng)掌握的問題解決,但是很多同學(xué)覺得轉(zhuǎn)變這一過程是非常困難的,主要由于學(xué)生對所學(xué)知識掌握不牢固,在做題過程中沒有做到舉一反三,也沒有總結(jié)一類題目的解決方法和應(yīng)用的數(shù)學(xué)思維.下面我們舉一個運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思維,解決數(shù)學(xué)題目的例子.
面對這樣的問題時,學(xué)生如果將其看作二次函數(shù)的問題進(jìn)行求解,解題過程可能非常復(fù)雜、不易理解,使題目不容易解決,如果換一個角度思考這道題目,將a看作問題的主元,問題則會顯得相對簡單易懂,這樣二次函數(shù)就會轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)了.
g(a)=(x2-1)a+x
從而化解了復(fù)雜的解題過程,結(jié)合已知條件,學(xué)生對x2-1進(jìn)行討論,從x2-1=0 和x2-1≠0兩個方面進(jìn)行討論,使問題得到順利解決.在函數(shù)的值域問題上,同學(xué)們可以通過分析函數(shù)解析式的特征,利用化歸思想的數(shù)學(xué)思維解決求解值域的最佳解題方法,在化歸的思想中,最關(guān)鍵的是運(yùn)用兩種相似題目的轉(zhuǎn)化方法,只有熟練掌握兩種知識的聯(lián)系與區(qū)別,才能在解題的過程中熟練掌握,這還需要同學(xué)們下功夫.
3.函數(shù)方程思想在不等式教學(xué)中的應(yīng)用
函數(shù)方程的數(shù)學(xué)思維在不等式解題過程中的運(yùn)用主要指首先將不等式的問題化為函數(shù)方程的問題,因?yàn)楹瘮?shù)方程問題是我們比較熟悉的領(lǐng)域,解函數(shù)方程的值,對于每個同學(xué)都是輕而易舉的事情.我們通過解函數(shù)方程的值,進(jìn)一步解出不等式的解.必要時可以借助函數(shù)圖像加以輔助,得到不等式的解.應(yīng)用這個方法解決不等式問題的過程中,可以讓每位同學(xué)都能又快又準(zhǔn)確的解出不等式的值.
例如在題目解不等式x2-5x>-6中,可以化為x2-5x+6>0,然后將不等式化為等式x2-5x+6=0,得出方程組的兩個解為x=2和x=3,進(jìn)而得原不等式的解為x<2或x>3.
4.分類討論思想在不等式學(xué)習(xí)過程的運(yùn)用
有些不等式的問題比較復(fù)雜,可以分為很多種情形,尤其對帶有絕對值的不等式,對于學(xué)生來說,解題比較復(fù)雜,容易犯錯誤.這時候高中數(shù)學(xué)教師可以教學(xué)生分類討論的方法,運(yùn)用分類討論的方法去掉絕對值,將復(fù)雜的帶絕對值的不等式問題變?yōu)槠胀ǖ牟坏仁降膯栴},難題就會迎刃而解了.例如以下絕對值不等式的題目.
例如:|x+1|+|x+2|>4
解析本道例題分以下三種情況:
(2)-2
運(yùn)用以上分類討論的思想,高中數(shù)學(xué)教師一定要向?qū)W生嚴(yán)格強(qiáng)調(diào),盡量做到不重不漏.
1.吸引同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣
高中數(shù)學(xué)教師在學(xué)習(xí)不等式的過程中貫穿對數(shù)學(xué)思維的理解和運(yùn)用,有利于讓同學(xué)們覺得復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目是有規(guī)律可循的,只要精通一類數(shù)學(xué)思維,就會順利解決一類題目.同學(xué)們覺得數(shù)學(xué)不再是講究題海戰(zhàn)術(shù),每天都有做不完的數(shù)學(xué)題.這將會大大提高學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣和課堂上認(rèn)真聽講的積極性.
2.為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)交流和合作的平臺
數(shù)學(xué)思維的種類有很多,一道數(shù)學(xué)題目的解題方法也很多,其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維也很多,不同的學(xué)生面對同一道問題時可能出現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)思維,學(xué)生在遇到比較困難的題目的時候,可以采用小組合作探究的方式或者是尋求教師指導(dǎo)的方式,在不同的數(shù)學(xué)思維的交流碰撞中選擇最好的解題思路和方法.同時在班級范圍內(nèi)營造出一種比較良好的學(xué)習(xí)氛圍,讓更多的學(xué)生找到學(xué)習(xí)方法,投身到學(xué)習(xí)中去.
3.促進(jìn)學(xué)生對所學(xué)知識的靈活運(yùn)用
數(shù)學(xué)思維的解題方法不僅僅是對現(xiàn)有題目的解題方法,也是對以前題目的總結(jié)概括,再解決一道題目中同學(xué)可以想象一些相似的題目的解決方法,這考驗(yàn)了學(xué)生對所學(xué)知識的記憶能力和靈活運(yùn)用能力,在學(xué)會這一道題的解決方法時,教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生多做總結(jié),為以后解決類似題目奠定基礎(chǔ).
結(jié)論:數(shù)學(xué)的題目還是復(fù)雜多變的,尤其是在不等式的學(xué)習(xí)過程中,教師要告誡學(xué)生,不要以為學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思維就可以一勞永逸,解決所有題目了.想要自己的數(shù)學(xué)成績比較突出,仍然需要每位同學(xué)在平時多做題,多練習(xí),針對不同的題目多總結(jié)概括,發(fā)展自己的解題思維.