張青云 趙新華, 劉 涼 戴騰達(dá)

(1.天津理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院， 天津 300384；2.天津理工大學(xué)天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300384)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)因承載力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)剛度大、累計(jì)誤差小等特點(diǎn)[1-4]而廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、航天、工業(yè)制造等領(lǐng)域。為了減少系統(tǒng)能耗、提高效率，閉鏈機(jī)器人一般由細(xì)長(zhǎng)連桿構(gòu)成，導(dǎo)致系統(tǒng)構(gòu)件在運(yùn)行過(guò)程中柔度增加、固有頻率降低、彈性振動(dòng)變大，從而影響了系統(tǒng)穩(wěn)定性及軌跡運(yùn)行精度。目前，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的振動(dòng)分析主要集中在殘余振動(dòng)方面，很少涉及系統(tǒng)自激振動(dòng)。文獻(xiàn)[5]對(duì)物料裝填機(jī)器人末端的殘余振動(dòng)進(jìn)行了分析和抑制。文獻(xiàn)[6]采用應(yīng)變率反饋控制方法抑制了3-RRR平面柔性并聯(lián)機(jī)器人殘余振動(dòng)。文獻(xiàn)[7]建立了剛?cè)釤狁詈系男D(zhuǎn)中心剛體-功能梯度材料梁的動(dòng)力學(xué)模型。文獻(xiàn)[8]通過(guò)S形曲線對(duì)機(jī)器人殘余振動(dòng)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[9]對(duì)Delta并聯(lián)機(jī)器人殘余振動(dòng)進(jìn)行控制分析。文獻(xiàn)[10]對(duì)伸縮臂進(jìn)行了抖動(dòng)抑制研究。文獻(xiàn)[11]采用主動(dòng)控制方法對(duì)平面3-RRR柔性并聯(lián)機(jī)器人的自激振動(dòng)進(jìn)行有效抑制。文獻(xiàn)[12]采用非線性PD和模糊控制算法對(duì)3-RRR平面柔性并聯(lián)機(jī)器人自激振動(dòng)進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[13]對(duì)平面3自由度并聯(lián)機(jī)器人的自激振動(dòng)進(jìn)行了控制研究。上述研究主要針對(duì)柔性臂和平面柔性機(jī)構(gòu)的自激振動(dòng)進(jìn)行分析，鮮有涉及空間柔性閉鏈機(jī)構(gòu)的自激振動(dòng)。文獻(xiàn)[14]建立了3-RRS柔性空間并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行分析，但運(yùn)動(dòng)支鏈中不存在空間柔性構(gòu)件。文獻(xiàn)[15]對(duì)含柔性連桿的并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值分析。文獻(xiàn)[16]建立了含多個(gè)柔性連桿和柔性鉸的空間全柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，但并未對(duì)空間柔性系統(tǒng)的振動(dòng)特性進(jìn)行分析。

為了實(shí)現(xiàn)低成本、高效的振動(dòng)特性分析，通過(guò)仿真技術(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)效應(yīng)進(jìn)行研究也逐漸趨于成熟。文獻(xiàn)[17]對(duì)天平包裝件的隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行了振動(dòng)仿真分析，并對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[18]建立了一種5自由度噴涂機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)模型進(jìn)行了受迫振動(dòng)分析。文獻(xiàn)[19]通過(guò)采用ADAMS /Vibration對(duì)鋼管自動(dòng)輸送機(jī)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)仿真分析。文獻(xiàn)[20]通過(guò)多體動(dòng)力學(xué)軟件對(duì)定軸齒輪箱剛?cè)狁詈夏Ｐ偷恼駝?dòng)頻率特征進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[21-23]通過(guò)仿真方法驗(yàn)證了并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的正確性。文獻(xiàn)[24]建立了輪式車(chē)輛傳動(dòng)系的自激扭轉(zhuǎn)振動(dòng)仿真模型。

本文采用有限單元法對(duì)柔性構(gòu)件進(jìn)行離散，利用浮動(dòng)坐標(biāo)系法構(gòu)建連桿位移場(chǎng)，最后通過(guò)Lagrange方程建立空間剛?cè)狁詈祥]鏈機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型及振動(dòng)方程，并對(duì)系統(tǒng)固有頻率和振型函數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解。在同等參數(shù)條件下，利用ADAMS/Vibration模塊建立空間剛?cè)狁詈祥]鏈機(jī)器人的振動(dòng)仿真模型，對(duì)其進(jìn)行自激振動(dòng)分析，研究系統(tǒng)固有頻率和對(duì)應(yīng)模態(tài)的變化，以及不同激振力作用下的頻率響應(yīng)特征。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 物理模型

空間柔性閉鏈機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，它由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)及3條三角對(duì)稱的運(yùn)動(dòng)支鏈AiBiCiPi(i=1、2、3)構(gòu)成。其中，Ai、Bi、Ci為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接點(diǎn)，Pi為虎克鉸關(guān)節(jié)連接點(diǎn)。由于連桿CiPi(i=1、2、3)為細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件，系統(tǒng)高速運(yùn)行下將產(chǎn)生柔性變形，導(dǎo)致振動(dòng)增強(qiáng)，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)及振動(dòng)特性分析時(shí)，需將其設(shè)為柔性構(gòu)件，而連桿AiBi、BiCi(i=1、2、3)和動(dòng)平臺(tái)則設(shè)為剛性構(gòu)件。

運(yùn)動(dòng)支鏈的坐標(biāo)系簡(jiǎn)圖如圖2所示。其中，全局坐標(biāo)系OXYZ和局部坐標(biāo)系Pxyz設(shè)在靜平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的幾何中心，其余連桿坐標(biāo)系則設(shè)置在各連桿的上關(guān)節(jié)處。φi為支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)ixAiyAizAi中x軸與全局坐標(biāo)系X軸之間的夾角，θi1、θi2和θi3為連桿坐標(biāo)系下各連桿與轉(zhuǎn)軸之間的夾角，并且連桿AiBi、BiCi繞局部坐標(biāo)軸y轉(zhuǎn)動(dòng)，而連桿CiPi則繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，柔性連桿CiPi為空間構(gòu)件。

1.2 空間柔性連桿運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

空間柔性連桿坐標(biāo)系固定在構(gòu)件端點(diǎn)處，可簡(jiǎn)化絕對(duì)運(yùn)動(dòng)描述?；诟?dòng)坐標(biāo)系，空間柔性連桿上任意點(diǎn)w在全局坐標(biāo)系下位移矢量可表示為

rw=r0+Rξ

(1)

其中

式中r0——柔性連桿坐標(biāo)系原點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的位移矢量

ξ0——未變形矢量ξf——變形矢量

qf——單元節(jié)點(diǎn)位移向量

N——插值函數(shù)

R——柔性連桿坐標(biāo)系變換到全局坐標(biāo)系的變化矩陣

NA、NB、NC分別采用線性函數(shù)和三次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行插值計(jì)算。

根據(jù)上述描述可知

R=Ri1Ri2Ri3

(2)

式中Ri3——坐標(biāo)系Pxyz變換到坐標(biāo)系CixCiyCizCi的變換矩陣

Ri2——坐標(biāo)系CixCiyCizCi變換到坐標(biāo)系BixBiyBizBi的變換矩陣

Ri1——坐標(biāo)系BixBiyBizBi變換到坐標(biāo)系A(chǔ)ixAiyAizAi的變換矩陣

對(duì)式(1)求導(dǎo)，可得任意點(diǎn)在全局坐標(biāo)系下的速度矢量為

(3)

式中I——單位矩陣

n——運(yùn)動(dòng)支鏈i中剛性構(gòu)件數(shù)

同理，全局坐標(biāo)系下柔性連桿的絕對(duì)轉(zhuǎn)角為

(4)

其中

式中O——零矩陣

1.3 空間柔性構(gòu)件動(dòng)能

空間柔性構(gòu)件動(dòng)能包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，則空間柔性構(gòu)件的平動(dòng)動(dòng)能Tf-T可表示為

(5)

而空間柔性連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Tf-R為

(6)

式中L3——柔性連桿長(zhǎng)度

ρ——柔性構(gòu)件密度

Jc——構(gòu)件繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Mf-T、Mf-R——對(duì)應(yīng)平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的質(zhì)量矩陣

空間柔性連桿總動(dòng)能為

(7)

式中Mf——空間柔性構(gòu)件對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣

1.4 空間柔性構(gòu)件勢(shì)能

空間柔性構(gòu)件勢(shì)能由彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能構(gòu)成。其中，空間柔性連桿的彈性勢(shì)能對(duì)應(yīng)的剛度矩陣可通過(guò)虛功原理推導(dǎo)得

(8)

其中

σ=Eεε=Dξf

式中E——彈性模量矩陣

ε——應(yīng)變位移關(guān)系

D——應(yīng)變-位移的偏微分算子

則空間柔性構(gòu)件剛度矩陣為

(9)

空間柔性連桿對(duì)應(yīng)的彈性廣義力為

Ff=Kfq

(10)

其中

式中On——n個(gè)剛體廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的剛度矩陣項(xiàng)

q——系統(tǒng)廣義坐標(biāo)

空間柔性構(gòu)件重力廣義力為

(11)

式中m3——柔性連桿質(zhì)量

rw_z——柔性連桿質(zhì)心在全局坐標(biāo)系下Z軸方向坐標(biāo)值

1.5 空間柔性構(gòu)件動(dòng)力學(xué)方程

將式(7)～(11)代入Lagrange方程，則空間柔性連桿的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(12)

其中

Qf=QfF-Qfv

式中Qfv——速度二次項(xiàng)

QfF——單元所受廣義外力

由于變形矢量ξf是在局部坐標(biāo)系下進(jìn)行描述，將其變換到全局坐標(biāo)系下表示為

ξf=Buf

(13)

式中uf——全局坐標(biāo)系下的柔性廣義坐標(biāo)

B——全局坐標(biāo)系A(chǔ)ixAiyAizAi變換到局部坐標(biāo)系CixCiyCizCi的變換矩陣

將式(13)代入式(12)，則空間柔性連桿在全局坐標(biāo)系下表示的動(dòng)力學(xué)方程為

(14)

1.6 運(yùn)動(dòng)支鏈動(dòng)力學(xué)方程

運(yùn)動(dòng)支鏈由空間柔性構(gòu)件及剛性連桿AiBi、BiCi組成，其中，剛性連桿AiBi、BiCi動(dòng)能和勢(shì)能分別為

(15)

(16)

式中m1、m2——連桿AiBi和BiCi質(zhì)量

L1、L2——連桿AiBi和BiCi長(zhǎng)度

vi1、vi2——連桿AiBi和BiCi絕對(duì)速度

J2——連桿BiCi轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

ωi2——連桿BiCi轉(zhuǎn)動(dòng)慣量絕對(duì)角速度

1.7 約束關(guān)系

P′=P+JPΔP

(17)

式中 ΔP——?jiǎng)悠脚_(tái)微小位移

動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)為

(18)

式中mP——?jiǎng)悠脚_(tái)質(zhì)量

J——?jiǎng)悠脚_(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

zP′——?jiǎng)悠脚_(tái)在全局坐標(biāo)系Z方向位移

1.8 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

由式(14)～(18)可得到空間柔性閉鏈機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程為

(19)

2 固有頻率和振型分析

由式(19)可得空間柔性閉鏈機(jī)器人自由振動(dòng)方程為

(20)

根據(jù)模態(tài)分析理論[26]可得系統(tǒng)固有頻率和模態(tài)振型表達(dá)式為

|-λM+K|=0

(21)

當(dāng)質(zhì)量矩陣M為非奇異矩陣時(shí)，令C=M-1K，則式(21)可改寫(xiě)為

(22)

式中ωm——系統(tǒng)固有角頻率

fm——系統(tǒng)固有頻率

空間柔性閉鏈機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

系統(tǒng)動(dòng)平臺(tái)幾何中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為

(23)

其中，t=5 s，靜平臺(tái)半徑r=0.4 m，角速度ω=2 rad/s。

通過(guò)Matlab軟件編寫(xiě)程序進(jìn)行仿真可得空間柔性閉鏈機(jī)器人固有頻率隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖3所示，以及動(dòng)平臺(tái)在全局坐標(biāo)系下隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示。

由圖4可知，在空間柔性構(gòu)件的作用下，理論模型的動(dòng)平臺(tái)在X方向和Y方向最大浮動(dòng)值分別為0.008 9 m和0.004 7 m，而Z方向位移在-0.701 2～-0.699 8 m之間波動(dòng)。

3 振動(dòng)仿真

基于圖1，利用ADAMS軟件建立空間柔性閉鏈機(jī)器人的仿真模型。再通過(guò)ADAMS/Vibration模塊對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行約束模態(tài)分析。由于系統(tǒng)中的空間柔性桿為均質(zhì)、圓形截面構(gòu)件，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故直接通過(guò)Flexible Bodies模塊進(jìn)行柔化處理，產(chǎn)生1 014個(gè)節(jié)點(diǎn)，2 136個(gè)單元。

3.1 自由模態(tài)分析

通過(guò)振動(dòng)仿真分析，空間柔性閉鏈機(jī)器人在自由狀態(tài)時(shí)的前12階固有頻率如表2所示。

表2 振動(dòng)仿真模型前12階固有頻率Tab.2 The first 12 natural frequencies of vibration simulation model

由表2可知，ADAMS模型中的前6階固有頻率都為0，即系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的剛體模態(tài)，它由3個(gè)移動(dòng)模態(tài)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)構(gòu)成。因此，系統(tǒng)最小固有頻率出現(xiàn)在第7階，對(duì)應(yīng)固有頻率為2.2×10-5Hz。而理論模型通過(guò)式(22)計(jì)算后，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)最小固有頻率為4.02×10-5Hz。由于振動(dòng)仿真系統(tǒng)由多個(gè)剛?cè)針?gòu)件組成，并且空間柔性構(gòu)件的單元數(shù)多，柔度大，所以仿真模型的最小固有頻率小于理論模型，但兩者數(shù)值基本一致，驗(yàn)證了振動(dòng)仿真模型建立的正確性。因此，可通過(guò)該振動(dòng)仿真模型對(duì)其系統(tǒng)振動(dòng)特性進(jìn)行精確仿真分析。

3.2 約束模態(tài)分析

為了分析空間柔性閉鏈機(jī)器人實(shí)際工作狀態(tài)下的振動(dòng)特性，將空間柔性閉鏈機(jī)器人的載荷以質(zhì)量的形式進(jìn)行描述(表1)。由于空間柔性構(gòu)件的變形受到與之相連的剛性構(gòu)件的影響，因此，將該空間柔性構(gòu)件邊界條件設(shè)為兩端鉸支，而系統(tǒng)其他構(gòu)件的約束關(guān)系則通過(guò)Connector模塊進(jìn)行設(shè)置，如表3所示。

表3 機(jī)構(gòu)約束關(guān)系Tab.3 Constraint relationship

通過(guò)對(duì)空間柔性閉鏈機(jī)器人進(jìn)行約束模態(tài)分析可知，系統(tǒng)3～12階固有頻率如表4所示。

表4 約束模態(tài)系統(tǒng)頻率Tab.4 System natural frequency in constrained mode

由表4可知，空間柔性閉鏈機(jī)器人約束模態(tài)下的固有頻率遠(yuǎn)大于自由模態(tài)下的固有頻率，說(shuō)明系統(tǒng)在約束狀態(tài)下的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性更好也更符合實(shí)際工況。因此，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行約束模態(tài)分析具有實(shí)用價(jià)值。

而在系統(tǒng)約束狀態(tài)下，對(duì)空間柔性閉鏈機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真可得動(dòng)平臺(tái)隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖5所示。

由圖5可知，系統(tǒng)動(dòng)平臺(tái)在X和Y方向的位移為-0.103 6～0.100 9 m和-0.102 5～0.100 6 m，Z方向的位移運(yùn)動(dòng)范圍為-0.700 8～-0.699 3 m。通過(guò)與理論模型動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)比可知，兩類模型在同等參數(shù)條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡基本一致，驗(yàn)證了理論模型和分析模型建立的正確性。

3.3 自激振動(dòng)仿真

空間柔性閉鏈機(jī)器人系統(tǒng)高度非線性，系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中不僅存在空間柔性構(gòu)件彈性變形引起的振動(dòng)。同時(shí)，空間柔性構(gòu)件的彈性變形也將引起動(dòng)平臺(tái)的微小位移，產(chǎn)生軌跡偏差。此時(shí)，為了補(bǔ)償軌跡偏差，通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)部振源進(jìn)行自身調(diào)節(jié)而激勵(lì)的振動(dòng)則為自激振動(dòng)。

通過(guò)對(duì)約束狀態(tài)下的空間柔性閉鏈機(jī)器人進(jìn)行自激振動(dòng)仿真分析可知，系統(tǒng)共有31階模態(tài)，由圖6可知模態(tài)最大值為25 Hz。

空間柔性閉鏈機(jī)器人主要頻率及振型如圖7所示。

系統(tǒng)特征值與固有頻率如表5所示。

表5 系統(tǒng)特征值與固有頻率Tab.5 System natural frequency and characteristic value

為了分析不同激振力對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻率的影響，需要定義系統(tǒng)輸入通道和輸出通道。其中，輸入通道用于設(shè)置激勵(lì)值及其作用位置，輸出通道則是對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)頻率進(jìn)行檢測(cè)。為了對(duì)比不同激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，設(shè)置3個(gè)不同位置的輸入通道，3個(gè)輸出通道，位置如表6所示。

表6 輸入和輸出通道參數(shù)Tab.6 Input and output channel parameters

系統(tǒng)輸入通道采用簡(jiǎn)諧激勵(lì)F(t)=f0sin(ωt)，則對(duì)應(yīng)不同f0的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線如圖8所示。

由圖8可得，3個(gè)激勵(lì)中，f0=1 000 Hz對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)最大，f0=100 Hz次之，而f0=10 Hz的幅頻響應(yīng)最小。當(dāng)激勵(lì)作用于空間柔性構(gòu)件質(zhì)心xCi方向時(shí)，動(dòng)平臺(tái)Y方向響應(yīng)最強(qiáng)，Z方向次之，而X方向最小。當(dāng)激振力頻率在20～60 Hz時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)明顯躍升和下降，振動(dòng)效應(yīng)明顯。

當(dāng)3個(gè)不同激勵(lì)作用于空間柔性構(gòu)件質(zhì)心yCi方向時(shí)，如圖9所示，隨著激振力幅值的增加，動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處X、Y、Z方向幅頻影響特性也隨之增強(qiáng)。其中，最大幅頻響應(yīng)為f0=1 000 Hz時(shí)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心處Y方向響應(yīng)，最小幅頻響應(yīng)值為f0=10 Hz時(shí)動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心X方向響應(yīng)。

由圖10可知，幅頻響應(yīng)最大值出現(xiàn)在圖10b中，而圖10a次之，圖10c最小。并且激振力幅值越大，幅頻響應(yīng)也越強(qiáng)。

由于低頻模態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響較大，故通過(guò)1～100 Hz頻段的模態(tài)坐標(biāo)圖來(lái)分析系統(tǒng)自激振動(dòng)特性。其中，對(duì)應(yīng)同一激勵(lì)作用的系統(tǒng)各階模態(tài)參與因子曲線圖如圖11所示。

通過(guò)自激振動(dòng)仿真可知，系統(tǒng)第11、12階模態(tài)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)最大變形，對(duì)應(yīng)激振頻率在40～60 Hz之間，并且隨著激振頻率的逐步增加，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)值開(kāi)始下降，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。因此，為了能有效抑制系統(tǒng)柔性變形導(dǎo)致的振動(dòng)問(wèn)題，應(yīng)盡量避免外部激勵(lì)頻率為40～60 Hz。

4 結(jié)論

(1)建立了考慮空間柔性構(gòu)件變形的剛?cè)狁詈祥]鏈機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，分析可知，系統(tǒng)空間柔性構(gòu)件的彈性變形對(duì)系統(tǒng)動(dòng)平臺(tái)的軌跡精度和振動(dòng)效應(yīng)具有重要影響，符合實(shí)際工況，可為空間柔性閉鏈機(jī)器人的控制設(shè)計(jì)提供理論支持。

(2)振動(dòng)仿真模型和理論模型的固有頻率基本一致，驗(yàn)證了振動(dòng)仿真模型的正確性。因此，可以利用仿真模型對(duì)空間柔性閉鏈機(jī)器人進(jìn)行振動(dòng)特性分析。

(3)通過(guò)自激振動(dòng)分析得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心在3個(gè)坐標(biāo)軸方向的幅頻響應(yīng)曲線，結(jié)果表明：激振力幅值越大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)越強(qiáng)。其中，Y方向響應(yīng)最大，X方向次之，Z方向最小。

(4)由各階模態(tài)參與因子曲線圖可知，系統(tǒng)第11、12階模態(tài)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)變形最大，對(duì)應(yīng)的激振頻率為40～60 Hz。因此，為了有效抑制系統(tǒng)柔性變形而導(dǎo)致的振動(dòng)問(wèn)題，應(yīng)使系統(tǒng)外部激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離該頻率范圍。