牛文鐵 才福友 付景靜

(天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300350)

0 引言

載荷譜[1-2]是進(jìn)行零部件疲勞壽命預(yù)測和優(yōu)化設(shè)計的重要依據(jù)。目前，載荷譜已經(jīng)在航天、汽車、高鐵等領(lǐng)域得到了廣泛研究與應(yīng)用[3-5]。而我國大型玉米收獲機(jī)關(guān)鍵零部件載荷譜的編制方法研究尚處于起步階段，與國外發(fā)達(dá)國家相比還有較大的差距。國產(chǎn)玉米收獲機(jī)故障頻發(fā)，穩(wěn)定性較差，其主要原因是設(shè)計水平不高，在研發(fā)設(shè)計初期大多以仿制和借鑒為主，很多零部件的結(jié)構(gòu)設(shè)計并沒有足夠的載荷譜數(shù)據(jù)作為支撐。玉米收獲機(jī)的車架是整車的核心承載部件，承受著割臺、駕駛室、發(fā)動機(jī)、糧倉等傳遞的力和力矩，在實(shí)際工作過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)車架裂痕、甚至斷裂的現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了玉米收獲機(jī)的整車性能。因此，采用合理的載荷外推方法進(jìn)行多種工況下玉米收獲機(jī)車架的載荷譜編制，對于玉米收獲機(jī)車架的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和整車性能提高具有重要意義。

在實(shí)際載荷測試試驗(yàn)中，由于時間、天氣、試驗(yàn)場地和成本等多種原因，只能進(jìn)行一定時間內(nèi)載荷時間歷程的測量，實(shí)測載荷僅反映試驗(yàn)期間的載荷時間歷程，不能反映全壽命周期下的載荷分布，因此需要對有限的載荷時間歷程進(jìn)行合理有效的載荷外推[6]。載荷外推是影響載荷譜編制準(zhǔn)確性的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。JOHANNESSON[7]提出了基于POT參數(shù)模型的時域外推方法，通過設(shè)置峰值的閾值，估計峰值的分布函數(shù)，在最大限度保留原始載荷時間序列的基礎(chǔ)上，重構(gòu)得到外推后的載荷時間歷程。楊子涵等[8]對時域外推過程中的閾值選取方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種時域外推過程中閾值選取的量化方法，解決了時域外推過程中閾值選取主觀性較強(qiáng)的問題。張英爽等[9]將經(jīng)過雨流計數(shù)法統(tǒng)計后的載荷循環(huán)均值和載荷循環(huán)幅值的分布分別用正態(tài)分布和威布爾分布進(jìn)行參數(shù)擬合，并以此進(jìn)行載荷外推。翟新婷等[10]、GENG等[11]以混合分布函數(shù)作為函數(shù)擬合模型進(jìn)行參數(shù)估計，該方法的擬合效果優(yōu)于單分布的參數(shù)估計。但是，參數(shù)外推方法是用純粹的分布函數(shù)來描述載荷的分布規(guī)律，對于復(fù)雜、隨機(jī)性較大的載荷，則會產(chǎn)生較大的誤差，大大降低了外推載荷譜與實(shí)際載荷譜的等效性。隨著研究的不斷深入，基于核密度估計法的非參數(shù)估計方法被應(yīng)用于載荷外推中，該方法既可很好地保留載荷數(shù)據(jù)本身的分布規(guī)律，又能實(shí)現(xiàn)對任意載荷分布的擬合。李凡松等[12]采用基于自適應(yīng)帶寬的核密度估計方法進(jìn)行載荷外推，每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)都有其自身對應(yīng)的帶寬，該方法相較于固定帶寬的核密度估計方法具有更好的擬合效果。

本文針對核密度估計載荷非參數(shù)外推方法中帶寬的選擇問題，結(jié)合改進(jìn)的四叉樹分割算法，對核密度估計的帶寬計算進(jìn)行優(yōu)化，提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)帶寬核密度估計的載荷外推方法。以玉米收獲機(jī)車架為研究對象，通過與傳統(tǒng)的基于核密度估計的固定帶寬外推方法和自適應(yīng)帶寬外推方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證該自適應(yīng)帶寬核密度估計的載荷外推方法的準(zhǔn)確性和合理性。

1 核密度估計

核密度估計是由ROSENBLATT[13]和PARZEN[14]提出的一種由實(shí)測分布函數(shù)未知的隨機(jī)變量來估計其概率密度函數(shù)的非參數(shù)估計方法。該方法不需要知道數(shù)據(jù)的先驗(yàn)分布，也不必對數(shù)據(jù)進(jìn)行任何的假設(shè)，只需要確定輸入的數(shù)據(jù)變量、核函數(shù)以及帶寬就可以估計輸入數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)。目前，核密度估計已經(jīng)在電力、醫(yī)療、地理等領(lǐng)域得到了非常廣泛的應(yīng)用[15-18]。玉米收獲機(jī)工作時由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，工況多樣，導(dǎo)致負(fù)載波動大，實(shí)測載荷信號具有很強(qiáng)的分散性和隨機(jī)性，相較于一般的參數(shù)估計法來說，核密度估計能更好地描述載荷數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，從而使得載荷外推更加準(zhǔn)確。

基于雨流計數(shù)矩陣的載荷外推是關(guān)于載荷循環(huán)均值和幅值的二維問題，二維核密度估計表達(dá)式為

(1)

其中

(2)

式中n——輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)的個數(shù)

hx、hy——核密度估計載荷循環(huán)幅值、均值的帶寬

xi、yi——輸入的第i個載荷循環(huán)幅值、均值

K(·)——核函數(shù)

只要選取的核函數(shù)和帶寬合適，就可以無限制地去逼近任何隨機(jī)變量真實(shí)的概率密度函數(shù)。大量研究表明，當(dāng)輸入的樣本數(shù)據(jù)量足夠大時，核函數(shù)的具體形式對概率密度估計的準(zhǔn)確性產(chǎn)生的影響相對較小[19]，本文選擇光滑且連續(xù)、明顯單峰分布的高斯核函數(shù)。二維高斯核函數(shù)表達(dá)式為

(3)

與核函數(shù)相比，帶寬h的選擇對核密度估計的準(zhǔn)確性影響更大[20]。帶寬h決定了(x,y)的光滑程度，若h較大，則有較多的數(shù)據(jù)點(diǎn)影響此處的概率密度計算，(x,y)曲線在此處較光滑，但是其與實(shí)際概率密度曲線的偏差較大；若h較小，則有較少的數(shù)據(jù)點(diǎn)影響此處的概率密度計算，(x,y)曲線在此處較陡峭，但是其與實(shí)際概率密度曲線的偏差較小。因此，為了更加準(zhǔn)確地進(jìn)行核密度估計，帶寬h的選擇尤為重要。為了定量化實(shí)現(xiàn)最優(yōu)帶寬計算，提出了平均積分平方誤差(MISE)，MISE表達(dá)式為

(4)

f(x)——實(shí)測數(shù)據(jù)真實(shí)的概率密度

E(·)——求均值函數(shù)

拇指法則是目前應(yīng)用最多的固定最優(yōu)帶寬的計算法則，拇指法則的最優(yōu)帶寬計算公式為

(5)

式中d——核密度估計的維數(shù)，取2

σ——輸入二維數(shù)據(jù)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

此外，還可用無偏交叉驗(yàn)證(Unbiased cross validation)[21]、插入法(Plug-in)[22]等進(jìn)行最優(yōu)帶寬的計算。上述方法計算的最優(yōu)帶寬是固定的，即每一個數(shù)據(jù)都有著同樣的帶寬，不能自動調(diào)節(jié)和變化，然而，在核密度估計的實(shí)際應(yīng)用中，由于數(shù)據(jù)的隨機(jī)性較強(qiáng)，分布不均勻，通過固定帶寬核密度估計計算得到的概率密度可能與實(shí)際的分布相差較大，所以，希望帶寬能夠隨數(shù)據(jù)的變化而變化，在數(shù)據(jù)密集的地方取得小一些，在數(shù)據(jù)稀疏的地方取得大一些。因此，自適應(yīng)帶寬核密度估計[23-24]得到了廣泛的應(yīng)用，該方法的具體計算公式為

(x,y)=

(6)

其中

λi=(g-1(xi,yi))-α

(7)

(8)

式中λi——帶寬的自適應(yīng)修訂系數(shù)

α——敏感性參數(shù)，取0～1

一般情況下當(dāng)α取0.5時，核密度估計的擬合效果較好[25]，相對于固定帶寬的核密度估計來說，自適應(yīng)帶寬在一定程度上提高了核密度估計的準(zhǔn)確性，但由于數(shù)據(jù)集中的每一個數(shù)據(jù)都會影響彼此的帶寬，當(dāng)輸入數(shù)據(jù)集較大時，會大大降低核密度估計的計算效率。當(dāng)一定數(shù)量的數(shù)據(jù)聚集在一個很小的區(qū)域時，此區(qū)域內(nèi)帶寬的差異對核密度估計的影響十分有限，因此可以根據(jù)數(shù)據(jù)的聚集程度將同一區(qū)域內(nèi)所有數(shù)據(jù)的帶寬設(shè)置成相同的，就可以避免對這些點(diǎn)進(jìn)行不必要的詳細(xì)的帶寬計算，在保證一定核密度估計準(zhǔn)確性的前提下，提高了計算效率，所以針對核密度估計最優(yōu)帶寬的選擇問題，為了更好兼顧核密度估計的計算效率與準(zhǔn)確性，本文在上述方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的自適應(yīng)帶寬計算方法。

2 基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計載荷外推

基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計載荷外推主要由3個步驟組成，包括：核密度估計的數(shù)據(jù)輸入、基于四叉樹算法的數(shù)據(jù)區(qū)域分割以及基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計。具體的載荷外推流程圖如圖1所示。

2.1 核密度估計的數(shù)據(jù)輸入

雨流計數(shù)法得到的應(yīng)變與材料的應(yīng)力-應(yīng)變遲滯回線具有很好的一致性，并且考慮了載荷循環(huán)幅值和均值2個變量，符合疲勞載荷本身固有的特性，能夠滿足疲勞壽命預(yù)估以及載荷譜編制的條件，是目前應(yīng)用最為廣泛的實(shí)測載荷時間歷程的計數(shù)統(tǒng)計方法。首先將已經(jīng)預(yù)處理的實(shí)測載荷利用該方法進(jìn)行計數(shù)統(tǒng)計處理，得到載荷循環(huán)均幅值矩陣M(Mm、Ma)，其中Mm表示載荷循環(huán)均值，Ma表示載荷循環(huán)幅值；在實(shí)際工作中，小幅值載荷循環(huán)的數(shù)量比大幅值載荷循環(huán)大，但是其造成的疲勞損傷非常小[26]，所以可以將小于最大載荷循環(huán)幅值10%的載荷循環(huán)只進(jìn)行簡單的線性比例外推，這很大程度上減少了核密度估計的數(shù)據(jù)輸入量，從而降低核密度估計的計算量，提高了計算效率。已經(jīng)過濾掉小幅值載荷循環(huán)的載荷循環(huán)均幅值矩陣記為Mn(Mmn、Man)，并以此作為核密度估計的數(shù)據(jù)輸入。

2.2 基于四叉樹算法的數(shù)據(jù)區(qū)域分割

四叉樹算法[27]是一種經(jīng)典的空間分割與索引技術(shù)，目前在圖像分割與空間索引領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[28-29]。該算法可以通過對數(shù)據(jù)空間進(jìn)行遞歸四等分割將數(shù)據(jù)區(qū)域分割成密度不等的塊，數(shù)據(jù)越密集的地方，塊的數(shù)量越多，塊相對較小；而數(shù)據(jù)越稀疏的地方，塊的數(shù)量越少，塊相對較大，分割出的塊的數(shù)量與大小從一定程度上反映出數(shù)據(jù)的密集程度。數(shù)據(jù)密集的地方采用較小的帶寬，能夠更好地反映出該區(qū)域分布的細(xì)節(jié)，與實(shí)際分布更加接近，擬合效果較好。根據(jù)四叉樹分割算法分割出不同的數(shù)據(jù)塊，計算各自的局部最優(yōu)帶寬，達(dá)到自適應(yīng)帶寬核密度估計的目的。將一個區(qū)域進(jìn)行四叉樹分割的流程如圖2所示。

通過對區(qū)域不斷執(zhí)行上述四叉樹分割流程，直到所有區(qū)域都不滿足區(qū)域分割的條件，最后可以將原始數(shù)據(jù)區(qū)域分割成大小不盡相同的數(shù)據(jù)塊。判斷數(shù)據(jù)區(qū)域是否需要分割的閾值，數(shù)據(jù)區(qū)域內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)的最大值Nmax和數(shù)據(jù)區(qū)域最小寬度Lmin對分割完成后數(shù)據(jù)塊的大小和數(shù)量有著重要的影響，不同Nmax對概率密度函數(shù)的影響如圖3所示。

由圖3可知，Nmax較大時，圖3b不能很好地反映出該區(qū)域內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布的細(xì)節(jié)信息；Nmax較小時，圖3c反映的細(xì)節(jié)信息和圖3a沒有明顯的差別，但是Nmax越小，四叉樹分割的層次就越深，計算量越大。

Δan=(maxMan-minMan)/64

(9)

Δmn=(maxMmn-minMmn)/64

(10)

式中Δan——載荷循環(huán)幅值每一級的長度

Δmn——載荷循環(huán)均值每一級的長度

因此定義四叉樹分割數(shù)據(jù)塊的最小寬度Lmin=min(Δan,Δmn)，這既能提高四叉樹分割的計算效率，也能最小限度影響核密度估計的準(zhǔn)確性。

2.3 基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計

不同數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的帶寬因?yàn)閿?shù)據(jù)的差別而有所不同，但同一數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的帶寬是相同的。當(dāng)一個數(shù)據(jù)塊內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)密集程度比較高，彼此相差不大時，每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)貢獻(xiàn)的核密度估計分量的差別很微小，數(shù)據(jù)落入此數(shù)據(jù)塊不同位置的概率近似相同。因此，為了進(jìn)一步提高自適應(yīng)核密度的計算效率，在數(shù)據(jù)密集程度比較高的塊，不需要每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)都進(jìn)行核密度估計的計算，只需要將該數(shù)據(jù)區(qū)域數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值作為核密度估計的數(shù)據(jù)輸入，再乘以該區(qū)域數(shù)據(jù)點(diǎn)的個數(shù)即可。在此將表示數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)密集程度的參數(shù)定義為

(11)

其中

Lside=min(Δan,Δmn)/2

(12)

H=max(hx,hy)

(13)

當(dāng)γ>1時，表示該數(shù)據(jù)塊內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)密集程度高，可以對此數(shù)據(jù)塊內(nèi)的核密度估計計算進(jìn)行優(yōu)化。依此改進(jìn)的自適應(yīng)核密度估計公式為

(x,y)=

(14)

式中N——優(yōu)化前載荷數(shù)據(jù)點(diǎn)總個數(shù)

N0——優(yōu)化后載荷數(shù)據(jù)點(diǎn)總個數(shù)

當(dāng)γ>1時，n(xi,yi)表示此數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個數(shù)，xi、yi分別表示此數(shù)據(jù)塊內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的載荷循環(huán)幅值以及載荷循環(huán)均值的平均值；當(dāng)γ<1時，n(xi,yi)等于1，xi、yi分別表示此數(shù)據(jù)塊內(nèi)每一個數(shù)據(jù)點(diǎn)的載荷循環(huán)幅值以及載荷循環(huán)均值。

通過上述方法進(jìn)行自適應(yīng)帶寬核密度估計后，再結(jié)合Monte Carlo模擬算法進(jìn)行載荷外推。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)方案

玉米收獲機(jī)在實(shí)際工作中，工況較多且復(fù)雜多變，由于地形、車輛載重以及操作行為不規(guī)范等原因，車架時常會出現(xiàn)裂紋，大大降低了車架的疲勞強(qiáng)度，影響整車性能，受到很大沖擊時，甚至?xí)霈F(xiàn)車架整根斷裂的問題，嚴(yán)重影響了糧食收獲。由于試驗(yàn)環(huán)境較惡劣，并且測試部位空間有限，需要選用安裝方便并且固定牢靠的傳感器。因此本試驗(yàn)采用中航工業(yè)公司BE350-4AA型應(yīng)變片進(jìn)行數(shù)據(jù)測取，并通過有線連接的方式與HBM公司的SoMat eDAQ型數(shù)據(jù)采集儀連接。該數(shù)據(jù)采集儀具有極佳的密封性能和抗震性能，能有效應(yīng)對水濺、揚(yáng)塵、顛簸等測試環(huán)境，有線連接的方式能夠確保信號傳輸?shù)姆€(wěn)定性，通過數(shù)采的計算機(jī)終端軟件將采樣頻率設(shè)置為500 Hz。應(yīng)變片的安裝如圖5所示，現(xiàn)場試驗(yàn)如圖6所示，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)組成如圖7所示。

砂石路面工況下行駛較為平穩(wěn)，載荷變化相對較小，大幅值載荷循環(huán)較少，載荷循環(huán)的分布相對集中；田間收獲工況下載荷容易受田間地面的軟硬程度以及糧倉的使用率等因素的影響，載荷的隨機(jī)性較高，平穩(wěn)性較差，大幅值載荷循環(huán)相對多一些，載荷循環(huán)的分布也更為分散。根據(jù)通過四叉樹分割算法得到的數(shù)據(jù)塊的大小以及密集程度，能夠很好地反映出這兩種工況下數(shù)據(jù)的密集程度以及分布情況，并且這兩種工況占玉米收獲機(jī)實(shí)際工作工況中很大的比重，具有一定的代表性，為了降低結(jié)論的偶然性，本文采用2種工況下各3組樣本進(jìn)行對比驗(yàn)證，經(jīng)過預(yù)處理的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖8所示。

3.2 結(jié)果驗(yàn)證

通過雨流計數(shù)法對上述已經(jīng)完成預(yù)處理的車架實(shí)測原始載荷進(jìn)行統(tǒng)計計數(shù)處理，得到的部分載荷循環(huán)均幅值頻次分布圖如圖9所示。

由圖9可知，幅值較小的載荷循環(huán)占比較大，將小于最大幅值10%的載荷循環(huán)過濾掉，過濾完成的數(shù)據(jù)作為固定帶寬和自適應(yīng)帶寬核密度估計的數(shù)據(jù)輸入，本文方法的核密度估計的數(shù)據(jù)輸入在過濾的基礎(chǔ)上還需要通過改進(jìn)的四叉樹算法進(jìn)行優(yōu)化。首先將已經(jīng)篩選好的載荷循環(huán)均幅值矩陣中的數(shù)據(jù)點(diǎn)繪制成如圖10所示的散點(diǎn)圖，并在此散點(diǎn)圖上利用改進(jìn)的四叉樹算法進(jìn)行數(shù)據(jù)區(qū)域的分割操作，數(shù)據(jù)區(qū)域信息如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)區(qū)域信息Tab.1 Information of data area

經(jīng)過基于四叉樹算法的數(shù)據(jù)區(qū)域分割的計算，數(shù)據(jù)區(qū)域被分割成大小不相同的數(shù)據(jù)塊，每個數(shù)據(jù)塊都有各自的帶寬，利用式(14)對數(shù)據(jù)塊的自適應(yīng)帶寬核密度估計進(jìn)行優(yōu)化，在之前濾除小幅值載荷循環(huán)的基礎(chǔ)上又大幅減少了核密度估計的輸入，進(jìn)一步提高了核密度估計的計算效率。

為了驗(yàn)證本文提出的基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計的載荷外推方法的準(zhǔn)確性與合理性，與傳統(tǒng)的基于核密度估計的固定帶寬載荷外推和自適應(yīng)帶寬載荷外推以及實(shí)測原始載荷進(jìn)行對比論證。

由3種帶寬選擇方法計算得到的載荷循環(huán)均幅值概率密度分布如圖11所示。將圖11與圖10進(jìn)行對比，可以看出傳統(tǒng)的固定帶寬與自適應(yīng)帶寬核密度估計的曲線較為平滑，而本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計的曲線較為曲折，能夠很好地反映圖10數(shù)據(jù)的密集程度，并且數(shù)據(jù)密集點(diǎn)的分布情況劃分更加具體，細(xì)節(jié)信息表達(dá)更為清楚，能很好地擬合真實(shí)概率密度。為了進(jìn)一步評價概率密度函數(shù)的擬合程度，將固定帶寬、自適應(yīng)帶寬以及本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計的概率密度函數(shù)的結(jié)果分別結(jié)合Monte Carlo模擬算法進(jìn)行載荷外推。將實(shí)測原始載荷數(shù)據(jù)和上述3種方法進(jìn)行載荷外推后得到的載荷循環(huán)均幅值分別進(jìn)行分級統(tǒng)計處理，并計算實(shí)測原始數(shù)據(jù)與3種帶寬選擇外推方法的均方根誤差(RMSE)，計算結(jié)果如表2所示。

表2 載荷循環(huán)均幅值的均方根誤差Tab.2 RMSE of load cycle mean and range με

由表2可知，相較于傳統(tǒng)的固定帶寬和自適應(yīng)帶寬核密度估計，本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計載荷外推方法的均方根誤差RMSE最小，表明通過本文方法計算得到的概率密度更加接近于真實(shí)的概率密度。

將實(shí)測原始載荷數(shù)據(jù)和上述3種方法進(jìn)行載荷外推后得到的載荷循環(huán)均值和幅值數(shù)據(jù)分別進(jìn)行分級統(tǒng)計處理，結(jié)果如圖12所示。為進(jìn)一步分析頻次分布的相關(guān)性和擬合程度，計算實(shí)測原始數(shù)據(jù)與3種帶寬選擇外推方法的相關(guān)系數(shù)(R)以及均方根誤差(RMSE)，結(jié)果如表3、4所示。

表3 載荷循環(huán)均值的相關(guān)系數(shù)及均方根誤差Tab.3 R and RMSE of load cycle mean

表4 載荷循環(huán)幅值的相關(guān)系數(shù)及均方根誤差Tab.4 R and RMSE of load cycle range

由表3、4可知，相較于傳統(tǒng)的固定帶寬和自適應(yīng)帶寬核密度估計，本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計載荷外推與實(shí)測原始載荷均值和幅值的相關(guān)系數(shù)R最大，均方根誤差最小，表明通過本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計進(jìn)行載荷外推得到的載荷循環(huán)均值和幅值分布與實(shí)測原始載荷的載荷循環(huán)均值和幅值分布具有很強(qiáng)的相似性，分布擬合效果好，更加接近實(shí)測原始載荷的真實(shí)分布規(guī)律。

載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線為后續(xù)程序載荷譜的編制提供數(shù)據(jù)支撐，影響程序載荷譜編制的準(zhǔn)確性。將實(shí)測原始數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)的固定帶寬載荷外推、自適應(yīng)帶寬載荷外推以及本文提出的自適應(yīng)帶寬載荷外推的載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線進(jìn)行對比驗(yàn)證，如圖13所示。由圖13可以看出，通過本文提出的帶寬選擇方法進(jìn)行載荷外推得到的曲線與實(shí)測原始載荷曲線更為接近，擬合效果更好。為了更加直觀進(jìn)行對比，更好評價載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的擬合效果，采用決定系數(shù)R2作為曲線擬合的檢驗(yàn)指標(biāo)，計算結(jié)果如表5所示。

表5 載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的決定系數(shù)Tab.5 Coefficient of determination of load cycle range cumulative frequency curve

由表5可知，本文提出的自適應(yīng)帶寬核密度估計外推方法的R2更加接近于1，這表明，與另外兩種方法相比，本文提出的方法與實(shí)測原始載荷的載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的擬合度更高，更為相似，能夠?yàn)槌绦蜉d荷譜編制提供更加接近實(shí)際的數(shù)據(jù)支撐。

4 結(jié)論

(1)提出了一種基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計載荷外推方法，該方法利用四叉樹分割算法將載荷循環(huán)數(shù)據(jù)區(qū)域進(jìn)行分割，以分割完成后的數(shù)據(jù)塊為依據(jù)計算帶寬，并根據(jù)數(shù)據(jù)塊的密集程度對核密度估計的數(shù)據(jù)輸入進(jìn)行優(yōu)化。

(2)以玉米收獲機(jī)車架為研究對象，在砂石路面工況和田間收獲工況下，采用本文提出的方法大幅降低了核密度估計的數(shù)據(jù)輸入，極大提高了核密度估計的計算效率。

(3)將固定帶寬、自適應(yīng)帶寬與本文提出的基于四叉樹算法的自適應(yīng)帶寬核密度估計載荷外推方法進(jìn)行了對比驗(yàn)證。結(jié)果表明，通過本文提出的載荷外推方法計算得到的載荷循環(huán)均值和幅值分布的相關(guān)系數(shù)均更加接近于1，均方根誤差更??；載荷循環(huán)幅值累積頻次曲線的決定系數(shù)均大于0.99。與傳統(tǒng)的固定帶寬以及自適應(yīng)帶寬的核密度估計方法相比，本文提出的方法具有更高的準(zhǔn)確性，載荷外推結(jié)果更接近實(shí)際載荷的分布情況，能夠?yàn)檩d荷譜的編制、零部件結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供參考。