（臨海市水利投資開發(fā)有限公司，浙江 臺(tái)州 317000）

0 前言

沉降監(jiān)測(cè)目前在軟土地基、高邊坡、深基坑等施工中被廣泛采用，但因施工工藝、工期等復(fù)雜因素的影響，使得實(shí)際的沉降監(jiān)測(cè)只能反映當(dāng)前工況下的短期規(guī)律。為合理縮短工期、節(jié)約工程建設(shè)成本，利用實(shí)測(cè)沉降數(shù)據(jù)，通過建立數(shù)學(xué)模型，分析預(yù)測(cè)沉降系統(tǒng)未來發(fā)展的總體趨勢(shì)及穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)，為施工、設(shè)計(jì)提供控制參考，已成為一種常用方法。當(dāng)前，沉降預(yù)測(cè)主要有有經(jīng)驗(yàn)公式法、灰色系統(tǒng)法、遺傳算法等，每一種方法都有其自身的特點(diǎn)和適用性。

灰色系統(tǒng)由鄧聚龍?zhí)岢?，“貧信息”“小樣本”是其重要的特點(diǎn)。目前利用灰色模型預(yù)測(cè)沉降主要集中在GM(1，1)模型、多變量 MGM(1，n)模型及其改進(jìn)模型，未考慮相鄰測(cè)點(diǎn)間存在的變形協(xié)調(diào)、影響制約關(guān)系。本文通過分析灰色模型初始灰微分方程和白化微分方程的建模特點(diǎn)，以背景值和灰導(dǎo)數(shù)同步優(yōu)化為基礎(chǔ)，建立了與系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)相適應(yīng)的新NMGM(1，n)模型。結(jié)合工程實(shí)例，表明優(yōu)化的模型在具備良好的原始數(shù)據(jù)擬合精度的基礎(chǔ)上，同時(shí)具有良好的預(yù)測(cè)效果。

1 多變量模型的關(guān)聯(lián)度

需要注意的是，利用多變量灰色模型預(yù)測(cè)沉降前，需對(duì)原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行相關(guān)性分析，以確定數(shù)據(jù)序列的關(guān)聯(lián)度，校驗(yàn)測(cè)點(diǎn)間變形協(xié)調(diào)是否具有相關(guān)性，具體方法可參見文獻(xiàn)，一般認(rèn)為當(dāng)各測(cè)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)度大于0.5時(shí)，具有較高的關(guān)聯(lián)度，即可利用多變量灰色建模預(yù)測(cè)沉降。

2 NMGM（1，n)模型建模

在n個(gè)測(cè)點(diǎn)滿足關(guān)聯(lián)性的前提下，建立NMGM（1，n）模型一階白化微分方程組：

令參數(shù)矩陣

變量矩陣

則式（4）變換形式為：

式（4）離散化可得模型的灰微分方程為：

式（7）即為模型背景值，即緊鄰均值生成序列

辨識(shí)參數(shù)A、B可根據(jù)二乘法原理估算：

式中，

由此，得式（5）離散化的時(shí)間響應(yīng)式為：

由式（12）累減還原得原始數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值：

3 NMGM（1，n）模型的優(yōu)化

3.1 灰導(dǎo)數(shù)和背景值的優(yōu)化

根據(jù)式（4）及t點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義有：

則式（4）差分離散化后的灰微分方程為：

式（4）與式（15）存在替代系統(tǒng)誤差。為減少這一誤差，本文對(duì)模型進(jìn)行如下優(yōu)化。

待定參數(shù)可求解如下：

可知，

即

根據(jù)初始條件（i=1），

為此，以殘差的平方和分別構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)：

3.2 初始條件優(yōu)化

K的求取方法如下：

由序列累加生成可知

3.3 模型精度檢驗(yàn)

每期預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相對(duì)誤差：

平均相對(duì)誤差：

3.4 優(yōu)化NMGM（1，n）模型計(jì)算步驟

根據(jù)上述原理，具體計(jì)算步驟如下：

③計(jì)算優(yōu)化的灰微分方程模型式（18）；

④根據(jù)新模型按式（8）求取參數(shù)A、B；

⑤按式（23）優(yōu)化初始條件；

4 工程實(shí)例

精度檢驗(yàn)參考 表1

監(jiān)測(cè)點(diǎn)擬合及預(yù)測(cè)結(jié)果 表2

4.1 原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

某項(xiàng)目路基橫斷面左（A）、中（B）、右（C）共埋設(shè)三個(gè)沉降測(cè)點(diǎn)，堆載預(yù)壓7.23m，設(shè)計(jì)預(yù)壓期10個(gè)月，選取12期原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列。原始數(shù)據(jù)序列如表2中所示。

4.2 NMGM（1，3)模型優(yōu)化計(jì)算

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析方法，計(jì)算三個(gè)測(cè)點(diǎn)原始數(shù)據(jù)序列的灰色關(guān)聯(lián)度均大于0.5，可見各點(diǎn)間沉降存在關(guān)聯(lián)性，可以利用NMGM(1，3)模型建模預(yù)測(cè)。通過編制計(jì)算程序，由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)求得三個(gè)測(cè)點(diǎn)的擬合值及預(yù)測(cè)值如表3。

擬合值精度檢驗(yàn) 表3

4.3 沉降擬合及預(yù)測(cè)分析

根據(jù)表2中前8期NMGM(1，3)模型擬合值精度結(jié)果可見，三個(gè)測(cè)點(diǎn)每期數(shù)據(jù)擬合的相對(duì)誤差均小于2%，對(duì)每個(gè)測(cè)點(diǎn)的擬合誤差相對(duì)平均，無異常點(diǎn)，說明優(yōu)化后的模型具備較高的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合精度。表4中進(jìn)一步表明，三個(gè)測(cè)點(diǎn)的平均相對(duì)誤差僅為1%左右，后驗(yàn)差比指標(biāo)亦達(dá)到了Ⅰ級(jí)的優(yōu)良等級(jí)；小誤差概率指標(biāo)上，每個(gè)測(cè)點(diǎn)的的擬合精度保證了100%。擬合效果的檢驗(yàn)說明優(yōu)化后模型具備良好擬合精度，對(duì)后續(xù)用于沉降預(yù)測(cè)是可行、有保證的。

分析表2中后4期的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果表明，優(yōu)化的NMGM(1，3)模型在對(duì)第9至11期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差均較小，最大誤差僅為B點(diǎn)第11期的7.62%，可以滿足工程預(yù)測(cè)精度要求。受預(yù)測(cè)周期的影響，對(duì)第12期的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差增大，最大為15.38%，均未超過20%，基本可以接受。其中，三個(gè)測(cè)點(diǎn)對(duì)后4期預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差平均值分別最大為6.54%（測(cè)點(diǎn)B），其余均未超5%。需要注意的是，實(shí)際上，本文1～8期的累計(jì)沉降觀測(cè)時(shí)間為51天，而后4期的沉降預(yù)測(cè)周期共計(jì)88天，這也充分體現(xiàn)出灰色系統(tǒng)“小樣本”“貧信息”的預(yù)測(cè)特點(diǎn)，在短期預(yù)測(cè)精度和效果上，完全能夠滿足工程實(shí)際應(yīng)用需求，預(yù)測(cè)精度比較理想。

綜合上述計(jì)算及分析，通過基于灰導(dǎo)數(shù)優(yōu)化的同步背景值優(yōu)化方法建立的優(yōu)化的NMGM(1，n)模型，實(shí)際上是對(duì)原始序列及累加后的序列進(jìn)行了一次平滑擬合，使得實(shí)測(cè)散點(diǎn)數(shù)據(jù)序列更加符合指數(shù)函數(shù)的特征，降低了異常數(shù)據(jù)變化值或人為誤差的影響。優(yōu)化后的NMGM(1，n)能夠較好地體現(xiàn)各沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)間系統(tǒng)關(guān)聯(lián)性，符合沉降監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的變形協(xié)調(diào)實(shí)際工況，能夠比較真實(shí)地反映出沉降監(jiān)測(cè)系統(tǒng)變形發(fā)展的總體趨勢(shì)，具有良好的擬合預(yù)測(cè)效果。

5 結(jié)論

①本文通過灰導(dǎo)數(shù)和背景值同步優(yōu)化的方法，從初始形式灰微分方程出發(fā)，建立了優(yōu)化的NMGM(1，n)模型。

②通過工程實(shí)例說明，所建立的優(yōu)化的NMGM(1，n)模型能夠較好地體現(xiàn)各沉降監(jiān)測(cè)點(diǎn)間系統(tǒng)關(guān)聯(lián)性，具有良好的擬合預(yù)測(cè)效果，能夠滿足工程實(shí)際應(yīng)用需求。