袁金銘 于書靖 朱 丹

在科技飛速發(fā)展的今天，每個(gè)人都應(yīng)該學(xué)會思考并善于思考，思考的方式不同，視角也會不同。在應(yīng)用于人類生產(chǎn)生活的各種思考方式中，數(shù)學(xué)思維作為“思維的體操”，一直占據(jù)著主導(dǎo)地位，為人類的思考方式做出了重要貢獻(xiàn)。因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳授數(shù)學(xué)知識不僅是唯一目的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并使學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，更是新時(shí)代下高等數(shù)學(xué)教育追求的重要目標(biāo)。

1 數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵

思維是人腦對客觀事物屬性與事物之間聯(lián)系的規(guī)律性的概括的、間接的反映，思維的過程實(shí)際上就是對信息的接收，加工整合，儲備和表達(dá)的過程。擁有清晰的思維模式，可以讓我們在面對一個(gè)錯(cuò)綜復(fù)雜的問題時(shí)，快速梳理脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確概括提煉重點(diǎn)；想要表達(dá)某一個(gè)觀點(diǎn)、想法時(shí)，思路清晰語言流暢，角度新穎溝通有效，可以使我們思考的深度和廣度呈螺旋式上升，提高我們思考能力的同時(shí)，也優(yōu)化思考的路徑。

數(shù)學(xué)思維是以探索數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的理性認(rèn)識過程，它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號和抽象的數(shù)學(xué)語言作為載體，深入研究數(shù)學(xué)知識中的數(shù)量關(guān)系、空間形式和結(jié)構(gòu)關(guān)系，是思考世間萬物的一種獨(dú)特方式。它主要包括探索性思維、擴(kuò)展性思維和創(chuàng)造性思維等等，如果我們把數(shù)學(xué)比作一棵參天大樹，那么數(shù)學(xué)思維就是這棵樹的龐大根系，埋藏于土壤中，為數(shù)學(xué)提供著不可或缺的營養(yǎng)源泉。和其他思維一樣，數(shù)學(xué)思維也具有間接性、概括性等一般特征。但也有其特殊性，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)語言的簡練準(zhǔn)確和數(shù)學(xué)形式的抽象化、符號化、結(jié)構(gòu)化傾向，這也是我們常說的數(shù)學(xué)之美。

2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的重要性

很多大學(xué)生畢業(yè)之后都會有一種體會，在工作中真正用到學(xué)過的數(shù)學(xué)概念和定理其實(shí)并不多，有些甚至早已淡忘，但所受過的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，掌握的數(shù)學(xué)思維方法，將其內(nèi)化為自身的思維方式，卻一直印在腦海中，發(fā)揮著重要作用。其實(shí)，數(shù)學(xué)教育的核心目的，除了為解決問題提供工具外，就是鍛煉學(xué)生的思維能力。

良好的數(shù)學(xué)思維不僅是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要保證，也能啟發(fā)和磨煉學(xué)生的終身學(xué)習(xí)技能，如邏輯思維能力、創(chuàng)新思維能力、對問題的概括性和整體性的思考能力，而且這種能力的提升將會有效遷移到其他工程技術(shù)類課程的學(xué)習(xí)中去，提高他們將來在實(shí)際工作中的能力和水平。為此，充分研究如何培養(yǎng)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并在教學(xué)過程中加以有效滲透，對于提高數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)具有重要意義。

此外，心理學(xué)研究表明，學(xué)生掌握正確的思維方法需要老師有意識地加強(qiáng)引導(dǎo)和有效培養(yǎng)，否則，即便到了高年級和生產(chǎn)生活的實(shí)踐中，多數(shù)人對思維方法還會缺乏足夠的重視，更不能靈活地加以運(yùn)用。因此思維的培養(yǎng)，一直是高等教育的追求。

3 數(shù)學(xué)思維在課程中的體現(xiàn)

逆向思維，是指當(dāng)運(yùn)用常規(guī)思路和方法無法解決問題時(shí)，讓思維從對立的方向出發(fā)和延展，采取反向思維求解問題的方法。這種思維在高等數(shù)學(xué)課程中隨處可見，例如，導(dǎo)數(shù)與不定積分的相互轉(zhuǎn)換，無窮級數(shù)和函數(shù)的計(jì)算方法，命題與逆否命題的真假判定，反證法等，這些知識點(diǎn)的掌握都需要逆向思維來加強(qiáng)學(xué)生的理解，由于“有限與無限”“連續(xù)與間斷”“局部與整體”“靜止與運(yùn)動”等這些對立統(tǒng)一規(guī)律普遍存在于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中，每一種矛盾關(guān)系就對應(yīng)一種逆向思維的方式，在應(yīng)用正向思維求解無果時(shí)，利用逆向思維從相反方向出發(fā)往往能發(fā)現(xiàn)一片新天地，因此應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生的思維能力。

發(fā)散思維，是指從已有信息出發(fā)，從不同方向、不同層面呈擴(kuò)散輻射式思考問題的思維方式，這種思維在數(shù)學(xué)活動中發(fā)揮著極其重要的作用，比如教學(xué)中的一題多解：在計(jì)算球冠面積時(shí)，除了可以利用微元法思想通過定積分計(jì)算出面積外，還可以利用直角坐標(biāo)系下和極坐標(biāo)系下二重積分法進(jìn)行計(jì)算，為培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性，克服思維定式，還可以把球冠看成是曲體圓錐體的底面，利用三重積分得到所要的面積。與此類似的還有一題多變、一式多變、一題多問等等，這樣安排不僅可以使學(xué)生將基礎(chǔ)知識融會貫通起來，還能促使學(xué)生從單一的思維方式中解放出來，有效地發(fā)展不同角度的多向思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

抽象思維，是指從客觀事物的具體形象和規(guī)律中發(fā)現(xiàn)共性，從而尋找事物本質(zhì)特征的思維。高等數(shù)學(xué)課程中的很多定義和定理都是從實(shí)例出發(fā)，例如在引入極限的概念時(shí)，剖析古語“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，研究劉徽的割圓術(shù)，從而抽象出數(shù)列極限的直觀概念；在介紹導(dǎo)數(shù)的概念之前，通過觀察變速直線運(yùn)動物體的瞬時(shí)速度，曲線上某一點(diǎn)的切線斜率，拋開具體內(nèi)容，抽象出相同的數(shù)量關(guān)系：增量比的極限，從而得出導(dǎo)數(shù)的概念，與此類似的還有定積分、二重積分、曲線積分、曲面積分等等，這樣就能大大降低學(xué)生理解抽象性概念和定理的難度。

類比思維，是指本質(zhì)不同的兩類事物的某些屬性相同或相似，通過比較，將一種掌握或熟悉的事物的知識推移到另一類事物上去的推理手段，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常見的有，類比變量取值范圍、類比定義式的結(jié)構(gòu)、類比公式引發(fā)猜想等，比如講授多元函數(shù)的連續(xù)、二重極限、偏導(dǎo)數(shù)、全微分時(shí)，很多重要概念、公式和定理的條件、結(jié)論和幾何意義都可以和一元函數(shù)中的連續(xù)、極限、導(dǎo)數(shù)、微分作類比。通過類比，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時(shí)，由被動變?yōu)橹鲃樱瑥囊咽煜さ呐f知識引出新的知識，由“熟”解“生”，在欣然接受、輕松掌握數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，也逐漸培養(yǎng)了他們的類比思維。

4 如何促進(jìn)數(shù)學(xué)思維形成

4.1 在課前準(zhǔn)備方面，提高教師的思維意識和素養(yǎng)是基礎(chǔ)前提

教師是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的樞紐和領(lǐng)路人，發(fā)揮著不可替代的作用。但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，只有為數(shù)不多的教師能擔(dān)此重任。這與教師自身數(shù)學(xué)思維的缺乏有關(guān)，但更多的是與教師的思維培養(yǎng)意識和素養(yǎng)相關(guān)。教育者先受教育，教師不僅要拓寬自身的知識面，具備扎實(shí)的專業(yè)學(xué)養(yǎng)，而且要透徹分析教材，善于挖掘與運(yùn)用課程中的思維元素，提高自己的思維意識；然后了解分析學(xué)生的心理特點(diǎn)、興趣愛好、認(rèn)知水平，因材施教，以學(xué)生的眼界設(shè)計(jì)教學(xué)思路，為學(xué)生提供有利于思維發(fā)展的“錨”；最后，預(yù)測學(xué)生可能的思維活動和問題，根據(jù)學(xué)生的實(shí)時(shí)反饋不斷調(diào)整改進(jìn)，加強(qiáng)反思與總結(jié)，做到融會貫通、觸類旁通。此外，教師還要注意在課堂上的授課規(guī)范，在課堂上，教師只能有意識地傳遞顯性知識，而隱性知識只能通過教師的身體來感知和模仿，其自身展現(xiàn)出的一舉一動、一字一句都會對學(xué)生產(chǎn)生巨大的感染力，而嚴(yán)格的行為規(guī)范往往能對培養(yǎng)學(xué)員良好的數(shù)學(xué)思維起到事半功倍的效果，這個(gè)過程和風(fēng)細(xì)雨、潛移默化。

4.2 在教學(xué)實(shí)施方面，重視數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)和培養(yǎng)是動力源泉

第一，俗話說：“興趣是最好的老師”。國內(nèi)外眾多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家都曾表示，興趣是維持他們探究數(shù)學(xué)的強(qiáng)大動力。在教學(xué)過程中，教師可通過適當(dāng)講解數(shù)學(xué)史，結(jié)合所學(xué)專業(yè)內(nèi)容和生活中的相關(guān)實(shí)例，加強(qiáng)應(yīng)用環(huán)節(jié)教學(xué)，化解學(xué)生疑難，建立融洽的師生關(guān)系等方法培育并保持學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，鼓勵(lì)學(xué)生積極思維。

第二，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生不同的數(shù)學(xué)能力和水平，通過由淺入深、先正后反等方式，創(chuàng)設(shè)合適問題情境，給出不同的題型，以便給予不同層次學(xué)生思考、聯(lián)想、創(chuàng)新的思維空間，并重視培養(yǎng)學(xué)生討論與分析問題的積極性，在課堂上鼓勵(lì)學(xué)生同桌交流、小組討論、同學(xué)評論等，當(dāng)學(xué)生遇到思維困難或認(rèn)知錯(cuò)誤時(shí)，教師可以耐心地從不同層次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辯證分析，梳理思路，發(fā)揮學(xué)生主體地位，激發(fā)學(xué)生的成就動機(jī)，訓(xùn)練學(xué)生思維技巧。

第三，數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，各章節(jié)之間相互交錯(cuò)，存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，在課堂上，教師除了要講明本節(jié)課的知識外，還應(yīng)重視內(nèi)容的橫向聯(lián)系與縱向聯(lián)系，使學(xué)生具有一個(gè)經(jīng)緯交織的知識網(wǎng)絡(luò)，并引導(dǎo)學(xué)生有針對性地進(jìn)行反思和總結(jié)，夯實(shí)薄弱環(huán)節(jié)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4.3 在課后拓展方面，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的鞏固和運(yùn)用是重要保障

課堂永遠(yuǎn)只是有效學(xué)習(xí)的一個(gè)環(huán)節(jié)而不是全部，數(shù)學(xué)思維不是僅憑課堂上教師講解的內(nèi)容和方式就可以形成，要想讓學(xué)生內(nèi)化不同的思維方式，還要在課后的應(yīng)用環(huán)節(jié)進(jìn)行加強(qiáng)鞏固，關(guān)鍵是要形成一種運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決問題的意識和學(xué)習(xí)風(fēng)氣。數(shù)學(xué)建模是搭建理論與實(shí)踐之間的橋梁，它將數(shù)學(xué)知識與豐富多彩的現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系起來，為學(xué)生提供了一個(gè)鍛煉數(shù)學(xué)思維的有效方式。因此，教師除了布置書面作業(yè)外，還應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)積極參與數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，在這一過程中，學(xué)生通過把錯(cuò)綜復(fù)雜、隨處可見的實(shí)際問題抽象簡化為數(shù)學(xué)模型，然后利用各種理論和方法求解并將結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際中進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，無形中就加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的鞏固和運(yùn)用。除此之外，庚子年春，舉國投入網(wǎng)絡(luò)在線教育中，高校師生、大小企業(yè)在云端進(jìn)行形式多樣的溝通交流。在大數(shù)據(jù)的時(shí)代背景下，教師應(yīng)充分借助互聯(lián)網(wǎng)等媒體技術(shù)，引進(jìn)微課、翻轉(zhuǎn)課堂等現(xiàn)代化的教學(xué)手段，精選優(yōu)質(zhì)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的空間，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不受時(shí)間和空間的限制，讓線上資源的直觀性和形象化使枯燥的數(shù)學(xué)知識更加趣味化，教學(xué)更有活力，最終實(shí)現(xiàn)綜合效益最大化。

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)思維凝聚著數(shù)學(xué)家們的思考問題方法和思維創(chuàng)造，這種思維方式符合學(xué)生認(rèn)知成長的訴求，學(xué)生通過對生活數(shù)學(xué)的探索、對數(shù)學(xué)活動的感知、對數(shù)學(xué)問題的研究，逐漸學(xué)會運(yùn)用其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維去更好地認(rèn)識世界，學(xué)會自我反思和自我發(fā)展，最終達(dá)到教是為了不教的效果，為崗位實(shí)踐和個(gè)人的創(chuàng)新發(fā)展打下良好基礎(chǔ)。