景慧麗 劉 華

(火箭軍工程大學基礎部，陜西 西安 710025)

0 引 言

格林公式是《高等數學》課程中的一個重點內容也是一個難點內容[1]，從形式上建立了平面有界閉區(qū)域上的二重積分和區(qū)域邊界上的第二類平面曲線積分之間的聯系，實質揭示的是函數在區(qū)域內部的取值規(guī)律和區(qū)域邊界上的取值規(guī)律之間的聯系，具有重要的理論價值和應用價值.其在多元函數積分學中最重要的應用之一是計算第二類平面曲線積分.但是在教學中大部分學生甚至是復習考研的學生使用格林公式時經常出錯，甚至都不知道格林公式的使用條件.這是因為一方面格林公式確實是比較抽象，另一方面?zhèn)鹘y(tǒng)講授法都是先復習牛頓—萊布尼茨公式[2]，再給出平面區(qū)域的分類及其邊界曲線的正向定義，然后直接給出格林定理及其證明，最后再應用格林公式，所以大部分學生既記不住格林公式，更不理解格林公式的使用條件.為了幫助學生理解和熟記格林公式，并能正確地運用格林公式計算第二類平面曲線積分，筆者結合多年的教學實踐，對這部分內容進行了探究式教學.

1 格林公式的教學過程

(1)強調聯系性，提出問題，進行探索.

圖1 X-型域

推導到這里，很容易發(fā)現并能總結出其間的關系，即:若令g(x，y)=P(x，y)， 則

(2)大膽猜想，進行驗證.

由于學生數學素養(yǎng)不同，接受新事物的能力也不同，所以存在猜想“五花八門”或“瞎猜胡猜”的現象.因此，強調“猜想”要建立在一定基礎知識之上，通過觀察、分析和實驗等合情猜想.對猜想進行驗證是讓學生尋找方法對自己的猜想進行驗證.最后進行總結，可以類比式(1)的獲得過程，即把二重積分轉化成定積分試試，并帶領學生共同推導驗證:

圖2 Y-型域

其中L是D的逆時針方向的邊界曲線.

這個等式與大部分學生的猜想是不同的，是通過讓學生總結式(2)成立的條件這種方法來解決學生的疑惑的.接下來需要把式(2)中的函數P(x，y)換成Q(x，y)，并沒有直接替換，這是由于教材中第二類平面曲線積分的定義[1]是以 ∫LP(x，y)dx、∫LQ(x，y)dy形式給的，數學符號不要亂用，最好與教材符號保持一致，所以把式(2)中的函數P(x，y)換成Q(x，y)，即得等式

顯然式(1)和(3)相加就是常用形式的格林公式，但是如果直接讓式(2)相加，學生就會產生疑惑:為什么要相加?相加有什么意義呢?基于以上考慮，需先回憶第二類平面曲線積分的物理背景，然后了解其常見形式是∮LPdx+Qdy，觀察式(1)和(3)，會發(fā)現2式右端相加剛好是∮LPdx+Qdy.此時，提出問題:2式能相加嗎?相加的條件是什么?通過對上述問題的解答，并經過歸納總結就得到了下面的結論:

當區(qū)域D既是X-型域又是Y-型域，L是D的逆時針方向的邊界線時，等式

成立.

其實式(4)就是特殊單連通區(qū)域上的格林公式.即由平面上的有界閉區(qū)域并不都是這么特殊引出單連通區(qū)域和復連通區(qū)域的概念.這樣就解決了學生的疑惑——為什么要講這個概念，學生更容易理解和接受新知識.

(3)單、復連通區(qū)域及曲線正向見面.

在單、復連通區(qū)域的概念后，提出2個問題讓學生思考、猜想:一般單連通區(qū)域和復連通區(qū)域上式(4)是否成立?如果L是D的順時針方向的邊界線，式(4)還成立嗎?由此引出曲線正向的概念，這樣就避免了一開始就給出該概念的突兀性.到此，所有準備工作完成，接下來就是證明式(4)在一般單連通區(qū)域及復連通區(qū)域上也是成立的.

(4)借助已知來研究未知，獲取格林公式.

借助已知來研究未知是最常用的數學思想方法.數學研究問題的方法一般是從特殊到一般、從簡單到復雜，引導學生很自然地想到先證明一般單連通區(qū)域的情形，啟發(fā)學生把一般的轉化成特殊的，這樣很容易地完成此類區(qū)域的證明過程.對于復連通區(qū)域的證明，類比一般單連通區(qū)域的證明方法，把復連通區(qū)域轉化成一般單連通區(qū)域來證明.但是部分學生不知道如何轉化，是通過實物演示的方法來輔助分析的.另外，根據教學經驗，部分學生會用大區(qū)域減去小區(qū)域這種錯誤的方法進行證明，因此用了故意出錯的策略.

(5)揭示格林公式的本質，類比推廣.

獲得格林公式后，讓學生從被積函數和積分域2個方面思考、總結公式所蘊含規(guī)律，從而揭示格林公式的本質.并讓學生把格林公式和牛頓—萊布尼茨公式作比較，從而得到2個公式之間的關系，最后再類比這2個公式的本質，把這種思想推廣到空間，這樣既拓展了學生的知識又為后面的教學內容奠定了基礎.

(6)應用格林公式，加深理解.

為了加深對格林公式的理解，精選下面的例題[4]:

其中L是圓周x2+y2=ax(a＞0)的正向.

2 結束語

格林公式的探究式教學還原了知識的創(chuàng)建過程，融入了數學思想方法，有利于提升學生的數學素養(yǎng).需要注意的是，在探究式教學中，教師是學生探索活動的設計者和探索過程中的引導者，如，在格林公式的教學中，式(1)的獲得是探究式教學的關鍵和基礎，運用了從特殊引導學生發(fā)現規(guī)律的策略.所以，要想充分發(fā)揮好探究式教學的優(yōu)勢，教師必須提高自身素質、熟悉教學內容、了解教學對象，這樣才能充分發(fā)揮好自己的主導作用.