曾文君，李德生

（沈陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110034）

非線性微分方程解的振動(dòng)性廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域，大量學(xué)者致力于此方面的研究。楊甲山［1-2］研究了二階非線性中立型泛函微分方程的振動(dòng)性、二階Emden-Fowler型非線性變時(shí)滯微分方程的振動(dòng)性，張曉建［3］研究了二階Emden-Fowler型變時(shí)滯中立型微分方程的振動(dòng)性，曾云輝等［4］研究了偶數(shù)階半線性泛函微分方程解的振動(dòng)準(zhǔn)則，還有很多關(guān)于非線性微分方程解的振動(dòng)性研究［5-9］，但對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的振動(dòng)性研究較少。

CHEN［10］考慮非線性分?jǐn)?shù)階微分方程

其中，Dα-y是關(guān)于y的階為α的劉維爾右分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，α∈(0，1)，η＞ 0是正整奇數(shù)的商，對(duì)t0＞ 0，r和q為 [t0，∞)上的連續(xù)函數(shù)，k，其中，u≠ 0，k為正常數(shù)，利用 Riccati變換和不等式技巧，可得到關(guān)于微分方程（1）的一些振動(dòng)性準(zhǔn)則。

文獻(xiàn)［11］研究非線性分?jǐn)?shù)階微分方程

本文主要研究微分方程

其 中 ，t∈[t0，∞ )，t0≥ 0，r(t)∈Cα([t0，+ ∞ )，R)，p(t)，q(t)∈ C([t0，∞ )，R)，f，ψ，g ∈C(R，R)，Q 為[t0，∞ )× R2上 的 連 續(xù) 函 數(shù) ，(·) 為 修 正 的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，α∈(0，1)。

同時(shí)，假設(shè)下列條件成立：

(A1)r(t)＞ 0，t∈[t0，+ ∞ )；

(A2)對(duì)任意的x(t)∈R，有0＜ ψ(x(t))≤ k1；

(A3)對(duì) 任 意 的 y∈R，有 f2(y)≤lyf(y)，其中，l＞ 0；

(A4)對(duì)任意的x≠ 0，有0＜ k≤ g"(x)；

(A5)存在函數(shù)v(t)，對(duì)任意的x≠0以及任意的y∈R，有Q

(A6)對(duì)任意的x≠ 0，有

(A7)存在函數(shù)φ(t)，對(duì)任意的x≠0以及任意的y∈R，有

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 關(guān)于t的α階修正的黎曼劉維爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義以及重要性質(zhì)［12］：

定義2［6］方程的解是振動(dòng)的，是指方程的非平凡解有任意大的零點(diǎn)，否則是非振動(dòng)的。若方程的所有解都是振動(dòng)的，則稱該方程是振動(dòng)的。

定 義 3［6］假 設(shè) D={(t，s)：t≥ s≥ t0}，D0={(t，s)：t＞ s≥ t0}，存 在 函 數(shù) H ∈C(D，R)，如 果滿足：

（i）H(t，s)＞ 0 在 D0上成立，對(duì)任意的 t≥ t0，有 H(t，t)=0；

（iii） 若 存 在 函 數(shù) h(t，s)∈C(D，R)，有=-h(t，s) H(t，s)，則認(rèn)為函數(shù) H 屬于Ω類，記作H∈Ω。

為方便，在下文中，定義：

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)(A1)～(A5)成立，如果存在H∈Ω和 ρ∈ Cα([t0，+ ∞ )，R+)，滿足：

與式（11）矛盾，假設(shè)不成立。

證畢。

3 例 子