梁冬冬

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 成都 610064)

1 引 言

設(shè)H為無(wú)限維可分的復(fù)Hilbert空間，u為定義在H上的泛函.類似于有限維空間上的偏微分方程，我們也可以建立一個(gè)以u(píng)為未知函數(shù)的H上的偏微分方程.我們稱這樣的微分方程為無(wú)限維空間上的偏微分方程. 這一類微分方程來(lái)源于量子場(chǎng)論、晶體的固態(tài)理論及具有無(wú)限多個(gè)自由度的系統(tǒng)、無(wú)限維隨機(jī)控制理論等[1-8].

在有限維空間中，我們可以利用概率論的方法研究偏微分方程，推廣這種方法也可以去研究無(wú)限維空間的偏微分方程. 比如：文獻(xiàn)[2-3] 利用隨機(jī)微分方程得到了無(wú)窮維空間中的線性拋物偏微分方程的解，即Feynman-Kac 表示. 文獻(xiàn)[4]利用正、倒向隨機(jī)微分方程將線性Feynman-Kac 公式推廣到了非線性拋物方程的情形. 文獻(xiàn)[5]推廣了這種方法，并利用非耦合的正、倒向隨機(jī)方程得到了無(wú)窮維空間的半線性拋物方程的初值問(wèn)題的mild解，進(jìn)而利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法研究了對(duì)應(yīng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題.

另一方面，有界開(kāi)集上的無(wú)限維空間中的拋物偏微分方程的初邊值問(wèn)題也引起了部分學(xué)者的關(guān)注.例如文獻(xiàn) [6] 利用停時(shí)對(duì)正向隨機(jī)微分方程的解過(guò)程做了反射，得到了有界開(kāi)集上的無(wú)窮維空間上的線性拋物偏微分方程的齊次邊值問(wèn)題解的存在唯一性.然而，非齊次方程的邊值問(wèn)題還未解決.當(dāng)前，無(wú)限維空間中的微分方程的研究多局限在研究空間中的拋物方程.利用這種方法獲得的較好的結(jié)果見(jiàn)文獻(xiàn)[7]，該文解決了耦合的正倒向隨機(jī)方程的適定性問(wèn)題，并利用正、倒向隨機(jī)微分方程的解來(lái)表示無(wú)窮維的HJB 方程. 但是，用這種方法，解的表示公式越來(lái)越復(fù)雜，因而可以求解的偏微分方程的類型受到了極大的限制，比如本文中的無(wú)限維空間的波方程和Schr?dinger 方程就無(wú)法求解. 由于無(wú)限維橢圓方程的L2理論不完善，本文利用Guassian-Sobolev 空間，結(jié)合關(guān)于橢圓方程的假設(shè)條件，使用半群方法得到了無(wú)限維空間中的波方程和Schr?dinger 方程解的存在性、唯一性.

2 預(yù)備知識(shí)

(1)

以L2(H,μ)表示H上在測(cè)度μ下平方可積的函數(shù)全體，?φ,ψ∈L2(H,μ)，在L2(H,μ)中定義內(nèi)積

定理 2.1[8]對(duì)任意x,y∈D(A),Q∞是唯一的使得下列等式成立的算子.?x,y∈D(A*)，

〈Q∞x,A*y〉+〈Q∞A*x,y〉=-〈Qx,y〉.

令EA(H)=span{e〈h,x〉;h∈D(A*)}.由測(cè)度的 Fourier 變換可得EA(H)在L2(H,μ)中稠密.

定義2.2任意k∈N，定義映射

Dk:EA(H)?L2(H,μ)→L2(H,μ)，φ→Dkφ，

以L2(H,μ;H)表示H上所有的H-值的在測(cè)度μ下平方可積的映射全體. ?φ,ψ∈L2(H,μ;H), 以如下方式定義內(nèi)積：

則L2(H,μ;H)在以上內(nèi)積下是一個(gè)Hilbert 空間.

定義2.3以如下方式定義算子

D:EA(H)?L2(H,μ)→L2(H,μ;H)，

引理 2.4[8]任意φ,ψ∈EA(H),?k∈N,有下列等式成立：

引理 2.5[8]任意k∈N，Dk和D為可閉算子.

定義2.6?φ，ψ∈Dom(D)，定義內(nèi)積如下：

則Dom(D)在這個(gè)內(nèi)積下是一個(gè)Hilbert 空間，稱為Sobolev 空間，記為W1,2(H).

以L2(H,μ;L2(H))表示H上的在μ測(cè)度下平方可積的L2(H)-值映射全體，L2(H)表示H上所有的Hilbert-Schmidt 算子全體.?φ,ψ∈L2(H,μ;L2(H))，在L2(H,μ;L2(H))中以如下方式定義內(nèi)積：

定義2.7按如下方式定義映射D2,

D2:EA(H)?L2(H,μ)→L2(H,μ;L2(H))，

φ→D2φ，

其中D2φ為φ的二階導(dǎo)數(shù)，作用為：?α,β∈H，

αk，βh分別表示α，β在H的基下的坐標(biāo).

〈φ,ψ〉W2,2=〈φ,ψ〉W1,2+〈D2φ,D2ψ〉L2(H,μ;L2(H))，

則Dom(D2)∩Dom(D)在這個(gè)內(nèi)積下為一個(gè)Hilbert 空間，記為W2,2(H). 注意到空間W2,2(H)中的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于測(cè)度μ在幾乎處處的意義下只是一個(gè)Hilbert-Schmidt 算子.

定義2.8定義算子DQ如下：

DQ:EA(H)?L2(H,μ)→L2(H,μ;H)，

?x∈H

(2)

?φ,ψ∈EA(H)，以如下方式定義內(nèi)積：

定義2.12按照如下方式定義一個(gè)算子

φ→Lφ，

引理 2.13[8]對(duì)任意φ，ψ∈EA(H)，以下等式成立：

?φ∈EA(H)，不妨設(shè)φ(x)=e〈h,x〉，h∈D(A)，

兩次利用引理2.13 的(ii)容易得到

定義2.14在空間EA(H)中按照如下方式定義范數(shù).?ψ∈EA(H)，

因而

〈x,ADφ(x)〉)|μ(dx)≤

3 橢圓方程弱解的存在唯一性

考慮如下方程，?g∈L2(H,μ)， ?x∈H，

(3)

利用算子L將方程(3)形式地寫成

Lφ=g

(4)

注意到方程(3)和(4)本質(zhì)上不是同一個(gè)方程.算子L的作用方式一般不是方程(3)的左邊項(xiàng)的形式.然而它們的解之間確實(shí)有著很強(qiáng)的關(guān)系.

若φ∈S滿足方程(4)，在(4)式兩邊乘以ψ后在H上積分得

左邊項(xiàng)利用引理2.13式(ii)知?ψ∈S，

(5)

反之，若存在φ∈S滿足式(5)，由引理 2.13(ii)得

由S在空間L2(H,μ)中的稠密性得(4).

定義3.1設(shè)g∈L2(H,μ).φ∈S稱為方程(4)的解，若任意ψ∈S，φ滿足積分恒等式(5).

在無(wú)窮維空間中，橢圓方程的解很難直接得到，主要原因在于無(wú)窮維空間上橢圓的能量估計(jì)一般不成立.而且，在何時(shí)成立著能量估計(jì)也尚不清楚. 本文在橢圓方程的解的基礎(chǔ)之上去研究波方程和Schr?dinger方程.

證明 由范數(shù)和雙線性函數(shù)F的定義，容易得到結(jié)論.

定理3.5對(duì)任意g∈L2(H,μ)，λ∈C， Reλ≥λ0，方程(4)有唯一弱解.

證明 根據(jù)命題3.4，利用Lax-Milgram定理易

得定理3.5的結(jié)論.

當(dāng)方程(4)的弱解正則性足夠高時(shí)，弱解就是定義3.1中的解了. 然而遺憾的是，無(wú)論是(4)的解還是弱解，都不是方程，g∈L2(H,μ)，

(6)

的解，即幾乎處處的x∈H滿足方程(6).

證明 由命題2.15易得.

4 波方程弱解的存在唯一性

接下來(lái)，我們考慮如下形式的波方程，

(7)

應(yīng)用前文所定義的算子L，我們將方程(7)形式上寫成下列方程：

(8)

u=(u1,u2)T，φ=(φ1,φ2)T.

定義算子G如下：

u→Gu，

其中

進(jìn)一步，利用算子G將方程(8)寫成下式：

在M中重新定義內(nèi)積如下：?u1,u2∈M，設(shè)u1=(u11,u12)T，u2=(u21,u22)T，則

〈u1,u2〉=〈u11,u21〉L2+〈u12,u22〉L2+

假設(shè)4.1令λ∈C.方程λω-Lω=f的弱解ω滿足：

(i)f∈L2(H)時(shí)，ω∈S；

(i)f∈S時(shí)，ω∈D((L)2).

注意到當(dāng)H是一個(gè)有限維空間時(shí)，假設(shè)4.1就是橢圓方程弱解的正則性，成立；當(dāng)算子Q和A均是有限秩算子，且二者的值域空間相同時(shí)，由偏微分方程弱解的正則性易知假設(shè)4.1也成立.

引理4.2若假設(shè)4.1中成立，則對(duì)任意F=(f1,f2)T∈M，λ∈C，Reλ2≥λ0，|λ|>1，方程(λI-G)U=F有唯一解U∈S，且解U滿足估計(jì)式.

證明 ?F=(f1,f2)T∈M，令U=(u1,u2)T.方程(λI-G)U=F等價(jià)于

設(shè)方程λ2I-Lωi=fi的弱解為ωi.則ωi∈S，i=1,2. 令u1=λω1+ω2，u2=λω2+Lω1.則U=(u1,u2)T為方程(λI-G)U=F的解. 事實(shí)上，我們有

λu1-u2=λ2ω1+λω2-λω2-Lω1=

λ2ω1-Lω1=f1，

λu2-Lu1=λ2ω2+λω1-λω1-Lω2=

λ2ω2-Lω2=f2.

因此，?λ∈C，Reλ2≥λ，λI-G為滿射.

對(duì)任意F=(f1,f2)T∈S×S，λ∈C，|λ|>1，方程(λI-G)U=F的解U=(u1,u2)T∈S×S.為計(jì)算方便，將L2(H,μ)和L2(H,μ;H)中的內(nèi)積簡(jiǎn)記為〈·,·〉則

〈f1,f2〉-〈Lf1,f1〉+〈f2,f2〉=

〈f1-Lf1,f1〉+〈f2,f2〉=

〈λu1-u2-λLu1+Lu2,λu1-u2〉+

〈λu2-Lu1,λu2-Lu1〉≥

|λ|2〈u1,u1〉-2Reλ〈u1,u2〉+

(1+|λ|2)〈u2,u2〉-

|λ|2〈Lu1,u1〉+〈Lu1,Lu1〉-〈Lu2,u2〉≥

|λ|2〈u1,u1〉-2|λ|〈u1,u2〉+

〈Lu1,Lu1〉-〈Lu2,u2〉≥

(|λ|2-|λ|)〈u1,u1〉+

(1+|λ|2-|λ|)〈u2,u2〉+

定理 4.3當(dāng)假設(shè)4.1成立時(shí)，算子G能生成M上的一個(gè)C0半群{T(t)}t≥0，滿足‖T(t)‖≤et，?t≥0.

所以G能生成C0半群{T(t)}t≥0.證畢.

證明 設(shè)T(t)是G所生成的C0半群.令

(u1,u2)T=T(t)(φ1,φ2)T，

則u1為(8)的解.

考慮方程

(9)

利用算子L將方程(9)形式上寫為下列方程：

(10)

定理5.1當(dāng)假設(shè)4.1中的 (i) 成立時(shí)，iL能生成L2(H,μ)上的一個(gè)C0半群.

證明 因EA(H)?Dom(L)=Dom(iL)，則S在L2(H,μ)中稠密，這里Dom(iL)表示iL的定義域.由引理 2.13(ii)，得ReL2=0.?φ∈S，且?λ∈C，Reλ≥λ0時(shí)，λI-L為滿射.所以存在λ1∈C，使得λ1I-iL為滿射，從而L是極大耗散的，算子iL能生成L2(H,μ)上的一個(gè)C0半群.

推論5.2在定理5.1 的條件下，方程(10)存在唯一解u∈C1([0,∞),S).