李樂毅

(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電與信息工程系，四川618000)

隨著智能模擬軟件的高速發(fā)展，模擬材料斷裂的萌生、擴展和最終分離的整個變化過程需要高精度的模擬軟件和解析方法，其中，目前一個重要研究發(fā)展方向是如何利用現(xiàn)有的商用有限元軟件來準(zhǔn)確高效地模擬材料的裂紋擴展。金屬，尤其是彈塑性復(fù)合金屬材料的裂紋萌生、擴展和最終分離是一個強非線性過程，傳統(tǒng)的有限元解析方法很難有效地模擬彈塑性復(fù)合金屬材料的裂紋萌生、擴展和最終分離引起的動態(tài)響應(yīng)應(yīng)力與位移擴展的不連續(xù)性[1-4]。

近十年來，為了專門克服彈塑性復(fù)合金屬材料的裂紋變化過程所遇到的困難，許多專家學(xué)者提出了許多解析方法，例如改良邊界元法、離散有限元法和虛擬節(jié)點法等[5-6]。上述理論都可以在一定范圍內(nèi)有效地模擬彈塑性復(fù)合金屬材料裂紋的擴展，但通用性和運用范圍受限，對于裂紋擴展復(fù)雜的彈塑性復(fù)合金屬材料，在模擬時耗時較長或模擬結(jié)果發(fā)散。近幾年，有專家學(xué)者提出了一種基于內(nèi)聚力模型的有限元算法，該算法無需預(yù)先設(shè)置附加節(jié)點或約束就能處理彈性材料的裂紋發(fā)生、擴展和最終分離，由于基于內(nèi)聚力模型的有限元算法具有精度高、穩(wěn)定性好、耗時短等優(yōu)點，表現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。但是，該方法尚未應(yīng)用在彈塑性復(fù)合金屬材料。

因此，在現(xiàn)有研究結(jié)論的基礎(chǔ)上，針對一維彈塑性復(fù)合金屬材料的斷裂問題，以一維二節(jié)點桿單元為研究模擬對象，提出一種基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法，并把該方法嵌入傳統(tǒng)有限元軟件Abaqus中進行有限元分析。

圖1 一維彈塑性桿單軸加載Figure 1 One dimensional elastic-plastic rod uniaxial loading

1 基于內(nèi)聚力模型的有限元法

圖1是對一維彈塑性復(fù)合金屬材料桿進行雙向加載，用Ω代表完整的彈塑性復(fù)合金屬材料桿，桿長為l，橫截面積為A，當(dāng)彈塑性復(fù)合金屬材料桿承受雙向加載時，桿件下部節(jié)點1的位移量為u1，節(jié)點受力為F1；桿件上部節(jié)點2的位移量為u2，節(jié)點受力為F2。所以，在豎直x軸方向產(chǎn)生的凈位移量為u=u2-u1。

(1)

等向強化函數(shù)為：

(2)

其中p為節(jié)點處應(yīng)變。采用米塞斯屈服強度準(zhǔn)則進一步判斷當(dāng)前時刻彈塑性復(fù)合金屬材料桿的彈塑性狀態(tài)，屈服函數(shù)為：

f=σ-r-σy

(3)

當(dāng)f<0時，復(fù)合金屬材料桿發(fā)生彈性變形，滿足Dep=E；當(dāng)f=0時，復(fù)合金屬材料桿發(fā)生彈塑性變形，滿足Dep=Eh(E+h)，其中Dep為材料切線剛度矩陣。

圖2 三角形內(nèi)聚力關(guān)系Figure 2 Triangle cohesion relationship

彈塑性復(fù)合金屬材料桿的非線性斷裂過程選用如圖2所示的三角形內(nèi)聚力模型進行模擬，數(shù)學(xué)上可表示為：

(4)

在公式中引入上標(biāo)i∈[1，2，3，4]代表內(nèi)聚力關(guān)系段號，其中，內(nèi)聚力關(guān)系第i段的斜率用α(i)表示，所以，公式(4)中應(yīng)力σ余裂紋張開位移δn的關(guān)系式可以改寫為：

(5)

(6)

而且內(nèi)聚力關(guān)系斜率α(i)可以表示為：

(7)

與此同時，復(fù)合金屬材料桿的裂紋張開位移δn的取值范圍可以表示為：

(8)

在上述內(nèi)聚應(yīng)力模型中，復(fù)合金屬材料桿的裂紋張開度δn對應(yīng)的能量釋放率G可以表示為：

(9)

復(fù)合金屬材料桿的斷裂準(zhǔn)則可以改寫為：

G=Γc

(10)

其中Гc為復(fù)合金屬材料桿的斷裂韌性。

2 基于內(nèi)聚力模型的有限元模擬測試

如圖3所示，為彈塑性復(fù)合金屬材料一維二節(jié)點桿有限元模擬拉伸測試的幾何模型，同時采用兩種模式進行加載，一種是當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進入塑性變形階段后馬上進行卸載，再重新加載直到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂，另一種是當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進入內(nèi)聚力裂紋擴展階段后馬上進行卸載，再重新加載直到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂，選用上述兩種循環(huán)加載情況進行單元測試。

圖3 一維二節(jié)點彈塑桿單元Figure 3 One dimensional two nodes elastic-plastic rod unit

圖4 應(yīng)力-應(yīng)變曲線及其擬合結(jié)果Figure 4 Stress-strain curve and fitting result

首先，采用當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進入塑性變形階段后立即卸載，再重新加載到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂的模擬方案進行測試。即控制外加載荷位移從u=0加載到u=1.2 mm，復(fù)合金屬材料桿單元進入塑性變形階段，接著卸載到u=1.0909 mm時，外加載荷變?yōu)?，最后再加載到u=3.6 mm時，桿件完全斷裂。如圖5所示給出了在整個加載過程中彈塑性復(fù)合金屬材料桿的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系數(shù)值解(FEM)與實驗數(shù)據(jù)(experimental)、線性擬合結(jié)果(fitting curve)以及解析解(analytical solution)之間的對比，由圖5可知，上述四種結(jié)果基本一致，驗證了基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法在分析一維桿件進入塑性變形段卸載后再加載到完全斷裂時的準(zhǔn)確性。

圖5 加載點應(yīng)力-應(yīng)變曲線Figure 5 Stress-strain curves of loading points

然后采用當(dāng)復(fù)合金屬材料桿單元進入內(nèi)聚力裂紋擴展階段后立即卸載，再重新加載直到復(fù)合金屬材料桿完全斷裂的模擬方案進行測試。即控制位移從u=0加載到u=2.4 mm，復(fù)合金屬材料桿單元進入內(nèi)聚力裂紋擴展階段，接著卸載到u=2.28 mm時外力為0，最后再加載到u=3.6 mm時完全斷裂。圖6給出了整個加載過程中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的四種結(jié)果對比，其結(jié)果也基本一致，驗證了基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法在模擬一維桿件進入內(nèi)聚力裂紋擴展階段卸載后再加載到完全斷裂整個加載過程時的準(zhǔn)確性。

圖6 加載點應(yīng)力-應(yīng)變曲線Figure 6 Stress-stain curves of loading points

3 結(jié)論

針對彈塑性復(fù)合金屬材料的斷裂問題，以一維二節(jié)點桿為研究對象，提出一種基于內(nèi)聚力模型的有限元算法，并借助有限元軟件Abaqus，以一維彈塑性復(fù)合金屬材料桿單軸拉伸為實驗背景，對兩種循環(huán)加載過程進行了有限元模擬，通過與實驗數(shù)據(jù)、線性擬合結(jié)果以及解析進行對比，驗證了基于內(nèi)聚力模型的一維彈塑性復(fù)合金屬材料有限元模擬方法的精確性。