王佑恩,趙紹玉，孔 旭

（三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

隨著計算機的快速發(fā)展,傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)已經(jīng)不能滿足當前的需求。Walsh[1]首次提出網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control systems),網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)將傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)和計算機的復(fù)雜性結(jié)合在一起,隨著大量專家的關(guān)注,網(wǎng)絡(luò)控制問題已經(jīng)成為專家討論的熱門話題[2-4]。

由于計算機網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性,在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的設(shè)計和分析方面,也帶來了麻煩,比如說時延和丟包。網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在數(shù)據(jù)傳輸過程中時常碰到延遲或者丟失,這就要求設(shè)計一個網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),不管是數(shù)據(jù)延遲或者丟失,都不影響系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性。針對網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的時延和丟包問題,已經(jīng)出現(xiàn)了很多解決方法。周穎等[5]將時延的時變系數(shù)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)參數(shù)矩陣的不確定性；劉義才等[6]基于Markov的隨機過程描述系統(tǒng)丟包的特性,利用系統(tǒng)增廣矩陣的方法建立參數(shù)不確定的離散時間跳變系統(tǒng)模型；李秀英等[7]假設(shè)系統(tǒng)時延恒定,將系統(tǒng)動態(tài)地分成多種情況來考慮,用多個子系統(tǒng)描述不同丟包情況下的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)模型。

Delta算子是將連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)統(tǒng)一的離散化方法[8]。將Delta算子融入網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),也有一些學(xué)者進行了研究[9-10]。但是對于Delta算子描述網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的H∞控制問題,研究成果尚不多見。

本文研究Delta算子描述的具有一步時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),在研究過程中,采用狀態(tài)反饋來實現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論和應(yīng)用LMI方法,得到了滿足H∞性能γ的狀態(tài)反饋控制器的線性矩陣不等式問題，該問題的可行解驗證了該方法的可行性。

1 問題描述

考慮Delta算子描述的含一步時延和丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

考慮狀態(tài)反饋控制

由于系統(tǒng)存在丟包或者一步時延,因此假設(shè)被控對象的實際輸入信號模型為

其中ξi（k）,i=1,2表示數(shù)據(jù)信號經(jīng)網(wǎng)絡(luò)傳輸時產(chǎn)生的隨機時延和丟包現(xiàn)象,且均為互不相關(guān)的伯努利變量系列,則數(shù)學(xué)期望和方差分別為 E[ξi（k）]=ξi,D[ξi（k）]=ξi(1-ξi)。由(3)式,可得當 ξ1（k）=1 時,（k）=u（k）,正常接收信號；當 ξ1（k）=0，ξ2（k）=0 且 ξ1（k-1）=0 時,（k）=（k-1）表示信號丟失,即這時執(zhí)行器沒有接收到信號,采用上一刻執(zhí)行器的信號（k-1）；當[1-(1-ξ1（k-1）]ξ2（k）=1 且 ξ1（k）=0 時,（k）=u（k-1）,表示信號產(chǎn)生了一步時延,即k-1時刻的控制器發(fā)出的信號u（k-1）在k時刻才被執(zhí)行器收到，而k時刻的控制信號還未收到，因此，k時刻的執(zhí)行器執(zhí)行的控制信號（k）采用u（k-1）。

將式(2)應(yīng)用到式(4)和式(5),然后將系統(tǒng)(1)式和信號模型式(4)、(5)進行增廣,可以得到增廣的閉環(huán)系統(tǒng)

本文針對閉環(huán)系統(tǒng)(6),需要尋找一個狀態(tài)反饋控制器(2),滿足以下兩個條件

(1)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;

2 主要結(jié)果

為了得到閉環(huán)系統(tǒng) (6)漸近穩(wěn)定的一個充分條件,以及提出一個方案設(shè)計具有H∞性能γ控制器。介紹以下引理。

引理1[12]給定適維矩陣Y、D和F,其中Y是對稱的,則Y+DEF+ETFTDT＜0對所有滿足FTF≤I的矩陣 F 成立,當且僅當存在一個常數(shù) ε＞0,使得 Y+εDDT+ε-1EET＜0。

定理1對于Delta算子網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1),給定γ＞0,如果存在矩陣W,X1,X2,X3,并且X1,X2,X3是對稱正定的,有以下矩陣不等式

3 數(shù)值算例

此時閉環(huán)系統(tǒng)具有性能指標。

4 結(jié)語

本文根據(jù)李雅普諾夫定理,結(jié)合Delta算子理論,采用了線性矩陣不等式的方法,研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和H∞性能。采用狀態(tài)增廣以及狀態(tài)反饋控制器解決系統(tǒng)的時延和丟包現(xiàn)象,最終使得增廣閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且得到滿足性H∞能指標γ的狀態(tài)反饋控制器的存在條件和控制器設(shè)計方法。