王羅成 劉丹萍

【摘要】數(shù)學(xué)概念的建立貫串整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，數(shù)學(xué)是建立在一系列精確概念之上的.重視概念形成過程的教學(xué)，有助于學(xué)生對(duì)概念關(guān)鍵屬性的認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)概念的理解.教師需要了解概念形成的基本過程，并指導(dǎo)日常的概念教學(xué).本文以“一元二次方程”概念教學(xué)為例，談一談教師如何在概念教學(xué)中重視概念的形成過程.

【關(guān)鍵詞】一元二次方程;概念教學(xué)

概念教學(xué)應(yīng)該引起教師足夠的重視，而有的教師在課堂上，常常利用“一個(gè)定義加上幾項(xiàng)注意”的方式來闡述數(shù)學(xué)概念.甚至有的教師認(rèn)為，對(duì)概念的講解本身不必用太長(zhǎng)的時(shí)間，只需要簡(jiǎn)單表述即可，練習(xí)做多了，學(xué)生自然會(huì)對(duì)概念有自己的認(rèn)識(shí).這種對(duì)概念的處理方式?jīng)]有使學(xué)生經(jīng)歷概念形成的基本過程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念中的關(guān)鍵屬性認(rèn)識(shí)不清，這對(duì)學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建是非常不利的.

一、概念形成的基本過程

概念形成，即從大量具體例子出發(fā)，從學(xué)生實(shí)際的例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質(zhì)屬性.概念形成的基本過程可以分為如下環(huán)節(jié).

1.分析辨認(rèn)典型事例的基本特征

蘊(yùn)含數(shù)學(xué)概念的典型事例可以是學(xué)生自己已有的生活經(jīng)驗(yàn)或者是經(jīng)歷的一些基本事實(shí)，也可以是教師在課堂上提供的具有代表性的一些事例，學(xué)生需要通過對(duì)這些典型事例進(jìn)行觀察、分析和比較，對(duì)這些事物的外部特征進(jìn)行概括.

2.將典型事例的基本特征進(jìn)行分化

為了使學(xué)生理解典型事例的本質(zhì)屬性，便于學(xué)生歸納出事例的共同屬性，教師需要在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生將所列事例的外部特征進(jìn)行分化、概括.

3.抽象出典型事例的共同屬性

學(xué)生對(duì)事例的各個(gè)屬性進(jìn)行分析后，容易找出這些事例中的共同屬性，最終將準(zhǔn)確的概念從這些共同屬性中提出.

4.確認(rèn)共同屬性，排除非關(guān)鍵屬性

在抽象出大量事例的共同屬性之后，學(xué)生需要對(duì)這些共同屬性進(jìn)行確認(rèn)，排除一些非關(guān)鍵的特征.

5.概括形成概念

學(xué)生將最后確認(rèn)的共同屬性抽象出來，并區(qū)分有從屬關(guān)系的關(guān)鍵屬性，用語(yǔ)言將其概括成為新概念.

6.檢驗(yàn)、修正、推廣概念

形成新的概念之后，學(xué)生需要對(duì)概念進(jìn)行辨析，辨析的過程一方面是為了進(jìn)一步檢驗(yàn)和修正概念，另一方面也是對(duì)形成的新概念進(jìn)行推廣應(yīng)用.辨析的過程可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)概念的關(guān)鍵屬性是否理解.

7.形成習(xí)慣的符號(hào)語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中顯得尤為重要，將概念用習(xí)慣的符號(hào)語(yǔ)言表示，可為學(xué)生以后應(yīng)用概念奠定基礎(chǔ).

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.找出一元二次方程一般形式所具有的特征

觀察下列一元二次方程，他們都有什么共同點(diǎn)？

（1）3x2=0

（2）2x2-3x=3

（3）-12x2-2=0

（4）2x2+2x-3=0

設(shè)計(jì)說明：教師列舉一元二次方程的幾種形式，希望學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)一元二次方程所具有的特殊屬性，即一元二次方程所具有的相同特點(diǎn)，借此總結(jié)歸納出一元二次方程的一般形式.

在講授過程中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生思考二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)能否為0.

2.總結(jié)歸納一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

這種形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).

3.概念辨析

下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由，并將一元二次方程化為一般形式.

（1）3x+2=5x-3

（2）x2=4

（3）x-2x+1-1=x2

（4）x2-4=（x+2）2

判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，要把握以下三點(diǎn)：①方程是整式方程;②只含有一個(gè)未知數(shù);③可化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

三、對(duì)教學(xué)片段的分析

上述關(guān)于一元二次方程一般形式的教學(xué)片段的設(shè)計(jì)，顯然沒有遵循概念形成的一般過程，對(duì)一元二次方程一般形式的概念分析得不徹底，忽視了概念的形成過程，導(dǎo)致學(xué)生在理解概念的時(shí)候，只能停留在表面，也就是對(duì)概念形成機(jī)械記憶，沒有能夠理解概念的關(guān)鍵點(diǎn)在什么地方，學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解是混亂的.

在上述教學(xué)設(shè)計(jì)最開始，教師給出四個(gè)一元二次方程，希望學(xué)生通過對(duì)這幾個(gè)例子的分析得出一元二次方程所具有的一般屬性.教師所列舉的四個(gè)例子，作為一元二次方程，都有其各自的特殊性，但是正是這一點(diǎn)，容易使學(xué)生的理解產(chǎn)生困難，呈現(xiàn)這些例子的目的是使學(xué)生歸納出一元二次方程的一般形式，這里出現(xiàn)一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為0或者其他的情況都是不利于學(xué)生進(jìn)行歸納和總結(jié)的，這里的“典例”將不再是“典例”.這些特殊性在一元二次方程概念形成的最初階段，會(huì)對(duì)學(xué)生分析歸納一元二次方程的一般屬性造成影響.在概念形成的初期，教師所列出的例子需要是正例，例子蘊(yùn)含的共同屬性要明確，這樣才有利于學(xué)生歸納概括一元二次方程的一般屬性.

通過上述的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生不能夠很好地完成對(duì)一元二次方程屬性的檢驗(yàn)，也就沒有辦法真正地明確這個(gè)概念中的關(guān)鍵屬性是什么，哪些屬性又是非關(guān)鍵的.具體體現(xiàn)：為什么b、c可以為0，而a卻不可以為0？教師若按照上述教學(xué)設(shè)計(jì)中例子呈現(xiàn)的話，很顯然是將概念教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵步驟雜糅在一起，希望學(xué)生通過一個(gè)步驟就完成對(duì)概念屬性的辨認(rèn)，確認(rèn)關(guān)鍵屬性，形成概念，并完成概念的推廣.這顯然是不合理的，也不能夠達(dá)到很好的效果.我們知道，概念教學(xué)的最后還需要有一個(gè)概念內(nèi)化的過程，就是將新概念與學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行聯(lián)系和整合，確保所學(xué)新概念能夠融入學(xué)生原有的知識(shí)體系中，這樣才能夠使學(xué)生真正理解概念和深化概念.上述過程顯然沒有能夠體現(xiàn)這一點(diǎn).教師在概念教學(xué)的具體操作中，還應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面：第一，在呈現(xiàn)典型例子的時(shí)候最好能夠一起呈現(xiàn)，這樣可以方便學(xué)生觀察、對(duì)比;第二，概念形成的過程中，學(xué)生自主交流討論能夠使他們明確概念的關(guān)鍵屬性，對(duì)一些無關(guān)的因素進(jìn)行篩選和甄別，有利于學(xué)生更加準(zhǔn)確、迅速地掌握概念;第三，概念形成后的內(nèi)化固然重要，但是將新概念與已有的類似概念進(jìn)行分化和辨別也是非常重要的.

四、修正

1.辨別各種典型事例

教學(xué)環(huán)節(jié)：觀察下列方程，他們都有什么共同點(diǎn)？

（1）2x2-3x-3=0

（2）-2x2+x-4=0

（3）-12x2+5x-2=0

（4）2x2+2x-3=0

設(shè)計(jì)說明：教師呈現(xiàn)最為普通的四個(gè)一元二次方程，使學(xué)生明確找出其中的共同點(diǎn).這里呈現(xiàn)的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)均不為0.這樣的呈現(xiàn)方式是為了方便學(xué)生分析辨認(rèn)典型事例的基本特征.學(xué)生通過觀察，容易發(fā)現(xiàn)一元二次方程的一般形式中，等號(hào)左側(cè)包含三項(xiàng)（依次為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)）.這樣的觀察基礎(chǔ)為學(xué)生后續(xù)找到一元二次方程的典型特征提供了可能.

2.分化出各種典型事例的屬性

教學(xué)環(huán)節(jié)：組織學(xué)生討論上述一元二次方程的共同點(diǎn).

設(shè)計(jì)說明：這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)上述方程具有的共同特征，組織學(xué)生進(jìn)行討論，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用語(yǔ)言表述發(fā)現(xiàn)的共同特征，并試著進(jìn)行概念的表達(dá).

3.抽象出各個(gè)典型事例的共同屬性，并提出關(guān)鍵屬性的種種假設(shè)

教學(xué)環(huán)節(jié)：我們知道，一元一次方程的一般形式為ax+b=0（a≠0），你能試著總結(jié)一下一元二次方程的一般形式嗎？

設(shè)計(jì)說明：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師可以先讓學(xué)生自主地歸納出一元二次方程的一般形式，在前面幾個(gè)環(huán)節(jié)的鋪墊下，部分學(xué)生在這個(gè)環(huán)節(jié)中可順利完成概念的形成與建構(gòu)過程.在教學(xué)過程中，學(xué)生如果遇到一些困難，可以通過類比學(xué)習(xí)法解決，類比一元一次方程的一般形式ax+b=0（a≠0），再嘗試?yán)斫庖辉畏匠痰囊话阈问?值得一提的是，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生是否能認(rèn)識(shí)到a≠0這個(gè)關(guān)鍵屬性并不要求，在概念形成的下一個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生在對(duì)屬性進(jìn)行辨析確認(rèn)的時(shí)候，再來討論a≠0這個(gè)屬性.

4.在特定的情境中檢驗(yàn)假設(shè)，確認(rèn)關(guān)鍵屬性

在檢驗(yàn)過程中，采用變式是一種有效手段.

教學(xué)環(huán)節(jié)：試著思考，下列方程符合一元二次方程的一般形式嗎？為什么？

（1）-12x2-2=0

（2）2x2-3x=3

（3）x2=4

（4）-3x-3=0

設(shè)計(jì)說明：教師通過這樣四個(gè)式子的討論，明確二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)系數(shù)可以為0，以及等號(hào)右邊為0這幾個(gè)關(guān)鍵屬性，為學(xué)生總結(jié)和理解一元二次方程的一般形式做好準(zhǔn)備.這里運(yùn)用了變式的教學(xué)方法，其中（1）（3）可以利用等式的基本性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換變形，（2）和（4）的區(qū)別為（4）的二次項(xiàng)系數(shù)為0，這暗示了二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況下，一元二次方程就會(huì)變成一元一次方程.

（1）說明了一次項(xiàng)系數(shù)可以為0，（2）（4）對(duì)照說明了二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

5.概括形成概念

教學(xué)環(huán)節(jié)：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能轉(zhuǎn)化成如下形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

這種形式是一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)的系數(shù);bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).

設(shè)計(jì)說明：通過前面各個(gè)階段的探究，這里形成一元二次方程的概念是自然而然的，學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)概念的建構(gòu)過程.

6.把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去

教學(xué)環(huán)節(jié)：下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由，并將一元二次方程化為一般形式.

（1）3x+2=5x-3

（2）x2=4

（3）x-2x+1-1=x2

（4）x2-4=x+22

設(shè)計(jì)說明：新概念建構(gòu)完成后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將其推廣到同類事物中去，用概念中的關(guān)鍵屬性來檢驗(yàn)同類事物，辨別其是否符合概念，對(duì)概念中的關(guān)鍵屬性再次進(jìn)行強(qiáng)化.

7.將所學(xué)知識(shí)同化到已有知識(shí)體系中

教學(xué)環(huán)節(jié)：當(dāng)m= 時(shí)，方程（m-1）x2-（2m-1）x+m=0是關(guān)于x的一元一次方程，當(dāng)m=時(shí)，上述方程是關(guān)于x的一元二次方程.

設(shè)計(jì)說明：教師通過這個(gè)題目的討論，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到a≠0的重要性，同時(shí)將所學(xué)新知識(shí)與原有知識(shí)聯(lián)系起來.在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師還可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由?，告訴學(xué)生目前學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元二次方程，后續(xù)還會(huì)研究更多類型的方程.

五、反思

1.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是建構(gòu)式的

數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)是成體系的，數(shù)學(xué)知識(shí)體系是前人經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的探索研究才形成的.因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)占有傳授者所提供的經(jīng)驗(yàn)，掌握前人所創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)，把別人的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，使其內(nèi)化成為自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，成為自己解決實(shí)際問題的工具的一個(gè)過程.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)體系的起點(diǎn)，很多時(shí)候，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是接受式的.在經(jīng)驗(yàn)的傳遞，概念的形成過程中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過教學(xué)活動(dòng)感知經(jīng)驗(yàn)與概念.也就是說，經(jīng)驗(yàn)的傳遞和接受，并不能像物品的傳遞與接受那樣，從一個(gè)人的手中直接傳遞到另一個(gè)人的手中.概念的建立也不能像建樓房一樣，一磚一瓦模式化地堆砌.教師要給自己的經(jīng)驗(yàn)和熟知的概念賦予一定的客觀形式，即必須借助聲音和文字進(jìn)行編碼，使其成為經(jīng)驗(yàn)和概念的載體，學(xué)生在接受編碼信息后，經(jīng)過自己的譯碼，在自己的知識(shí)體系中形成相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)與概念，從這個(gè)角度來看，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是建構(gòu)式的.

因此，概念的教學(xué)要重視概念的形成過程，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念形成的每一個(gè)環(huán)節(jié)，重視學(xué)生在這個(gè)過程中對(duì)概念的體會(huì)與抽象.這樣形成的概念才是學(xué)生自主建構(gòu)起來的.

2.重視概念形成的過程，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)

學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)必須落實(shí)到日常教學(xué)之中.概念形成的過程，正是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的良好時(shí)機(jī).具體說來，數(shù)學(xué)概念教學(xué)往往是教師從大量具體例子出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)具體例子進(jìn)行分析、辨別.學(xué)生通過觀察、分析、比較，概括出這些事例的外部特征.這一過程，正是數(shù)學(xué)抽象的過程.形成準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念，需要學(xué)生進(jìn)一步抽象，從外部特征中提取出概念的核心屬性，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)提出了更高的要求.我們從概念形成的整個(gè)過程中可以看到，概念的形成就是在不斷抽象中完成的.重視概念形成過程的教學(xué)，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

另外，從大量的實(shí)際例子中抽象得到最后的概念，除了需要學(xué)生不斷抽象外，還需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)推理能力.概念形成初期，面對(duì)大量實(shí)際例子，學(xué)生可以通過觀察、分析、猜測(cè)得到這個(gè)概念的一些典型的或者非典型的，甚至錯(cuò)誤的屬性，學(xué)生從這些屬性中進(jìn)一步推理分析，剔除錯(cuò)誤的、非關(guān)鍵的屬性，最后得到準(zhǔn)確的概念.整個(gè)過程是在不斷猜想、分析、推理中完成的.重視概念形成過程的教學(xué)，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.重視概念形成的過程，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的品質(zhì)

數(shù)學(xué)是建立在概念之上的，教師在教學(xué)中需要重視概念的形成過程，這對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)有重要意義.現(xiàn)在部分學(xué)生認(rèn)為，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是刷題，概念的學(xué)習(xí)，包括定理、公式的學(xué)習(xí)都是為刷題做準(zhǔn)備，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力就是解題能力.這種觀點(diǎn)是不正確的.重視概念形成過程的教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，使學(xué)生重視數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、發(fā)展、延伸的過程，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì).

六、結(jié)束語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)的知識(shí)體系是建立在概念之上的.數(shù)學(xué)之所以如此的嚴(yán)謹(jǐn)，就是因?yàn)橹螖?shù)學(xué)大廈的眾多概念是嚴(yán)謹(jǐn)、明確的.因此，學(xué)生要想具有良好的數(shù)學(xué)思維，就必須在概念的學(xué)習(xí)上做足功夫，明確概念的內(nèi)涵和外延.對(duì)教師來說，數(shù)學(xué)的概念教學(xué)是非常重要的.在教學(xué)實(shí)際中，教師往往由于對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)不了解，在概念教學(xué)中不能夠遵循概念的形成和發(fā)展的過程，不能夠使新概念融入學(xué)生原有的知識(shí)體系之中.教師在進(jìn)行概念教學(xué)的時(shí)候需要遵循概念教學(xué)的一般過程，踏踏實(shí)實(shí)地將概念的內(nèi)涵和外延傳授給學(xué)生.

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