王 琦，王桂榮

(中國計量大學 機電工程學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

在航空航天、汽車領域的復雜零件的高精高速加工中，NURBS(non-uniform rational B-splines)插補應用廣泛[1]。NURBS插補是在以NURBS曲線構成的待加工軌跡上，進行刀具進給速度規(guī)劃，再計算每個插補周期的目標點坐標。其中，對NURBS曲線的進給速度規(guī)劃對加工時間及質量有重要影響。

進給速度規(guī)劃算法分為固定模式的加減速算法，如應用廣泛且可實時進行的S型加減速算法[2，3]，以及最優(yōu)時間速度規(guī)劃算法；其先建立數(shù)學最優(yōu)模型，再采用線性規(guī)劃[4]、粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)[5]、啟發(fā)式算法[6]等求解滿足約束條件的速度曲線。最優(yōu)算法往往需要較長時間迭代，一般用于離線速度規(guī)劃，再進行實時插補。相比固定模式的加減速算法，最優(yōu)算法搜索空間更大，可找到滿足各種約束下的加工時間更少的速度曲線。速度曲線的高階運動性質對加工有重要影響，羅亮等[7]指出加加速度越平滑，工作臺振動幅值的增加量就越小。傳統(tǒng)的加減速算法通過構造連續(xù)的加加速度曲線，如三次多項式的速度曲線[8]，即可容易實現(xiàn)加加速度曲線的連續(xù)。然而，對于最優(yōu)算法，一般通過限定加加速度上界來約束，速度曲線光順性不足，加加速度曲線振蕩幅度大，速度曲線上的一些小尖峰雖然加快了加工速度，以充分發(fā)揮機床的加減速性能，但是造成了加加速度的急劇變化，造成了振動。因此有必要對最優(yōu)算法得到的進給速度曲線進行光順。趙洋[9]將CAGD(computer aided geometric design)領域的能量光順法應用到了速度曲線的光順問題中，但未直接針對最優(yōu)速度曲線，且光順調整過程未考慮到可能引起的違反約束問題，光順和曲線演化一起迭代進行，有很多重復的計算工作。

本文在采用啟發(fā)式時間最優(yōu)速度規(guī)劃得到最優(yōu)速度曲線的基礎上，抓主要矛盾，提出固定部分區(qū)域光順的方法，采用數(shù)學建模方法，基于能量光順法對進給速度曲線的光順性和時間性進行建模，利用最優(yōu)化理論進行求解，為最優(yōu)速度曲線的光順性提供直接的改善方法，使加工時間和加工質量得到較好折衷。

1 進給速度時間最優(yōu)化模型

1.1 待加工軌跡及進給速度曲線的數(shù)學描述

二維待加工軌跡可直接用NURBS曲線表示，對于直線圓弧或離散點構成的待加工軌跡可用NURBS曲線進行擬合，由于NURBS曲線具有可微性，可實現(xiàn)待加工軌跡的光順。

NURBS曲線的定義[10]為:

(1)

式中：u—無量綱曲線參數(shù)；[x(u),y(u)]—u所對應的曲線上一點的坐標值；Pi—二維控制點i的坐標；wi—Pi對應的權因子；Ni,p(u)—節(jié)點向量U上的p次B樣條基函數(shù)，其中，U=[u0,u1,…,un+p+1]。

u對應待加工軌跡的一點[x(u),y(u)]，這一點的一維進給速度記為v(u)，v(u)-u可表示為曲線的形式，v(u)用p次一維B樣條來表示，即：

(2)

式中：Vi—等間隔u對應的一維控制點序列中序號為i的控制點，i=0～n。

可通過調整控制點的值來調整速度曲線。B樣條曲線具有可微性，在節(jié)點區(qū)間內部是無限次可微的，有利于速度曲線的光順性；同時，B樣條曲線又具有局部性，即調整一個控制點，僅對其周圍的曲線有影響，有利于局部調整曲線與約束檢查。

此處的B樣條次數(shù)取3次。

1.2 約 束

進給速度規(guī)劃一般受以下3類約束限制：

(1)弦高誤差約束：

(3)

式中：ρ—曲率半徑；Ts—插補周期；emax—加工允許的最大弦高誤差；v—當前進給速度。

(2)工藝限制約束：

(4)

式中：vu—v(u)對參數(shù)u的導數(shù)；Pu—待加工軌跡P(u)對u的一階弧微分；au—a(u)對參數(shù)u的導數(shù)；Vmax,Amax,Jmax—工藝要求的刀具速度、加速度、加加速度極限。

(3)機床驅動限制約束：

(5)

1.3 最優(yōu)模型

對于給定的NURBS待加工軌跡P(u)，進給速度規(guī)劃的目標是在滿足上述式(3～5)約束的前提下，盡可能提高速度，以減小加工時間。

決策變量是速度曲線v(u)的控制點值，目標函數(shù)為加工時間的最小化，即：

(6)

2 光順算法

為降低機床加工時的振動，提高工件的加工質量，時間最優(yōu)的進給速度需要光順。光順性的定義較為模糊，一般認為光順曲線不存在奇點和多余拐點、曲率連續(xù)，且變化較小、應變能較小。進給速度的光順指提高對應加工軌跡的進給速度曲線的光順性。

本文面向時間最優(yōu)的速度曲線進行光順，首先由啟發(fā)式速度規(guī)劃獲得時間最優(yōu)的速度曲線，然后對于已接近加工時間最優(yōu)的速度曲線：

(1)由于能量光順法是沒有方向性的，任一點的速度都可能變大或變小，容易超過約束限制；

(2)另外，加工時間的最優(yōu)性不能因為改善光順性而大量下降。

基于以上兩方面，筆者提出固定部分區(qū)域的光順算法。

2.1 獲得加工時間最優(yōu)的進給速度曲線

可由啟發(fā)式算法來獲得時間最優(yōu)的進給速度曲線，算法步驟為：

(1)生成初始的B樣條速度曲線，需確定控制點數(shù)量n、曲線次數(shù)p、節(jié)點向量U，控制點初始值為單個插補周期能從零達到的滿足約束的最大速度；

(2)對控制點進行一輪調整，依次調整第2～n-1個控制點值，單個控制點采用二分法迭代[11]調整；

(3)計算本輪調整后的平均速度與上一輪的差值，若小于閾值，則獲得時間最優(yōu)的速度曲線，控制點向量記為V0，結束；否則，返回(2)。

2.2 固定部分區(qū)域的速度曲線光順算法

2.2.1 算法思路

部分區(qū)域首先指速度極小值區(qū)域，其次指固定極小值區(qū)域進行光順后出現(xiàn)的超限區(qū)域。低速區(qū)域的速度大小對加工時間的影響非常重要，將低速區(qū)域固定，保持低速區(qū)域的最優(yōu)性，在此基礎上通過設置較大的逼近因子，使其余區(qū)域的最優(yōu)性大致保留。

此外，部分區(qū)域固定，其余區(qū)域的速度曲線整體會向固定區(qū)域靠近，這使得固定速度極小值區(qū)域后，速度的調整大致為向下調整，從而使超限的情況大量減少。對于光順后出現(xiàn)的超限區(qū)域，也將其作為固定區(qū)域，這樣光順前后這塊速度曲線與原來相同，則滿足約束。

2.2.2 固定部分區(qū)域光順的優(yōu)化模型

能量法是曲線光順常用的一種方法，本文算法在此基礎上進行，通過曲線的應變能來反映光順性，曲線應變能越小光順性越好，光順后曲線應變能為：

(7)

式中：α—曲線的光順因子；k—曲線曲率。

曲率k可近似為B樣條速度曲線對參數(shù)的二階導，即：

(8)

式中：v(u)—光順后u處的進給速度值。

將式(8)代入式(7)，經(jīng)計算可得：

(9)

此外，光順后的速度曲線要與原來的時間最優(yōu)速度曲線相差盡可能小，曲線光順前后的偏離量記為：

(10)

決策變量是控制點序列的值。目標函數(shù)為E1、E2都需要最小化，將雙目標加權合為單目標。固定部分區(qū)域通過對相應控制點保持光順前后不變來實現(xiàn)，在優(yōu)化模型中作為約束條件出現(xiàn)。

現(xiàn)將固定部分區(qū)域的速度曲線光順的優(yōu)化模型表示如下：

決策變量：

V=[V0…Vj…Vm+2]T

(11)

(1)目標函數(shù)：

(12)

(2)約束函數(shù)：

(13)

式中：l—固定區(qū)域的控制點序號。

(3)優(yōu)化模型的求解

以上是有等式約束的凸優(yōu)化問題，一般用拉格朗日乘子法解決，但該問題中，約束函數(shù)中能確定一些變量即固定控制點的最終值，那么問題可以看作比原來少一些變量的無約束凸優(yōu)化問題，可直接對變量求偏導得到最優(yōu)值。

方程的通用形式為：

(14)

對式(14)進行化簡，且將α拓展為αi可得：

(15)

若控制點Vi需要固定，可將αi置為0，則有：

(16)

將式(14)中的Vj(j=0～m+2)提出到列向量中，m+3個等式寫成矩陣形式，即：

AV=C

(17)

式中：V—待求的控制點列向量，V=(Vi)m+3,1；A,C—m+3個等式中V提出后得到的矩陣、向量，A=(aij)m+3,m+3,C=(Ci)m+3,1。

其中：

(18)

式(18)的積分可采用梯形法計算，V的求解可采用高斯消元法。這樣通用形式求解的V與固定的控制點作為常量，其余控制點作為變量的無約束凸優(yōu)化問題同解，也與式(11～13)的等式約束的凸優(yōu)化問題同解。

2.2.3 算法步驟

(1)掃描控制點值確定多個極小值和極大值，將極小值對應的控制點索引加入G，極大值的加入M；G代表固定的控制點的索引集合；

(2)對每個極小值左右相鄰的一個控制點，若該控制點的索引不屬于G或M，則加入G；此時G所代表的控制點成為極小值區(qū)域；

(3)將G對應的控制點的光順因子αi置為0，實現(xiàn)光順算法中最小值區(qū)域的固定；

(4)進行固定區(qū)域的能量光順，即對式(17)構成的矩陣方程求解V；

(5)將求出的V構成B樣條曲線，檢查超限區(qū)域，將超限區(qū)域附近的控制點值置為時間最優(yōu)規(guī)劃的結果值，將這些控制點依次加入G，轉入(4)，直到滿足約束或超限區(qū)域全部控制點加入G。

3 實驗及結果分析

為驗證本文方法的正確性和有效性，筆者在MATLAB上進行仿真分析，在加工時間上和速度曲線的光順性方面，將所提算法與啟發(fā)式時間最優(yōu)算法進行比較；在加工時間上，與三角函數(shù)型加減速算法[12]進行比較。

所提算法與啟發(fā)式算法需要設置的參數(shù)如下：

B樣條曲線參數(shù)：曲線次數(shù)p=3，控制點數(shù)量n=201，節(jié)點向量采用準均勻的B樣條曲線進行生成；

啟發(fā)式算法：二分最大次數(shù)Ns=10，收縮因子Rf=0.68，結束迭代閾值為1，檢測步長0.000 1。

能量光順中，光順因子初始化為2×10-8，逼近因子初始化為9.8×10-7。得到進給速度后，插補方法使用二階泰勒展開法[13]，得到插補步數(shù)后，計算加工時間。

筆者在相同的數(shù)控加工參數(shù)下和相同的待加工軌跡上運行不同的算法。

數(shù)控加工參數(shù)如表1所示。

表1 數(shù)控加工參數(shù)

待加工蝴蝶形NURBS軌跡如圖1所示。

圖1 待加工蝴蝶形NURBS軌跡

3.1 規(guī)劃結果及約束情況分析

按以上參數(shù)，本文所提算法與時間最優(yōu)法規(guī)劃的進給速度對比如圖2所示。

圖2 所提算法與時間最優(yōu)法規(guī)劃的進給速度對比圖

圖2中，本文算法規(guī)劃的進給速度符合小于250 mm·s-1的約束，兩條曲線基本重合，說明保留了時間最優(yōu)性，但振蕩處進行了光順(詳見圖2中的放大處)。

所提算法與時間最優(yōu)法進給加速度對比如圖3所示。

圖3 所提算法與時間最優(yōu)法規(guī)劃的進給加速度對比圖

由圖3可知：本文所提算法的進給加速度符合小于800 mm·s-2的約束；且相比于時間最優(yōu)法，一些尖峰值減小，振蕩區(qū)域幅度也減小。

本文所提算法與時間最優(yōu)法進給加加速度對比如圖4所示。

圖4 所提算法與時間最優(yōu)法進給加加速度對比圖

由圖4可知：本文所提算法的進給加加速度符合小于26 400 mm·s-3的約束；且相比于時間最優(yōu)法，多處尖峰值明顯減小，振蕩區(qū)域幅度也減小。

本文所提算法與時間最優(yōu)法單軸加加速度對比如圖5所示。

圖5 所提算法與時間最優(yōu)規(guī)劃法單軸加加速度對比圖

由圖5可知：本文所提算法的單軸加加速度符合小于26 400 mm·s-3的約束，相比于時間最優(yōu)法，多處尖峰值明顯減小，振蕩區(qū)域幅度也減小；此外，弦高誤差、單軸速度、單軸加速度都符合表1約束。

結合圖(2～5)可知：本文所提算法通過平緩速度振蕩較大的區(qū)域而其他區(qū)域基本不變，使得相應的加速度、加加速度及單軸的加速度和加加速度振蕩幅度減小，從而降低了機床加工時的振動，且保留時間最優(yōu)性。

3.2 光順性與時間性分析

筆者使用加速度、加加速度的平均采樣步長改變量來表示振蕩程度，采樣步長0.000 1。

兩種算法單軸運動性質光順性對比如表2所示。

表2 兩種算法單軸運動性質光順性對比

由表2可知：與啟發(fā)式時間最優(yōu)法相比，本文所提算法的x、y軸加速度曲線的平均采樣步長改變量平均下降8.34%，x、y軸加加速度曲線的平均采樣步長改變量平均下降16.37%；由此可見，單軸運動性能的光順性得到了較大改善。

在蝴蝶形NURBS待加工軌跡上，不同算法加工時間如表3所示。

表3 不同算法加工時間對比表

由表3可知：本文算法比啟發(fā)式時間最優(yōu)規(guī)劃算法僅多用了0.22%的加工時間，比三角函數(shù)型加減速算法少了19.8%的加工時間；可見，經(jīng)本文的算法光順后，保留了大部分的時間最優(yōu)性。

4 結束語

本文對數(shù)控加工速度規(guī)劃的加工時間和加工質量的平衡問題，進行了時間最優(yōu)速度曲線的光順研究，提出了固定部分區(qū)域的光順算法，經(jīng)仿真實驗結果表明，在滿足速度規(guī)劃約束和保留大部分時間最優(yōu)性的前提下，可以實現(xiàn)進給速度曲線的光順；同時，可以減小加速度、加加速度及單軸相應性質的振蕩程度，有利于實現(xiàn)高速高精加工。

該算法中，目前對速度極小值區(qū)域的范圍界定方法簡單，因此，如何更精細地確定范圍以獲得更好的時間性和光順性，這是下一步需要進行的研究。同時，該方法還有待與其他的時間最優(yōu)性算法相結合；所面向的二維NURBS加工曲線還有待于向三維曲面加工方向進行拓展。