姜素霞，樊繼輝，耿盛濤，楊飛飛

（鄭州輕工業(yè)大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，鄭州 450002）

膜計(jì)算（membrane computing，MC）［1］是生物計(jì)算領(lǐng)域的1個(gè)重要分支，旨在從活細(xì)胞的結(jié)構(gòu)與機(jī)理，以及組織和器官等細(xì)胞群的協(xié)作中，抽象出新的計(jì)算模型和算法。經(jīng)過(guò)二十多年的快速發(fā)展，膜計(jì)算展現(xiàn)出了較好的計(jì)算性能和特點(diǎn)，如分布式、并行性、可擴(kuò)展性、可編程性等，取得了大量的理論及應(yīng)用研究成果。膜系統(tǒng)又叫P系統(tǒng)，是一種分布式并行計(jì)算模型，它主要有3種類型：類細(xì)胞P系統(tǒng)［2］、類組織P系統(tǒng)［3］和脈沖神經(jīng)P系統(tǒng)［4］。其中，脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)（spiking neural P systems，SNP）是受神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元之間利用脈沖傳遞和處理信息的生物現(xiàn)象啟發(fā)而提出的一種分布式并行計(jì)算模型。通常，脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)被看作1個(gè)有向圖，每個(gè)神經(jīng)元作為有向圖的節(jié)點(diǎn)，神經(jīng)元之間的突觸作為有向圖中的弧線。每個(gè)神經(jīng)元產(chǎn)生的脈沖通過(guò)突觸傳遞，并在一定時(shí)間延遲后到達(dá)目標(biāo)神經(jīng)元，從而實(shí)現(xiàn)神經(jīng)元之間的信息交互。每個(gè)神經(jīng)元中含有若干個(gè)激發(fā)規(guī)則和遺忘規(guī)則，每條規(guī)則的使用都會(huì)消耗1個(gè)時(shí)間單元，也稱為規(guī)則的運(yùn)行時(shí)間。因此，脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)內(nèi)部存在1個(gè)用于標(biāo)記計(jì)算過(guò)程中時(shí)間單元的全局時(shí)鐘，在1個(gè)時(shí)間單元內(nèi)，系統(tǒng)中任意神經(jīng)元內(nèi)部只要存在可以使用的規(guī)則，這些規(guī)則都將并行執(zhí)行。激發(fā)規(guī)則和遺忘規(guī)則的使用主要是通過(guò)檢查神經(jīng)元中脈沖數(shù)量是否滿足規(guī)則要求的正則表達(dá)式關(guān)聯(lián)的語(yǔ)言集合，最終系統(tǒng)以輸出神經(jīng)元輸出到環(huán)境中的前2個(gè)脈沖的時(shí)間間隔作為計(jì)算結(jié)果。

受不同生物特性或生物現(xiàn)象啟發(fā)，已經(jīng)提出了多種脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)變體。例如：作為任意自然數(shù)的產(chǎn)生與識(shí)別裝置的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)［5-6］，多數(shù)被證明是計(jì)算通用的；作為語(yǔ)言產(chǎn)生裝置的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)是計(jì)算通用的［7-9］；作為函數(shù)計(jì)算裝置的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)是計(jì)算通用的［10］，脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)還被證明是生成二進(jìn)制和字符串語(yǔ)言的強(qiáng)大計(jì)算裝置［11-12］。近年來(lái)，研究者又提出了結(jié)構(gòu)可塑的SNP系統(tǒng)［13］、類細(xì)胞的SNP系統(tǒng)［14］、請(qǐng)求應(yīng)答模式下的SNP系統(tǒng)［15］、脈沖耦合P系統(tǒng)［16］等具有新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)。除此之外，脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)在數(shù)學(xué)［17］、理論計(jì)算科學(xué)［18］、圖 像 處 理［19］、系 統(tǒng) 仿 真［20］、機(jī) 器 人 控制［21］、電力故障診斷［22，23］模型仿真［24］、解決NP完全問(wèn)題［25-26］等方面有著廣泛的應(yīng)用［27-28］。

2016年，吳庭芳等［29］提出了帶電荷的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱PSN P systems），該系統(tǒng)的規(guī)則控制機(jī)制不再通過(guò)檢查神經(jīng)元內(nèi)部的脈沖數(shù)量匹配正則表達(dá)式，而是通過(guò)判斷神經(jīng)元的帶電荷狀態(tài)（0，-，+）是否滿足當(dāng)前的格局轉(zhuǎn)換條件，只有滿足電荷條件時(shí)規(guī)則才能被觸發(fā)。帶電荷的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)中標(biāo)準(zhǔn)的脈沖規(guī)則形式記為α／ac→a；β，其中 α，β∈｛+，-，0｝，ac→a表示c個(gè)脈沖a被消耗，1個(gè)脈沖a被產(chǎn)生。文獻(xiàn)［29］證明了帶電荷的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)作為任意自然數(shù)的產(chǎn)生和接收裝置是計(jì)算通用的，并給出了具有164個(gè)神經(jīng)元的小通用計(jì)算函數(shù)裝置。

文獻(xiàn)［29］所構(gòu)造的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)，規(guī)則的運(yùn)行是在神經(jīng)元內(nèi)部執(zhí)行。受生物反射弧現(xiàn)象啟發(fā)，根據(jù)神經(jīng)元可以向相鄰神經(jīng)元傳遞不同極性的生物電荷脈沖，從而實(shí)現(xiàn)不同部位精準(zhǔn)動(dòng)作的生物特性，文獻(xiàn)［30］提出了突觸帶規(guī)則的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱SN-RS P systems）。因此，如果將突觸規(guī)則的運(yùn)行機(jī)制引入帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)中，通過(guò)利用神經(jīng)元所帶電荷極性來(lái)激發(fā)突觸上的規(guī)則運(yùn)行，就可以使神經(jīng)元內(nèi)部只保留激發(fā)物質(zhì)（脈沖），不再包含觸發(fā)規(guī)則。與文獻(xiàn)［29］相比，本文所構(gòu)造的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)在某一時(shí)刻神經(jīng)元只能向相鄰神經(jīng)元傳遞同一種極性電荷，系統(tǒng)運(yùn)行方式得以改進(jìn)，神經(jīng)元可以向相鄰神經(jīng)元傳遞不同極性能夠?qū)崿F(xiàn)。

本文將突觸上帶極性觸發(fā)的脈沖規(guī)則引入脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)，提出了一種基于突觸擴(kuò)展規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)（spiking neural P systems with polarizations and rules on synapses，PSNRSP）。該系統(tǒng)的突觸擴(kuò)展規(guī)則形式記為 α／ac→ap；β，其中c≥p，α，β∈｛+，-，0｝，ac→ap表示c個(gè)脈沖a被消耗，產(chǎn)生p個(gè)脈沖a。在PSNRS P系統(tǒng)中，以神經(jīng)元細(xì)胞所帶電荷狀態(tài)作為觸發(fā)方式的擴(kuò)展脈沖規(guī)則，被放置在神經(jīng)元的突觸上，而該規(guī)則的使用由神經(jīng)元中脈沖的個(gè)數(shù)和神經(jīng)元細(xì)胞的電荷狀態(tài)共同決定，不再檢查神經(jīng)元中的脈沖數(shù)目是否滿足正則表達(dá)式。本文證明了PSNRSP系統(tǒng)在產(chǎn)生模式和識(shí)別模式下可以計(jì)算任意圖靈可計(jì)算函數(shù)，具有與圖靈機(jī)等價(jià)的計(jì)算能力。該研究不僅簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)［29］的證明過(guò)程，減少了計(jì)算過(guò)程中因規(guī)則執(zhí)行方式造成的資源消耗，同時(shí)解決了文獻(xiàn)［29］所提到的一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。

1 基于突觸擴(kuò)展規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)

1個(gè)度為m（m≥1）的基于突觸擴(kuò)展規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)形式化定義為：

其中：

1）O＝｛a｝是1個(gè)字母表，符號(hào)a表示脈沖；

2）σ1，σ2，σ3，…，σm表示系統(tǒng)有m個(gè)神經(jīng)元，形式為：σi＝（αi，ni），1≤i≤m，其中：αi∈｛+，-，0｝，表示神經(jīng)元σi的初始電荷狀態(tài)；ni表示神經(jīng)元αi在初始格局時(shí)包含的脈沖數(shù)目；

3）syn∈｛1，2，3，…，m｝×｛1，2，3，…，m｝，表示神經(jīng)元上突觸的集合，每個(gè)突觸用1個(gè)二元組表示，形式為：（（i，j），R（i，j）），其中：（i，j）表示連接神經(jīng)元 σi和神經(jīng)元 σj的突觸，i，j∈｛1，2，3，…，m｝，i≠j；R（i，j）表示存在于突觸（i，j）上的規(guī)則集合，有以下2種形式：

① α／ac→ap；β（擴(kuò)展激發(fā)規(guī)則），其中c≥p，α，β∈｛+，-，0｝，α表示當(dāng)前神經(jīng)元擁有的極性電荷，β表示當(dāng)前神經(jīng)元發(fā)送到相鄰神經(jīng)元的極性電荷；

② α／ac→λ；β（遺忘規(guī)則），其中c≥1，α，β∈｛+，-，0｝，α表示當(dāng)前神經(jīng)元所帶電荷的極性，β表示當(dāng)前神經(jīng)元發(fā)送到相鄰神經(jīng)元的電荷極性；

4）in，out∈｛1，2，3，…，m｝，分別表示輸入神經(jīng)元σin和輸出神經(jīng)元σout。

在PSNRSP系統(tǒng)中，為了規(guī)則能夠正常使用，神經(jīng)元中的脈沖數(shù)量不能少于使用規(guī)則所消耗的脈沖數(shù)量。此外，當(dāng)遺忘規(guī)則可以使用時(shí)，神經(jīng)元會(huì)發(fā)送無(wú)用信號(hào)和電荷極性給相鄰神經(jīng)元。

擴(kuò)展激發(fā)規(guī)則的激發(fā)條件為：在某一時(shí)刻，如果神經(jīng)元σi包含k個(gè)脈沖并且?guī)в笑岭姾桑é痢剩?，-，0｝，k≥c），則規(guī)則 α／ac→ap；β被使用，此時(shí)神經(jīng)元σi內(nèi)消耗c個(gè)脈沖，產(chǎn)生p個(gè)脈沖，同時(shí)，p個(gè)脈沖和β電荷通過(guò)突觸通道（i，j）被發(fā)送給神經(jīng)元σj。

遺忘規(guī)則的激發(fā)條件為：在神經(jīng)元σi中至少存在c個(gè)脈沖，規(guī)則使用后，神經(jīng)元σi中的c個(gè)脈沖被移除，β電荷通過(guò)突觸通道（i，j）被發(fā)送給神經(jīng)元σj。需要注意的是，不同突觸上的規(guī)則使用彼此互不影響，神經(jīng)元所有突觸上的規(guī)則，根據(jù)規(guī)則形式可以發(fā)送不同的電荷到不同的相鄰神經(jīng)元。

特別指出：在1個(gè)時(shí)間單元，神經(jīng)元內(nèi)如果只有1條規(guī)則滿足使用條件，則該規(guī)則必須被使用；如果同時(shí)有多條規(guī)則都滿足使用條件，則從其中非確定地選擇1條使用。另外，系統(tǒng)中同1個(gè)突觸上的規(guī)則按照串行方式運(yùn)行，不同突觸上的規(guī)則按照并行方式運(yùn)行。當(dāng)從同1個(gè)神經(jīng)元發(fā)出的多個(gè)突觸上均帶有可以使用的規(guī)則時(shí)，所有規(guī)則使用時(shí)所消耗的脈沖都來(lái)自給定神經(jīng)元，即給定神經(jīng)元中的脈沖數(shù)量必須滿足所有可用規(guī)則的使用條件。

神經(jīng)元帶電荷狀態(tài)的變化條件為：

1）當(dāng)神經(jīng)元σi帶中性電荷（0），只收到1個(gè)負(fù)電荷（-）或者1個(gè)正電荷（+）時(shí)，神經(jīng)元σi的電荷相應(yīng)變成負(fù)電荷（-）或者正電荷（+）；當(dāng)接收的電荷是中性電荷（0）時(shí)，神經(jīng)元σi保持原有的電荷狀態(tài)。

2）當(dāng)神經(jīng)元σi帶中性電荷（0），收到2個(gè)不同神經(jīng)元發(fā)送的1個(gè)負(fù)電荷（-）和1個(gè)正電荷（+）時(shí)，神經(jīng)元σi保持原有的電荷狀態(tài)。

3）當(dāng)神經(jīng)元σi帶中性電荷（0），可以接收2個(gè)以上不同神經(jīng)元發(fā)送的不同電荷狀態(tài)。例如：當(dāng)神經(jīng)元σi同時(shí)從其他神經(jīng)元接收2個(gè)正電荷和1個(gè)負(fù)電荷時(shí)，2個(gè)正電荷會(huì)使神經(jīng)元帶正電荷，因?yàn)橥瑫r(shí)收到1個(gè)負(fù)電荷，所以神經(jīng)元σi仍保持原有的電荷狀態(tài)。

對(duì)于突觸上使用擴(kuò)展規(guī)則的帶電荷的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)，在某一時(shí)刻的格局定義為以下形式：＜C1／t1，C2／t2，…Cm／tm＞，其中，Ci表示神經(jīng)元 σi在此步所包含的脈沖個(gè)數(shù)，ti表示神經(jīng)元達(dá)到開(kāi)放狀態(tài)所需要的步數(shù)1≤i≤m。系統(tǒng)的初始格局表示為C0＝＜C1／0，C2／0，…Cm／0＞，系統(tǒng)從某1個(gè)格局Ci轉(zhuǎn)移到下1個(gè)格局Cj表示為Ci?Cj，這一過(guò)程被稱為系統(tǒng)的格局轉(zhuǎn)移。從初始格局開(kāi)始，所進(jìn)行的一系列格局轉(zhuǎn)移稱為系統(tǒng)∏的計(jì)算過(guò)程。當(dāng)系統(tǒng)從某1個(gè)格局轉(zhuǎn)移到1個(gè)無(wú)規(guī)則可用的格局時(shí)，表明計(jì)算停止。最終，以輸出到環(huán)境的前2個(gè)脈沖的時(shí)間間隔作為系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果。

為了清楚說(shuō)明本文所構(gòu)造的脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)的計(jì)算過(guò)程，下面構(gòu)造1個(gè)簡(jiǎn)單的突觸擴(kuò)展規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)，來(lái)產(chǎn)生集合｛2n+1｜n≥1｝中的任意自然數(shù)。

如圖1所示，該系統(tǒng)包含1、2、out等3個(gè)神經(jīng)元。初始狀態(tài)下，神經(jīng)元2帶正電荷，神經(jīng)元1和out帶中性電荷；神經(jīng)元1中含有2個(gè)脈沖，神經(jīng)元2和out中為空。假設(shè)初始時(shí)刻為t，此時(shí)只有神經(jīng)元1被激發(fā)，可以通過(guò)突觸（1，2）和（1，out）向相應(yīng)的神經(jīng)元發(fā)送脈沖。由圖1可知，突觸（1，2）上的2條規(guī)則觸發(fā)條件相同，非確定地選擇其中1條規(guī)則使用，該步消耗2個(gè)脈沖并發(fā)送2個(gè)脈沖和相應(yīng)的電荷極性給神經(jīng)元2；同步地，突觸（1，out）上的規(guī)則0／a2→a；-被激發(fā)，消耗2個(gè)脈沖并發(fā)送1個(gè)脈沖和1個(gè)負(fù)電荷給神經(jīng)元out。如果在第t時(shí)刻，突觸（1，2）上的規(guī)則0／a2→a2；+被使用，神經(jīng)元2中積累2個(gè)脈沖仍帶正電荷。下一時(shí)刻t+1，神經(jīng)元2通過(guò)使用突觸（2，out）上的規(guī)則+／a2→a2；+，將2個(gè)脈沖和1個(gè)正電荷送入神經(jīng)元out，此時(shí)1個(gè)正電荷遇到1個(gè)負(fù)電荷，神經(jīng)元out將變?yōu)橹行噪姾刹?個(gè)脈沖。在t+2時(shí)刻，神經(jīng)元out通過(guò)使用規(guī)則0／a3→a2；0，向環(huán)境輸出2個(gè)脈沖。值得注意的是，若突觸（1，2）上的規(guī)則0／a2→a2；+被重復(fù)使用，系統(tǒng)將每2個(gè)時(shí)間單元向環(huán)境發(fā)送2個(gè)脈沖。假設(shè)在t+2n+2時(shí)刻，突觸（1，2）上的規(guī)則0／a2→a2；-被使用，神經(jīng)元2收到2個(gè)脈沖并帶中性電荷；此外，在同一時(shí)刻，神經(jīng)元1發(fā)送1個(gè)脈沖給神經(jīng)元out。因此，在t+2n+3時(shí)刻，突觸（2，out）上只有規(guī)則0／a2→λ；0可以被使用，神經(jīng)元2中的脈沖被移除；同時(shí)，神經(jīng)元out帶負(fù)電荷，發(fā)送1個(gè)脈沖到環(huán)境中，計(jì)算停止。因此，這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的PSNRS P系統(tǒng)可生成（t+2n+3）-（t+2）中的任意一個(gè)自然數(shù)，即該系統(tǒng)可以產(chǎn)生｛2n+1｜n≥1｝所代表的任意自然數(shù)集合。

本文將突觸擴(kuò)展規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)所產(chǎn)生的任意自然數(shù)集族記為其中，符號(hào)syn表示突觸上帶擴(kuò)展規(guī)則，α∈｛2，acc｝表示系統(tǒng)的工作模式，∏2表示工作在產(chǎn)生模式，以輸出到環(huán)境中前2個(gè)脈沖的時(shí)間間隔作為計(jì)算結(jié)果；∏acc表示識(shí)別模式，以接收神經(jīng)元σin從環(huán)境接收脈沖總數(shù)為n作為計(jì)算結(jié)果。字母n表示每條突觸上存在的規(guī)則數(shù)不超過(guò)n條；字母m表示系統(tǒng)含有m個(gè)神經(jīng)元，當(dāng)神經(jīng)元的數(shù)目和突觸上的規(guī)則數(shù)沒(méi)有限制時(shí)，則用符號(hào)*代替。

2 產(chǎn)生模式下PSNRS P系統(tǒng)的計(jì)算通用性

本節(jié)構(gòu)造一個(gè)PSNRS P系統(tǒng)Π′，證明其作為產(chǎn)生數(shù)集的裝置是計(jì)算通用的，即可以產(chǎn)生圖靈可計(jì)算的自然數(shù)，方法是通過(guò)模擬注冊(cè)機(jī)。注冊(cè)機(jī)M由一個(gè)5元組構(gòu)成M＝（m，H，l0，lh，I），其中m為注冊(cè)機(jī)的個(gè)數(shù)，H表示指令標(biāo)簽的集合，l0表示開(kāi)始指令，lh表示停止指令，I表示指令集合。注冊(cè)機(jī)中的指令有3種形式：①加法指令（使注冊(cè)器r中存儲(chǔ)的數(shù)增加1，并轉(zhuǎn)下一指令）；② 減法指令（如果注冊(cè)器r非空，使注冊(cè)器r中存儲(chǔ)的數(shù)減1，并轉(zhuǎn)下一指令，如果注冊(cè)器為空，則直接轉(zhuǎn)另一不同的指令）；③ 停止指令（終止注冊(cè)機(jī)的計(jì)算，并將注冊(cè)器1中的數(shù)字作為計(jì)算結(jié)果）。特別規(guī)定：在計(jì)算停止時(shí)，除注冊(cè)器1以外的注冊(cè)器都為空，且注冊(cè)器1不執(zhí)行減法指令，即PSNRSP系統(tǒng)Π′用于模擬注冊(cè)器1的神經(jīng)元中脈沖數(shù)目不會(huì)減少。

證明：根據(jù)Turing-Church理論，僅需證明關(guān)系式成立。下面構(gòu)造PSNRS P系統(tǒng)Π′，用來(lái)模擬注冊(cè)機(jī)M。

系統(tǒng)Π′由加法模塊、減法模塊和停止模塊構(gòu)成。在各個(gè)模塊中，當(dāng)神經(jīng)元σr中增加2個(gè)脈沖時(shí)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)的注冊(cè)器r中增加1；同理，神經(jīng)元σr中減少2個(gè)脈沖時(shí)，相當(dāng)于對(duì)應(yīng)的注冊(cè)器r減1。當(dāng)停止模塊中的神經(jīng)元σlh激發(fā)時(shí)，系統(tǒng)停止，并以輸出神經(jīng)元σout向環(huán)境發(fā)送的前2個(gè)脈沖的時(shí)間間隔作為系統(tǒng)的輸出結(jié)果。

加法模塊如圖2所示，用于模擬加法指令li＝（ADD（r），lj，lk）。相當(dāng)于將注冊(cè)器r中的數(shù)值增加1，且非確定性選擇lj或lk作為下一時(shí)刻的執(zhí)行指令。

假設(shè)系統(tǒng)∏′在某時(shí)刻t，開(kāi)始模擬加法指令li，神經(jīng)元 σli從環(huán)境中接受2個(gè)脈沖，突觸（li，r）上的規(guī)則0／a2→a2；0激發(fā)，神經(jīng)元 σli發(fā)送2個(gè)脈沖和中性電荷到神經(jīng)元σr，意味著注冊(cè)器r加1。同時(shí)，突觸（li，C1）上的2條規(guī)則0／a2→a2；-和0／a2→a2；+將非確定性地選擇其中1條使用，下面分2種情況討論：

1）若規(guī)則0／a2→a2；-被使用，神經(jīng)元 σli發(fā)送2個(gè)脈沖和1個(gè)負(fù)電荷進(jìn)入神經(jīng)元C1。在t+1步，帶負(fù)電荷的神經(jīng)元C1中有2個(gè)脈沖，則突觸（C1，C2）上的規(guī)則-／a2→a2；0和突觸（C1，C5）上的規(guī)則-／a2→a2；-被激發(fā)，2個(gè)脈沖被分別發(fā)送到神經(jīng)元C2和C5中；不同的是帶正電荷的神經(jīng)元C5接收1個(gè)負(fù)電荷后，神經(jīng)元電荷變成中性，神經(jīng)元C2仍保持中性電荷。在t+2步，規(guī)則0／a2→a2；0被激發(fā)，2個(gè)脈沖沿著突觸（C5，lk）進(jìn)入到神經(jīng)元lk中，表示接下來(lái)執(zhí)行指令lk。同時(shí)，神經(jīng)元C2中2個(gè)脈沖通過(guò)突觸（C2，C5）上的遺忘規(guī)則+／a2→λ；+被移除，同時(shí)1個(gè)正電荷發(fā)送到神經(jīng)元C5，使神經(jīng)元C5恢復(fù)初始狀態(tài)。

2）若規(guī)則0／a2→a2；+被使用，神經(jīng)元 σli發(fā)送2個(gè)脈沖和1個(gè)正電荷進(jìn)入神經(jīng)元C1。在t+1步，通過(guò)使用規(guī)則+／a2→a2；+，神經(jīng)元C4接收1個(gè)正電荷和2個(gè)脈沖，電荷狀態(tài)變?yōu)橹行裕煌瑫r(shí)，神經(jīng)元C3接收1個(gè)中性電荷和2個(gè)脈沖，仍保持中性電荷。在t+2步，神經(jīng)元C4通過(guò)使用突觸（C4，lj）上的激發(fā)規(guī)則0／a2→a2；0，神經(jīng)元lj接收到2個(gè)脈沖，表示接下來(lái)執(zhí)行指令lj。同時(shí)，神經(jīng)元C3通過(guò)使用突觸（C3，C4）上的遺忘規(guī)則-／a2→λ；-，2個(gè)脈沖被移除，并發(fā)送1個(gè)負(fù)電荷給神經(jīng)元C4，使C4的電荷狀態(tài)恢復(fù)為初始狀態(tài)。

綜上可知，加法模塊能正確模擬注冊(cè)機(jī)的加法指令li＝（ADD（r），lj，lk），將注冊(cè)器r中的脈沖數(shù)目增加1，并且非確定性地選擇執(zhí)行l(wèi)j或lk指令。

減法模塊如圖3所示，用于模擬減法指令li＝（SUB（r），lj，lk）。減法指令中，注冊(cè)器中的數(shù)值有空和非空等2種狀態(tài)，如果注冊(cè)器r中的數(shù)值不為空，則將其減去1，執(zhí)行指令lj，否則直接執(zhí)行指令lk。

假設(shè)系統(tǒng)Π′在某一時(shí)刻t，從環(huán)境中接收到2個(gè)脈沖，神經(jīng)元σli通過(guò)相應(yīng)的突觸規(guī)則分別向神經(jīng)元C1，r，C2發(fā)送1個(gè)脈沖，此刻C1，C2的電荷狀態(tài)保持不變，但是神經(jīng)元r接收到1個(gè)正電荷從而帶正電。在減法模塊中，注冊(cè)器r中的數(shù)值對(duì)應(yīng)神經(jīng)元r中的脈沖數(shù)2n（n＝0orn≥1），根據(jù)神經(jīng)元r中的脈沖數(shù)不同，有以下2種不同的運(yùn)算過(guò)程：

1）當(dāng)神經(jīng)元r中脈沖數(shù)量為非空時(shí)2n（n≥1），在t+1時(shí)刻，神經(jīng)元r為正電荷，突觸（r，C3）上的激發(fā)規(guī)則+／a3→λ；+被使用，則神經(jīng)元r中的3個(gè)脈沖被移除（相當(dāng)于注冊(cè)器r中的數(shù)值減1）。同時(shí)由于突觸（C1，r）上的規(guī)則-／a→λ；-也被激發(fā)，神經(jīng)元r又接收到1個(gè)負(fù)電荷，從而變?yōu)橹行噪姾?；同一時(shí)刻，在突觸（C2，C3）上的規(guī)則+／a→a；-被使用，神經(jīng)元C3接收1個(gè)負(fù)電荷和正電荷，仍保持中性電荷，并包含1個(gè)脈沖；突觸（r，C4）上的激發(fā)規(guī)則+／a3→a2；+被使用，神經(jīng)元r發(fā)送2個(gè)脈沖和1個(gè)正電荷給神經(jīng)元C4；在t+2時(shí)刻，神經(jīng)元C4中含有2個(gè)脈沖，突觸（C4，lj）上的規(guī)則+／a2→a；0被激發(fā)，神經(jīng)元lj接收到1個(gè)脈沖和1個(gè)中性電荷；同一時(shí)刻，突觸（C3，lj）上的規(guī)則0／a→a；0被使用，神經(jīng)元C3中的1個(gè)脈沖被消耗，神經(jīng)元lj接收到1個(gè)脈沖。因此，神經(jīng)元lj中含有2個(gè)脈沖，下一步將執(zhí)行指令lj。

2）當(dāng)神經(jīng)元r中脈沖數(shù)量為空時(shí)2n（n＝0），在t+1時(shí)刻，突觸（C1，r）上的規(guī)則-／a→λ；-被使用，神經(jīng)元接收1個(gè)負(fù)電荷，其電荷狀態(tài)變?yōu)橹行?。同時(shí)，突觸（C2，C3）上的規(guī)則+／a→a；-被使用，神經(jīng)元C3接收到1個(gè)脈沖和1個(gè)負(fù)電荷，從而帶負(fù)電；在t+2時(shí)刻，突觸（C3，C5）上的規(guī)則-／a→a；-被使用，神經(jīng)元C3發(fā)送1個(gè)脈沖和1個(gè)負(fù)電荷給神經(jīng)元C5，神經(jīng)元C5的電荷狀態(tài)仍為負(fù)；在t+3時(shí)刻，神經(jīng)元C5含有1個(gè)脈沖并帶負(fù)電荷，突觸（C5，r）上的規(guī)則-／a→a；-和突觸（C5，C6）上的規(guī)則-／a→a；+均被激發(fā)，神經(jīng)元r接收到1個(gè)脈沖和1個(gè)負(fù)電荷，從而含有2個(gè)脈沖并帶負(fù)電荷，神經(jīng)元C6接收到1個(gè)脈沖和1個(gè)正電荷，電荷狀態(tài)保持不變；在t+4時(shí)刻，神經(jīng)元r中含有2個(gè)脈沖，突觸（r，C7）上的規(guī)則-／a2→a2；-被激發(fā)，神經(jīng)元發(fā)送2個(gè)脈沖和1個(gè)負(fù)電荷給神經(jīng)元C7。此刻，突觸（C6，C3）上的規(guī)則+／a→λ；+和（C6，r）上的規(guī)則+／a→λ；+均可以使用，神經(jīng)元C6中的1個(gè)脈沖被消耗，并分別向神經(jīng)元C3和r發(fā)送1個(gè)正電荷，使神經(jīng)元C3和r的電荷恢復(fù)初始狀態(tài)；在t+5時(shí)刻，規(guī)則-／a2→a2；0被激發(fā)，2個(gè)脈沖沿突觸（C7，lk）進(jìn)入神經(jīng)元lk，表示下一步將執(zhí)行指令lk。

因此，減法模塊能正確模擬注冊(cè)機(jī)的減法指令li＝（SUB（r），lj，lk）。

停止模塊如圖4所示，主要用于停止計(jì)算并輸出計(jì)算結(jié)果，計(jì)算結(jié)果儲(chǔ)存在注冊(cè)器1中，并且注冊(cè)器1與減法指令無(wú)關(guān)。

假設(shè)系統(tǒng)Π′在某一時(shí)刻t，神經(jīng)元從環(huán)境接收到2個(gè)脈沖，執(zhí)行停止指令lh＝HALT。神經(jīng)元lh分別向神經(jīng)元C1，C2和神經(jīng)元1發(fā)送1個(gè)脈沖，神經(jīng)元C2接收1個(gè)中性電荷，神經(jīng)元C1和神經(jīng)元1各自接收1個(gè)正電荷。在t+1時(shí)刻，突觸（C2，C3）上的規(guī)則0／a→a；0被激發(fā)，神經(jīng)元C3接收1個(gè)脈沖，電荷狀態(tài)保持不變。此刻，神經(jīng)元1中包含2n+1（n≥1）個(gè)脈沖，突觸（1，C1）和（1，C4）上的規(guī)則+／a3→a；+被激發(fā)，神經(jīng)元1中的3個(gè)脈沖被消耗，產(chǎn)生1個(gè)脈沖分別發(fā)送給神經(jīng)元C1和C4，神經(jīng)元C1和C4的電荷狀態(tài)維持不變。同時(shí)，突觸（C1，1）上的規(guī)則+／a→a；0和突觸（C1，C4）上的規(guī)則+／a→a；-也被激發(fā)，神經(jīng)元C1分別給神經(jīng)元1和C4發(fā)送1個(gè)脈沖，神經(jīng)元1電荷狀態(tài)保持不變，神經(jīng)元C4因收到1個(gè)負(fù)電荷而變?yōu)橹行?；在t+2時(shí)刻，神經(jīng)元C4含有2個(gè)脈沖帶中性電荷，通過(guò)使用突觸（C4，C5）上的規(guī)則0／a2→λ；0，神經(jīng)元C4中的2個(gè)脈沖被移除。同時(shí)，突觸（C3，out）上的規(guī)則0／a→a；0被使用，神經(jīng)元out接收到1個(gè)脈沖，電荷狀態(tài)保持不變；在t+3時(shí)刻，由于神經(jīng)元out中含有1個(gè)脈沖，規(guī)則0／a→a；0被激發(fā)，第一個(gè)脈沖被發(fā)送到環(huán)境。需要注意的是，突觸（1，C1）和（C1，1）上的規(guī)則在每一個(gè)時(shí)間單元都會(huì)被使用，直到t+n時(shí)刻，神經(jīng)元1中最后的2個(gè)脈沖被消耗。在t+n+1時(shí)刻，神經(jīng)元C1發(fā)送1個(gè)脈沖和1個(gè)負(fù)電荷到神經(jīng)元C4；在t+n+2時(shí)刻，C4可通過(guò)使用規(guī)則-／a→a；0分別向神經(jīng)元C5和out發(fā)送1個(gè)脈沖；在t+n+3時(shí)刻，神經(jīng)元C5通過(guò)使用規(guī)則0／a→λ；-分別向神經(jīng)元和C1發(fā)送1個(gè)負(fù)電荷，使神經(jīng)元和C1的電荷狀態(tài)恢復(fù)初始狀態(tài)。同時(shí)，神經(jīng)元out可以通過(guò)使用規(guī)則0／a→a；0發(fā)送第二個(gè)脈沖到環(huán)境中。因此，系統(tǒng)向環(huán)境發(fā)送2次脈沖的時(shí)間間隔為（t+n+3）-（n+3）＝n，這個(gè)數(shù)正好等于注冊(cè)機(jī)M停止時(shí)注冊(cè)器1中存儲(chǔ)的數(shù)。

綜上所述，PSNRS P系統(tǒng)Π′能夠正確地模擬注冊(cè)機(jī)M，即N2（Π′）＝N（M），定理1得證。在定理1的證明過(guò)程中，系統(tǒng)Π′在產(chǎn)生模式下總共使用了173個(gè)神經(jīng)元。

3 識(shí)別模式下PSNRSP系統(tǒng)的計(jì)算通用性

工作在識(shí)別模式下的PSNRSP系統(tǒng)增加了用于接收來(lái)自環(huán)境脈沖的輸入模塊，取消了停止模塊。當(dāng)輸入模塊從環(huán)境中接收到前2個(gè)脈沖的時(shí)間間隔為n時(shí)，數(shù)n作為系統(tǒng)計(jì)算的結(jié)果。

證明：根據(jù)Turing-Church理論，僅需證明關(guān)系式成立。下面構(gòu)造PSNRS P系統(tǒng)Π″，用來(lái)模擬注冊(cè)機(jī)M，包括輸入模塊、加法模塊和減法模塊，其中減法模塊與產(chǎn)生模式下的減法模塊原理相同，這里不再累述。

輸入模塊如圖5所示。在初始時(shí)刻，輸入模塊中所有神經(jīng)元都為空。假設(shè)在t時(shí)刻，神經(jīng)元in接收來(lái)自環(huán)境的第一個(gè)脈沖，神經(jīng)元in被激活，分別向神經(jīng)元in1，in3，in4，in5，in6發(fā)送1個(gè)脈沖，神經(jīng)元in5和in6接收負(fù)電荷而帶負(fù)電，其他神經(jīng)元保持原有電荷狀態(tài)不變。在t+1時(shí)刻，神經(jīng)元in1使用規(guī)則0／a→a；0，通過(guò)突觸（in1，in2）發(fā)送1個(gè)脈沖到神經(jīng)元in2。同時(shí)，神經(jīng)元in5和in6相互連接的突觸規(guī)則-／a→a；0都將被激發(fā)，并且突觸（in5，1）和（in6，1）上的規(guī)則-／a→a；0被使用，神經(jīng)元接收2個(gè)脈沖；從t+1時(shí)刻開(kāi)始，神經(jīng)元in5和in6在每一個(gè)時(shí)間單元內(nèi)互換1個(gè)脈沖，神經(jīng)元1在每一個(gè)時(shí)間單元內(nèi)接接收2個(gè)脈沖，意味著注冊(cè)器1在每個(gè)時(shí)間單元增加數(shù)1。直到t+n-1時(shí)刻，神經(jīng)元in接收來(lái)自環(huán)境的第2個(gè)脈沖，神經(jīng)元in發(fā)送第2個(gè)脈沖到神經(jīng)元in1，in3，in4，in5，in6中。在t+n時(shí)刻，神經(jīng)元in3，in4使用突觸（in3，in5）和（in4，in6）上的規(guī)則+／a2→λ；+，分別向神經(jīng)元in5，in6發(fā)送1個(gè)正電荷，神經(jīng)元in5，in6帶的負(fù)電荷遇到正電荷后，神經(jīng)元in5和in6帶中性電荷。值得注意的是，在t+n時(shí)刻，神經(jīng)元1仍接收2個(gè)脈沖，最終神經(jīng)元1積累2n個(gè)脈沖，對(duì)應(yīng)注冊(cè)器1存儲(chǔ)數(shù)n；在同一時(shí)間單元，神經(jīng)元in1使用突觸規(guī)則0／a→a；0沿著突觸（in1，in2）發(fā)送1個(gè)脈沖到神經(jīng)元in2。在t+n+1時(shí)刻，神經(jīng)元in5，in6中的2個(gè)脈沖通過(guò)規(guī)則0／a2→λ；0的使用被移除；此外，在同一時(shí)刻神經(jīng)元in2發(fā)送第2個(gè)脈沖到神經(jīng)元l0，意味著開(kāi)始模擬注冊(cè)機(jī)M的l0指令。

相較于產(chǎn)生模式，接收模式下的加法指令更簡(jiǎn)單，即確定性指令li＝（ADD（r），lj），如圖6所示。

接收模式下系統(tǒng)Π″的減法模塊與產(chǎn)生模式下的減法模塊相同。停止模塊被移除，只保留了一個(gè)沒(méi)有任何規(guī)則可用的神經(jīng)元lh。當(dāng)注冊(cè)機(jī)M執(zhí)行指令lh時(shí)，表示模擬注冊(cè)機(jī)M結(jié)束，系統(tǒng)Π″停止運(yùn)行。定理2得證。在定理2的證明過(guò)程中，系統(tǒng)Π″在識(shí)別模式下總共使用了129個(gè)神經(jīng)元。

4 結(jié)論

本文提出了一種新型脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)變體“基于突觸上帶擴(kuò)展規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)”。研究了該系統(tǒng)工作在產(chǎn)生模式和識(shí)別模式下的計(jì)算通用性問(wèn)題。具體地，在產(chǎn)生模式下構(gòu)造了含有173個(gè)神經(jīng)元的PSNRSP系統(tǒng)Π′，證明了該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生任何圖靈可計(jì)算自然數(shù)集合；進(jìn)一步，在識(shí)別模式下構(gòu)造了含有129個(gè)神經(jīng)元的PSNRSP系統(tǒng)Π″，證明其具有與圖靈機(jī)等價(jià)的計(jì)算能力。

本文所構(gòu)造的基于突觸擴(kuò)展規(guī)則的通用帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)使用的是擴(kuò)展規(guī)則。如果使用標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則，基于突觸規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)的計(jì)算通用性也值得進(jìn)一步研究。此外，構(gòu)造相應(yīng)的基于突觸規(guī)則的帶電荷脈沖神經(jīng)膜系統(tǒng)作為語(yǔ)言產(chǎn)生裝置，或者考慮系統(tǒng)工作在異步或局部同步的方式下，系統(tǒng)的計(jì)算通用性問(wèn)題，都是需要繼續(xù)研究和探討的問(wèn)題。