陸軍步兵學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室 江西 南昌 330100

一、引言

將高等數(shù)學(xué)[1]與文獻(xiàn)[5]進(jìn)行比較,不難發(fā)現(xiàn)兩者關(guān)于此內(nèi)容首先在編輯上不一樣,前者關(guān)于此極限出現(xiàn)于第一章第六節(jié),置于無(wú)窮小的比較之前,而文獻(xiàn)[5]則將該內(nèi)容編輯于第三章連續(xù)函數(shù)章節(jié)的附錄之中,位于無(wú)窮小的比較之后.此外,高等數(shù)學(xué)中僅有兩種形式的重要極限,而文獻(xiàn)[5]中將其他幾種極限統(tǒng)稱為“幾個(gè)重要極限”.根據(jù)現(xiàn)有掌握的資料來(lái)看,“重要極限”的概念出現(xiàn)于我國(guó)出版較早的一些數(shù)學(xué)教材中,而國(guó)外相關(guān)數(shù)學(xué)教材則鮮有此概念,由此可以推測(cè)“重要極限”的概念應(yīng)該是基于教學(xué)的需要而被提出.

二、證明過(guò)程的思考

如果考慮學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),我們可以通過(guò)構(gòu)造新函數(shù),再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)該不等式的證明.該證明方法初看之下的確存在一定的合理性,相對(duì)已有證明也較為簡(jiǎn)單,但是此種方法依然忽視了教材的知識(shí)體系問(wèn)題,出現(xiàn)了應(yīng)用未知概念進(jìn)行證明的情況.如果離開幾何的幫助僅僅憑借代數(shù)領(lǐng)域的初等方法,很難完成對(duì)不等式sinx≤x≤tanx的證明.證明的困難不僅僅是技術(shù)方法的問(wèn)題,更多是源于函數(shù)f(x)=x與函數(shù)g(x)=sinx,h(x)=tanx之間線性函數(shù)與非線性函數(shù)本質(zhì)的不同.由于g(x)=sinx,h(x)=tanx的非線性性給三者間大小的比較帶來(lái)了極大的困難.這也導(dǎo)致在現(xiàn)有相關(guān)證明中三角函數(shù)采用的是弧度制而不是角度制,否則會(huì)帶來(lái)較為繁雜的結(jié)果.如果聯(lián)系后續(xù)微分學(xué)知識(shí),其實(shí)該極限也體現(xiàn)了在自變量較小變化情況下,用線性函數(shù)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性表示,從而實(shí)現(xiàn)形式和計(jì)算的簡(jiǎn)化.這也是高等數(shù)學(xué)為什么要采用幾何證明而非代數(shù)證明的原因,當(dāng)然,從某個(gè)角度來(lái)看,現(xiàn)有證明不僅較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,更重要的是證明過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系性,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的整體性.

三、重要極限的重要性

數(shù)學(xué),尤其是高等數(shù)學(xué)不應(yīng)該僅僅是數(shù)學(xué)計(jì)算的學(xué)習(xí),更應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)和欣賞.對(duì)于教材中的編排、概念都需要教師深入思考把握背后的深層次的東西.

致謝

作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn)。