楊淑英

（山東女子學(xué)院，山東 濟(jì)南 250300）

一、學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

（一）教材狀況

目前的線代教材大多數(shù)都是基于考研寫的教材，內(nèi)容篇理論，抽象，題目偏應(yīng)試，不太注重形象理解和理論的應(yīng)用，還有些教材的擴(kuò)充材料里有些簡單有趣的例子的因應(yīng)用以及matlab 實(shí)現(xiàn)，還有些教材使用二維碼的視頻教學(xué)，而這些都改變不了線代理論抽象和枯燥的事實(shí)。

（二）學(xué)生學(xué)習(xí)興趣：

不管是高年級學(xué)習(xí)過的學(xué)生的了解還是目前學(xué)生學(xué)習(xí)的情況了解，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣僅僅體現(xiàn)在考試和做題上。從學(xué)習(xí)的效果上看，對線代的了解僅僅是幾種題目的算法，對線代的本質(zhì)理解的不夠。

二、線代學(xué)習(xí)的核心

從知識的運(yùn)用的角度，知識融合的角度，學(xué)以致用不是空話，作為基礎(chǔ)課線性代數(shù)，在飛速發(fā)展的今天也應(yīng)該有很多的應(yīng)用，這些都是學(xué)生應(yīng)該了解的。

對知識理解本身的渴求，從哪里來的，必須是從它的發(fā)展的過程來看，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)是開放的，是容錯(cuò)的，是形象的是有實(shí)際背景的。線代從生活中來，到生活中去。

線代的學(xué)習(xí)首先要了解從哪里來，然后了解理論本身，然后才是應(yīng)用，缺一不可。

三、線代的教學(xué)改革

在這樣的背景下，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，不管是從知識的來源，理論本身，還是最終的應(yīng)用過程，都需要很好的引導(dǎo)和疏通，所以課堂教學(xué)應(yīng)該是教學(xué)的主戰(zhàn)場，是教育的關(guān)鍵。課下的反思和討論也是學(xué)習(xí)很好的補(bǔ)充，下面從課堂教學(xué)和課下討論兩個(gè)方面來談?wù)n程的改革。

（一）課堂教學(xué)

首先是講解思路改革：把整個(gè)線代的內(nèi)容做成四個(gè)專題，第一個(gè)專題為線性方程組的求解，可以作為整個(gè)線代的基礎(chǔ)，第二個(gè)專題為線性變換，作為了解矩陣的特性，價(jià)值和作用，重在理解線性代數(shù)里的輸入和輸出；第三個(gè)專題為行列式，找到前面兩個(gè)內(nèi)容的結(jié)合點(diǎn)，得到另外的解釋；第四個(gè)專題為矩陣特征值的應(yīng)用，重在應(yīng)用；

第一個(gè)專題為線性方程組的求解和線性方程組解的結(jié)構(gòu)：首先是線性方程組的求解，通過線性方程組的高斯消元法引入矩陣行初等變換的概念，把高斯消元的求解過程轉(zhuǎn)化矩陣的初等變換，從矩陣的行階梯型觀察解的情況，從行最簡形寫出與其同解方程的最簡單形式；其次鑒于解作為向量，考慮向量的線性表示和線性無關(guān)性的概念，并轉(zhuǎn)化為前面的線性方程組的求解問題；再次，介紹線性空間的概念，通過極大無關(guān)組建立線性空間的基和維數(shù)的概念，說明張成空間、列空間、齊次線性方程組的解空間都是線性空間，并可以找到它們的基，構(gòu)建齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，通過維數(shù)概念把幾個(gè)空間聯(lián)系起來；最后，找到非齊次線性方程組的解和齊次線性方程組的解的關(guān)系，從而得到非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)！

整個(gè)專題以求解線性方程組為主線，為了更好了解解的結(jié)構(gòu)問題，引入線性空間，為了把線性空間的結(jié)構(gòu)搞清楚，引入線性相關(guān)、線性表示，為了把求解過程及結(jié)果敘述清楚，引入了矩陣的初等變換，矩陣的秩的概念。整個(gè)過程讓學(xué)生感受到一條清晰的主線，明白各種概念脈絡(luò)，并能把這些概念用于表述問題，建立起知識體系。

第二個(gè)專題為線性變換：首先介紹線性變換，如果把線性變換看成函數(shù)的話，那么就有輸入和輸出，定義矩陣乘以向量，證明線性變換都可以寫成以為輸入以為輸出的函數(shù)；其次從線性變換的角度理解矩陣，旋轉(zhuǎn)矩陣，投影矩陣，放縮矩陣，傾斜矩陣，反射矩陣，恒等矩陣等等；最后定義矩陣的乘法，從不同的角度理解矩陣相乘的含義，進(jìn)而定義矩陣的逆，利用初等變換和矩陣乘以初等矩陣的關(guān)系求解矩陣的逆。

這個(gè)專題主線是通過線性變換的角度理解各種矩陣的運(yùn)算，解釋各種運(yùn)算的意義。專題的重點(diǎn)和難點(diǎn)是矩陣的乘法和矩陣的逆的運(yùn)算，從特殊的矩陣出發(fā)增加對矩陣的逆的感性認(rèn)識，從一些實(shí)際的例子出發(fā)增加對矩陣的乘法的感性認(rèn)識。

第三個(gè)專題為行列式：首先給出行列式的遞推定義和行列式的性質(zhì)，通過這兩個(gè)方法計(jì)算行列式；其次，說明行列式的幾何意義，行列式在線性變換引起的度量的變化；最后，說明行列式和矩陣可逆的關(guān)系，行列式和線性方程組的關(guān)系，進(jìn)而得到行列式和向量的相關(guān)性的關(guān)系。

這個(gè)專題的基礎(chǔ)是行列式的計(jì)算，通過行列式把前面的矩陣的秩，線性方程的求解，線性相關(guān)性等問題做另外的解釋。對前面兩個(gè)專題的內(nèi)容有個(gè)很好的統(tǒng)一。

第四個(gè)專題為矩陣的特征值的應(yīng)用：首先給出矩陣特征值的概念和幾何解釋，以及計(jì)算方法，并簡單介紹特征值的計(jì)算機(jī)算法；其次，從線性變換的角度理解矩陣的對角化中特征向量和特征值起到的作用，最后，建立二次型的標(biāo)準(zhǔn)化和矩陣的特征值、特征向量之間的關(guān)系！

這個(gè)專題從線性變換的角度出發(fā)，圍繞二次型的標(biāo)準(zhǔn)化這個(gè)主題展開，解決了二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的問題，對于線性無關(guān)向量組的正交化的過程可以作為一個(gè)小的子專題講授。

其次是講課的要點(diǎn)：首先注重概念闡述的形象化，突出幾何解釋，讓學(xué)生形成對線性代數(shù)的形象認(rèn)識；其次，注意算法推理過程中的思考，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)完成推理過程，形成自己的思考體系，注重概念的符號表達(dá)，讓學(xué)生能夠自己進(jìn)行獨(dú)立準(zhǔn)確推理和思考；最后，布置的課后題目能夠引起學(xué)生的主動(dòng)嘗試和思考，形成自己的理解。注意同一個(gè)問題的不同理解和闡述。

最后是學(xué)生的思與做：注重結(jié)合學(xué)生以前的知識，構(gòu)建聯(lián)系和共鳴，注意學(xué)生的不同做法，鼓勵(lì)學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號表達(dá)自己的想法，用自己的專業(yè)背景出發(fā)理解問題。主線介紹內(nèi)容，重點(diǎn)是讓學(xué)生形成知識體系。

（二）課堂教學(xué)的補(bǔ)充

除了主線教授之外，把一些內(nèi)容的擴(kuò)展和延申，設(shè)計(jì)成思考題，提供給學(xué)生基本的知識，指定教學(xué)內(nèi)容通過學(xué)生課下討論，然后通過課上解答的方式講解。

比如矩陣方程的求解問題，向量組的等價(jià)問題，已知一組向量的線性相關(guān)性，考慮由它線性表示的一組向量的線性相關(guān)性，矩陣的冪運(yùn)算以及圖形的旋轉(zhuǎn)和平移等等

四、線代內(nèi)容改革的幾個(gè)特例：

1.矩陣的乘法：矩陣的乘法是個(gè)難點(diǎn)也是重點(diǎn)，一般的講解思路為首先給出乘法的定義，學(xué)生練習(xí)，然后講解先前的線性方程組可以寫成矩陣的形式。而我們先給出矩陣乘以一個(gè)向量的定義，可以從學(xué)生對以前點(diǎn)乘的角度理解，也可以從向量的線性表示的角度理解，還可以從線性變換的角度理解，都是在原來的知識基礎(chǔ)上的理解，然后再把矩陣相乘定義為矩陣乘以向量，這樣由易到難，由形象到抽象，化解知識的難度，增加知識的前后聯(lián)系，增加知識的廣度，另外課后題的布置上可體現(xiàn)循環(huán)比賽的成績排名這樣的例子引起學(xué)生對這個(gè)乘法的興趣和深度理解，教學(xué)的重點(diǎn)除了計(jì)算還有更多的對乘法的感性認(rèn)識。

2.矩陣的秩：一般的矩陣的秩是通過k 階子式的定義給出的，通過初等變換化成階梯型矩陣，通過初等變換不改變矩陣的秩的事實(shí)，從階梯型矩陣看到矩陣的秩為階梯型矩陣的非零行的行數(shù)。這種講解思路，對于習(xí)慣了理性思考以及理論推導(dǎo)的數(shù)學(xué)系同學(xué)們來說不是難事，但是對于偏向感性思維的同學(xué)們來說，這種對秩的理解完全變成了一種記憶，沒有太多的感性認(rèn)識，而我們的這個(gè)講解過程，從線性方程組的求解出發(fā)，求解過程為初等變換，這樣再求解線性方程組中積累了太多對秩的感性認(rèn)識，因此得到列秩、行秩的概念就是自然而然的了，定義行秩和列秩為矩陣的秩也就順理成章了。在行列式中，我們把秩的概念用另外的方式闡述，對起到知識的融匯貫通的目的并能夠更好的理解了三秩合一。