張曉芳， 董穎濤， 韓修靜， 畢勤勝

(江蘇大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

自1963 年三維 Lorenz系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象被揭示以來[1-3]，混沌及其機(jī)理的研究一直是學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注的課題之一[4-6]。各類不同的混沌系統(tǒng)，如Rossler振子[7-8]、Chen系統(tǒng)[9-12]、蔡氏電路[13-15]等紛紛被建立起來?；陔p翼混沌吸引子的Lorenz混沌系統(tǒng)，Sara Dadras等通過改變該系統(tǒng)的非線性結(jié)構(gòu)，其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[16]為

(1)

得到了一類由倍周期分岔導(dǎo)致的新型四翼混沌吸引子[17-18]，該數(shù)學(xué)模型可通過EWB軟件設(shè)計(jì)的電子振蕩電路實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，在該電路的基礎(chǔ)上通過引入兩頻率不同的周期電流源，使混沌系統(tǒng)進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以達(dá)到控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的目的[19-20]。

迄今為止，相關(guān)工作大都是圍繞常規(guī)激勵(lì)頻率開展的，并著重考察了不同共振形式下的解特性，而當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率之間存在量級(jí)差距時(shí)，會(huì)產(chǎn)生不同尺度的耦合效應(yīng)[21-22]，導(dǎo)致一種特殊的振蕩行為，也即系統(tǒng)的狀態(tài)變量會(huì)在大幅振蕩和微幅振蕩之間來回轉(zhuǎn)換的簇發(fā)振蕩。簇發(fā)振蕩在許多工程及科學(xué)問題中都有所涉及，其中生物神經(jīng)元在外部刺激作用下信息的傳遞和交換是一種典型的簇發(fā)振蕩形式[23-25]。

為揭示這種特殊振蕩的產(chǎn)生機(jī)制，Rinzel提出了快慢分析法，也即將系統(tǒng)視為快慢子系統(tǒng)的耦合，通過分析快子系統(tǒng)的分岔及慢子系統(tǒng)的調(diào)節(jié)行為，得到各種簇發(fā)振蕩機(jī)理[26-29]。該方法對于自治快慢耦合系統(tǒng)非常有效，基于該方法，Izhikivich[30]總結(jié)了一快一慢和兩快一慢耦合系統(tǒng)中幾乎所有簇發(fā)振蕩的模式，并提出了按照沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)轉(zhuǎn)換時(shí)的分岔將簇發(fā)振蕩分類的方法。

而對于周期激勵(lì)系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，由于沒有明顯的快慢子系統(tǒng)，不能直接應(yīng)用Rinzel的快慢分析法。為此，本課題組拓展了該方法，也即將整個(gè)周期激勵(lì)項(xiàng)視為慢變參數(shù)，并相應(yīng)組成慢子系統(tǒng)，而原系統(tǒng)則轉(zhuǎn)換為廣義自治系統(tǒng)，構(gòu)成快子系統(tǒng)[31-32]?；谶@一思想，得到了單周期外激和參激下各種振子中不同的新型簇發(fā)振蕩模式及其機(jī)理。

在相關(guān)工作的基礎(chǔ)上，本文將進(jìn)一步考察兩種周期激勵(lì)，也即參外聯(lián)合激勵(lì)下系統(tǒng)的兩尺度耦合效應(yīng)，以Sara Dadras的四翼混沌吸引子為例，重點(diǎn)探討當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，兩激勵(lì)頻率形成不同共振關(guān)系及共振關(guān)系受擾動(dòng)情形下系統(tǒng)的動(dòng)力行為，揭示各種不同簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)制及其相互演化的規(guī)律。

1 嚴(yán)格共振下的分岔分析

在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上，同時(shí)引入周期激勵(lì)和參數(shù)激勵(lì)，得到了三維非自治系統(tǒng)

(2)

式中，wi=Aicos(ωit)(i=1,2)分別為系統(tǒng)的參數(shù)激勵(lì)和周期外激勵(lì)，Ai(i=1,2)為激勵(lì)幅值，ωi(i=1,2)為相應(yīng)的激勵(lì)頻率。ωi(i=1,2)的不同比值可以實(shí)現(xiàn)不同的共振形式。當(dāng)系統(tǒng)(2)中的2個(gè)激勵(lì)頻率ωi(i=1,2)均遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率ΩN時(shí)，系統(tǒng)存在多個(gè)時(shí)間尺度。

由于ωi/ΩN<<1(i=1,2)，令t∈[t0,t0+TN]，其中TN=2π/ΩN，在任意一個(gè)以t=t0作為初始時(shí)間點(diǎn)的固有周期TN內(nèi)，周期激勵(lì)項(xiàng)WAi=Aicosωit0(i=1,2)和WBi=Aicos(ωit0+2πωi/ΩN)(i=1,2)之間變化，期間Aicosωit(i=1,2)幾乎保持不變。因此，可以將Aicosωit(i=1,2)視為系統(tǒng)(2)的2個(gè)慢變參數(shù)，相應(yīng)地，系統(tǒng)(2)可稱為關(guān)于2個(gè)慢變量的廣義自治系統(tǒng)。當(dāng)2個(gè)頻率滿足嚴(yán)格的整數(shù)比關(guān)系時(shí)，可以采用Moivre公式[33]，將w=cos(ωit/n)(n為正整數(shù))定義為基本慢變量，利用函數(shù)fi(w)(i=1,2)來分別表示這2個(gè)慢變量，即w1=A1f1(w)，w2=A2f2(w)。則系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為只含有1個(gè)基本慢變量w的快慢系統(tǒng)。這樣，可以應(yīng)用傳統(tǒng)的快慢分析法來揭示參外聯(lián)合激勵(lì)下系統(tǒng)不同簇發(fā)行為產(chǎn)生的機(jī)理。

不妨將廣義自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)定義為E(xi0,yi0,zi0)，其中

不難得到，xi0滿足

(3)

平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由其對應(yīng)的特征方程決定，即

λ3+a2λ2+a1λ+a0=0

(4)

其中特征方程的系數(shù)分別為

a2=a-c+e

(5)

根據(jù)Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知，當(dāng)式(4)滿足條件a0>0，a2>0，a1a2-a0>0時(shí)，平衡點(diǎn)E(xi0,yi0,zi0)是穩(wěn)定的。而平衡點(diǎn)的失穩(wěn)會(huì)導(dǎo)致不同形式的分岔。當(dāng)特征方程有零特征根時(shí)，系統(tǒng)可能出現(xiàn)Fold分岔，用LB表示Fold分岔集，即

LB：a0=0

(6)

當(dāng)特征方程的特征值含有一對純虛根時(shí)，系統(tǒng)可能產(chǎn)生Hopf分岔，用HB表示Hopf分岔集，即

HB：ai>0(i=1,2,3)且a0=a1a2

(7)

此時(shí)，由Hopf分岔產(chǎn)生的頻率為

(8)

為了進(jìn)一步討論共振條件下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，文中取定參數(shù)a=2，b=7，c=2，d=6，e=9，A1=2，A2=10。利用Moivre公式將兩個(gè)慢變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)基本慢變量w表示，其中w=cos 0.01t。表1給出了ω1∶ω2=2∶4，1∶3三種典型的不同頻率比下f1(w)和f2(w)的表達(dá)式。

圖1給出了三種不同頻率比下的平衡曲線圖及其分岔圖。其中實(shí)線表示穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，虛線表示不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，HB表示Hopf分岔點(diǎn)，F(xiàn)B表示Fold分岔點(diǎn)。由圖1(a)可知當(dāng)ω1∶ω2=1∶1時(shí)，系統(tǒng)有3條平衡線，其中包括4段穩(wěn)定的平衡線，3段不穩(wěn)定的平衡線，穩(wěn)定的平衡線與不穩(wěn)定的平衡線之間由4個(gè)超臨界Hopf分岔點(diǎn)連接，2個(gè)Fold分岔點(diǎn)位于中間的不穩(wěn)定平衡線上，平衡線關(guān)于原點(diǎn)呈中心對稱。

表1 不同激勵(lì)頻率比下f1(w)和f2(w)表達(dá)式

由圖1(b)可知，當(dāng)ω1∶ω2=2∶4時(shí)，系統(tǒng)包含10段穩(wěn)定的平衡線和9段不穩(wěn)定的平衡線，平衡線關(guān)于w=0呈軸對稱。由圖1(c)可知，當(dāng)ω1∶ω2=1∶3時(shí)，系統(tǒng)包含8段穩(wěn)定的平衡曲線和7段不穩(wěn)定的平衡線，平衡線關(guān)于原點(diǎn)呈中心對稱。比較不同頻率比下的平衡線曲線可以看出，雖然系統(tǒng)中激勵(lì)的頻率比在變化，但3條平衡線數(shù)目不發(fā)生變化。不同的是其平衡線的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，平衡線在x=0處來回穿插，相對于圖1(a)，圖1(b)和1(c)中一個(gè)周期內(nèi)平衡點(diǎn)正負(fù)改變的次數(shù)增加，使得分岔點(diǎn)數(shù)量也相應(yīng)增加，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性更加豐富。

(a) ω1∶ω2=1∶1平衡線圖

(b) ω1∶ω2=2∶4平衡線圖

(c) ω1∶ω2=1∶3平衡線圖

(d) ω1∶ω2=2∶4平衡線局部放大圖

2 嚴(yán)格共振條件下的簇發(fā)振蕩

2.1 情形一

(a) 時(shí)間歷程圖

(b) (x,y)平面相圖

(c) 平衡線圖與(w,x)平面轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖

(d) x方向上系統(tǒng)速度時(shí)間圖

從圖2(c)中可以觀察到，系統(tǒng)軌線在經(jīng)過Fold分岔點(diǎn)向上跳躍時(shí)發(fā)生了軌線局部突出的現(xiàn)象。結(jié)合變量x的速度時(shí)間圖2(d)可知，軌線在B點(diǎn)處速度瞬間增大，又在短時(shí)間內(nèi)迅速回落至負(fù)方向?qū)е铝嗽诖颂巟值的迅速變化。

2.2 情形二

(a) 時(shí)間歷程圖

(b) (x,y)平面相圖

(c) 平衡線圖與(w,x)平面轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖

(d) 疊加圖局部放大圖1

(e) 疊加圖局部放大圖2

2.3 情形三

(a) 時(shí)間歷程圖

(b) (x,y)平面相圖

(c) 平衡線圖與(w,x)平面轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖

(d) 疊加圖局部放大圖

從上述三種情形可以看到，當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生了簇發(fā)振蕩。在參外聯(lián)合激勵(lì)處于共振的條件下，隨著激勵(lì)頻率比的變化，廣義自治系統(tǒng)的平衡線發(fā)生了改變，導(dǎo)致參外聯(lián)合激勵(lì)系統(tǒng)不同的簇發(fā)現(xiàn)象，在系統(tǒng)相圖上則表現(xiàn)為渦卷數(shù)目的變化，即由雙渦卷現(xiàn)象逐漸演化為動(dòng)力學(xué)特性更為豐富的四渦卷現(xiàn)象。

3 非嚴(yán)格共振條件下的簇發(fā)振蕩

3.1 簇發(fā)振蕩

嚴(yán)格的共振情況在實(shí)際系統(tǒng)中很少存在，系統(tǒng)往往受到不同程度的擾動(dòng)。在小擾動(dòng)的情況下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為將會(huì)更為復(fù)雜.

在上述嚴(yán)格共振情況下，采用Moivre公式將兩個(gè)慢變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)基本慢變量的分析方法，在此不再適用。為了解決這一問題，本文將慢變頻率之一與時(shí)間的乘積作為慢變參數(shù)。在確定了慢變參數(shù)和對應(yīng)的廣義自治系統(tǒng)后，即可分析不同頻率比下系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的演化，以及相應(yīng)系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩，從而揭示其產(chǎn)生的機(jī)理。

取定各參數(shù)與共振情況相同，保持頻率ω1=0.01不變，ω2在0.01附近產(chǎn)生一定的擾動(dòng)，取ω2=0.011。以τ=0.01t作為慢變量，圖5(a)為系統(tǒng)隨慢變量τ變化下的平衡線圖。由平衡線圖可以看出，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)分支由三條平衡線組成并呈現(xiàn)周期狀態(tài)，其周期為2 000π。圖5(b)為(τ,x)平面上的轉(zhuǎn)換相圖與平衡線疊加圖。假定系統(tǒng)軌線在τ=100時(shí)，位于下半平面的小領(lǐng)域內(nèi)，則在此后軌線會(huì)沿著穩(wěn)定的平衡點(diǎn)分支運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)處于沉寂態(tài)，當(dāng)遇到Fold分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)向上跳躍，同時(shí)受到Hopf分岔點(diǎn)的影響，平衡點(diǎn)失穩(wěn)發(fā)生大幅振蕩，進(jìn)入激發(fā)態(tài)，隨著τ增加，振蕩幅度減小，在穩(wěn)定平衡線處，軌線退出激發(fā)態(tài)，再次歸于沉寂態(tài)。軌線之后的運(yùn)動(dòng)與此類似，不再贅述。與頻率比為ω1∶ω2=1∶1的情況相比，雖然外激勵(lì)頻率發(fā)生了微小擾動(dòng)，但非共振情況下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生了巨大變化。不僅系統(tǒng)的周期增加，系統(tǒng)的平衡線結(jié)構(gòu)也發(fā)生了很大變化。在小擾動(dòng)的情況下，一個(gè)周期內(nèi)，平衡線的波峰與波谷的數(shù)量急劇增加，使得軌線周期運(yùn)動(dòng)中激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)轉(zhuǎn)換的次數(shù)增加，在相圖上表現(xiàn)為渦卷的疊加如圖5(c)所示，使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性變得更加復(fù)雜。

3.2 不同頻率比的影響

當(dāng)參外聯(lián)合激勵(lì)的頻率比為ω1∶ω2時(shí)，設(shè)

(9)

p與q為互質(zhì)的正整數(shù)，則系統(tǒng)的最小周期在真實(shí)時(shí)間上為

(10)

(a) 平衡線圖

(b) 平衡線圖與(τ,x)平面轉(zhuǎn)換相圖的疊加圖

(c) (x,y)平面相圖

如上述例子中ω1=0.01，ω2=0.011時(shí)，周期為T=2π/0.001=2 000π。可見，當(dāng)系統(tǒng)的頻率受到一定程度的擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的周期大大延長了，同時(shí)簇發(fā)的穩(wěn)定性也會(huì)一定程度的影響。值得注意的是，當(dāng)γ取無理數(shù)時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入非周期運(yùn)動(dòng)，即使當(dāng)γ取有理數(shù)時(shí)，系統(tǒng)也并不一定是周期運(yùn)動(dòng)，也可能是概周期運(yùn)動(dòng)，甚至可能是混沌現(xiàn)象。

將參數(shù)激勵(lì)的頻率固定為0.01，在0.009～0.015之間改變外激勵(lì)的頻率，探討系統(tǒng)在不同頻率比時(shí)的動(dòng)力學(xué)演化行為。

從龐加萊截面圖6～10可以看出，當(dāng)ω1∶ω2=1∶1和ω1∶ω2=1∶1.5時(shí)為周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω1∶ω2=1∶0.9和ω1∶ω2=1∶1.1時(shí)均為概周期運(yùn)動(dòng)。從系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)與參數(shù)ω2的關(guān)系圖中，也可以看到，隨著頻率比的改變，Lyapunov指數(shù)并沒有出現(xiàn)大于零的情況，可以推斷，系統(tǒng)并未進(jìn)入混沌狀態(tài)，所以系統(tǒng)隨著頻率比的改變，呈現(xiàn)出周期運(yùn)動(dòng)與概周期運(yùn)動(dòng)交替變化。

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

4 結(jié) 論

參外聯(lián)合激勵(lì)下的混沌系統(tǒng)在激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)會(huì)存在明顯的兩時(shí)間尺度效應(yīng)。當(dāng)兩激勵(lì)頻率處在嚴(yán)格共振情形時(shí)，利用Moivre公式可以將兩個(gè)激勵(lì)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為均含一個(gè)基本激勵(lì)項(xiàng)的代數(shù)表達(dá)，從而可以將該基本激勵(lì)項(xiàng)視為慢變參數(shù)，得到相應(yīng)的廣義自治系統(tǒng)，基于該廣義自治系統(tǒng)隨慢變參數(shù)的平衡點(diǎn)曲線及其分岔分析，結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖，揭示相應(yīng)簇發(fā)振蕩的分岔機(jī)制?？梢园l(fā)現(xiàn)，參外聯(lián)合激勵(lì)從到共振，由于平衡曲線分布方式及相應(yīng)分岔點(diǎn)數(shù)量的不同，導(dǎo)致了快慢耦合系統(tǒng)的軌線在不同的平衡點(diǎn)之間跳躍的次數(shù)增加，由圍繞著兩個(gè)焦點(diǎn)的簇發(fā)振蕩，轉(zhuǎn)變?yōu)閲@三個(gè)焦點(diǎn)乃至四個(gè)焦點(diǎn)的簇發(fā)振蕩，在相圖上表現(xiàn)為渦卷數(shù)量的變化，從兩渦卷，三渦卷到四渦卷。而當(dāng)兩激勵(lì)頻率處在非嚴(yán)格共振情形時(shí)，由于無法采用Moivre公式簡化，為此，可以將慢變頻率之一與時(shí)間的乘積作為慢變參數(shù)，從而得到該情形下相應(yīng)的廣義自治系統(tǒng)。同樣，基于隨慢變參數(shù)變化的平衡曲線及其分岔分析，結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖，揭示簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)制。我們發(fā)現(xiàn)，與嚴(yán)格共振情形不同，非嚴(yán)格共振時(shí)，平衡曲線的周期大大延長了。同時(shí)，一個(gè)周期中平衡曲線上存在的分岔的數(shù)目也顯著增加了，這就導(dǎo)致耦合系統(tǒng)的軌線經(jīng)過分岔點(diǎn)時(shí)激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)轉(zhuǎn)換次數(shù)也隨之增加，使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。另外，從龐加萊截面圖以及Lyapunov指數(shù)計(jì)算可以判斷，隨著頻率的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期與概周期簇發(fā)振蕩交替變化的運(yùn)動(dòng)特征。

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

圖10 Lyapunov指數(shù)與參數(shù)ω2的關(guān)系