郭俊鋒， 王 茁

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象廣泛存在于機(jī)械設(shè)備中，機(jī)械振動(dòng)信號(hào)承載并傳遞著機(jī)械設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的多種信息，監(jiān)測(cè)并提取振動(dòng)過(guò)程中的有用信息，能幫助人們更好地掌握設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)，及時(shí)進(jìn)行維護(hù)。傳統(tǒng)且被廣泛采用的采樣技術(shù)以奈奎斯特采樣理論為基礎(chǔ)，該定理要求：采樣頻率必須高于信號(hào)最高頻率的兩倍，否則原信號(hào)將不能被精確重構(gòu)。近年來(lái)，大型設(shè)備的使用日趨多樣，其運(yùn)行過(guò)程也產(chǎn)生更加復(fù)雜的變化，如設(shè)備間隙、振動(dòng)工況、摩擦、碰撞、頻率的隨機(jī)性等。機(jī)械設(shè)備所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)也朝著“大數(shù)據(jù)”的方向發(fā)展，若此時(shí)仍采用傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定律進(jìn)行采樣，必然要求更高的采樣頻率，同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生巨量的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)的傳輸、存儲(chǔ)等問(wèn)題已成為亟待解決的瓶頸問(wèn)題[1]。

近年來(lái)壓縮感知理論[2]的出現(xiàn)較好地解決了上述問(wèn)題，該理論能以遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣進(jìn)而精確重構(gòu)。傳統(tǒng)的壓縮感知為單測(cè)量向量(Single Measurement Vectors, SMV)模型，該模型僅在單點(diǎn)監(jiān)測(cè)條件下利用稀疏性對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣獲得測(cè)量數(shù)據(jù)，由此獲得的測(cè)量信息比較單一，需要在不同點(diǎn)分別進(jìn)行測(cè)量才能獲得多個(gè)位置的信號(hào)數(shù)據(jù)。在單測(cè)量條件下對(duì)振動(dòng)信號(hào)的監(jiān)測(cè)和采樣浪費(fèi)大量時(shí)間，效率低，并且忽略了同一臺(tái)機(jī)器不同監(jiān)測(cè)點(diǎn)信號(hào)之間可能存在的相關(guān)性。因此對(duì)一臺(tái)機(jī)器的多個(gè)測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得多測(cè)量數(shù)據(jù)信號(hào)，既可進(jìn)一步利用數(shù)據(jù)間的相關(guān)性又在很大程度上減少信號(hào)的冗余性，更有利于對(duì)設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)進(jìn)行判斷，從而有效避免事故的發(fā)生。在多點(diǎn)監(jiān)測(cè)條件下獲得的測(cè)量向量不再是單測(cè)量向量而是多測(cè)量向量(Multiple Measurement Vectors, MMV)，此時(shí)需要恢復(fù)的向量均為稀疏向量且具有公共支撐集，這種聯(lián)合稀疏結(jié)構(gòu)的重構(gòu)問(wèn)題稱之為多測(cè)量壓縮感知(CS-MMV)問(wèn)題[3-5]。從多測(cè)量向量恢復(fù)未知的稀疏信號(hào)，被應(yīng)用于壓縮感知的聯(lián)合稀疏重構(gòu)，多測(cè)量向量的公共支撐集有利于獲得更穩(wěn)定、更精確的解。

稀疏恢復(fù)的本質(zhì)問(wèn)題是求解非凸優(yōu)化問(wèn)題。SMV模型的恢復(fù)算法主要有貪婪算法、凸松弛算法及其優(yōu)化算法。Rao和Cotter證明，當(dāng)無(wú)噪聲存在時(shí)，利用MMV模型所求解的唯一性條件能從(N+1)/2增長(zhǎng)至(N+L)/2。Duarte等[6-7]證明，若假定條件合適，則信號(hào)的準(zhǔn)確重建率可隨測(cè)量向量數(shù)L的增大呈指數(shù)倍增大。MMV模型信號(hào)的恢復(fù)可通過(guò)擴(kuò)展SMV模型信號(hào)的恢復(fù)方法實(shí)現(xiàn)，如貪婪算法、凸松弛算法及其優(yōu)化算法。但貪婪算法及其優(yōu)化算法需要的測(cè)量數(shù)多，恢復(fù)精度低，不能保證所求解為全局最優(yōu)解。凸松弛算法精度高，所需觀測(cè)次數(shù)少，但計(jì)算復(fù)雜度高，易產(chǎn)生人工效應(yīng)。稀疏貝葉斯算法[8-9]在解決信號(hào)內(nèi)及信號(hào)間相關(guān)性比較強(qiáng)，時(shí)間結(jié)構(gòu)相關(guān)性較強(qiáng)的信號(hào)時(shí)有很好的恢復(fù)效果。MMV問(wèn)題的求解大多數(shù)應(yīng)用于腦磁圖學(xué)、傳感器陣列信號(hào)處理[10]、稀疏通信信道的均衡、水下聲波通道估計(jì)[11]、多任務(wù)壓縮感知[12]等。 計(jì)算智能方法是求解組合優(yōu)化問(wèn)題的一種有效的現(xiàn)代智能方法。文獻(xiàn)[13]將混合模擬退火算法應(yīng)用于壓縮感知的求解，提高了圖像的重建精度。文獻(xiàn)[14]基于遺傳算法結(jié)合壓縮感知將其應(yīng)用于SAR高分辨距離像重構(gòu)中，該方法可利用更少的測(cè)量數(shù)重構(gòu)SAR場(chǎng)景目標(biāo)。文獻(xiàn)[15]將禁忌搜索算法應(yīng)用于DOA估計(jì)中，該方法能獲得全局最優(yōu)解，并減少了計(jì)算量。粒子群算法是智能算法中求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的一種高效方法，具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，在工程應(yīng)用中具有深遠(yuǎn)意義。文獻(xiàn)[16]將粒子群優(yōu)化方法成功應(yīng)用于SMV問(wèn)題的稀疏恢復(fù)和圖像重建中。文獻(xiàn)[17-18]將粒子群優(yōu)化方法成功地應(yīng)用于MMV問(wèn)題的稀疏恢復(fù)，重構(gòu)精度得到很大提高。盡管針對(duì)MMV模型的稀疏恢復(fù)問(wèn)題已有多種研究算法但鮮有研究針對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)。不同于上述研究，機(jī)械振動(dòng)信號(hào)有其固有特性，采用多點(diǎn)監(jiān)測(cè)振動(dòng)信號(hào)的方法，大大縮短了采集不同位置振動(dòng)信號(hào)所需的時(shí)間，提高了工作效率。多測(cè)量向量條件下，若仍采用傳統(tǒng)的SMV重構(gòu)方法將導(dǎo)致信號(hào)無(wú)法恢復(fù)。

針對(duì)上述問(wèn)題，為精確重構(gòu)多監(jiān)測(cè)點(diǎn)條件下的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)，本文提出一種基于多測(cè)量向量模型的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)聯(lián)合稀疏重構(gòu)方法。嘗試?yán)脮r(shí)間稀疏貝葉斯算法求得初始解，然后結(jié)合貪婪算法修剪技巧并加入自適應(yīng)粒子激活機(jī)制進(jìn)行位置更新，基于粒子群算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，并通過(guò)選用西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文方法的有效性。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論[19]提出：若一個(gè)信號(hào)自身為稀疏信號(hào)，或者經(jīng)某種變換基可表示為稀疏信號(hào)，則可通過(guò)一個(gè)與變換基不相干的測(cè)量矩陣將原始信號(hào)從高維空間投影至低維空間，得到一組遠(yuǎn)小于原始信號(hào)長(zhǎng)度的觀測(cè)值，再利用相關(guān)恢復(fù)算法由少許觀測(cè)值恢復(fù)出原信號(hào)。

傳統(tǒng)的壓縮感知為SMV模型，其恢復(fù)可求解式(1)的l0范數(shù)問(wèn)題

(1)

式中：f∈Rn為原始信號(hào);Φ為m×n的測(cè)量矩陣;y為m維的觀測(cè)值;θ為f經(jīng)稀疏變換基Ψ表示的稀疏系數(shù)(θ中非零值的個(gè)數(shù)k<

聯(lián)合稀疏恢復(fù)模型如下

(2)

式中：X∈RN×L為原始信號(hào)；B∈RM×L為觀測(cè)值，θ為X在稀疏基ψ∈RN×N下的稀疏表示，Φ∈RM×N為觀測(cè)矩陣，A∈RM×N為感知矩陣。式(2)的求解為NP難題，在測(cè)量矩陣滿足約束等距條件時(shí)，聯(lián)合重構(gòu)問(wèn)題最終轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼馐?3)的l1范數(shù)最小化問(wèn)題

(3)

式(3)可轉(zhuǎn)變?yōu)橄率?/p>

(4)

再通過(guò)式(5)重構(gòu)原始信號(hào)

X=ψθ

(5)

當(dāng)測(cè)量值受到噪聲污染時(shí)，其模型表示為

(6)

其中ΦX+N=B已知，N∈RM×L為高斯白噪聲，δ≥0為已知噪聲水平，顯而易見(jiàn)，式(1)是噪聲為零的特殊情況。

目前常用的聯(lián)合稀疏重構(gòu)算法有混合范數(shù)(M-BP)[20]、多重測(cè)量向量快速重構(gòu)算法(MMMVFR)[21]、規(guī)則化(FOCUSS)算法[22]、正交匹配追蹤法(M-OMP)[23]、時(shí)間稀疏貝葉斯算法(T-MSBL)、源自陣列信號(hào)處理的(MUSIC)算法[24]、一種性能可調(diào)的降維多測(cè)量向量與性能提升(ReMBo)算法[25]及以上算法的一些衍生算法等。

2 基于多測(cè)量向量模型的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)方法研究

2.1 粒子群優(yōu)化算法

Kennedy等[26]從人工生命研究結(jié)果中受到啟示，通過(guò)模擬鳥(niǎo)群搜尋食物和群聚的行為，提出一種模仿社會(huì)行為的啟發(fā)式搜索算法：粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)。該方法不但具有概念清晰明了、容易實(shí)現(xiàn)、魯棒性能強(qiáng)等特點(diǎn)，又有深刻的智能背景，在科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用有良好的表現(xiàn)，是一種非常有效的現(xiàn)代方法，該方法被廣泛地應(yīng)用于求解函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、多目標(biāo)優(yōu)化、機(jī)器人、信號(hào)處理和組合優(yōu)化等[27-28]各類復(fù)雜問(wèn)題。

在粒子群算法中，設(shè)種群p={p1,p2,…,pN}由N個(gè)粒子組成，N為種群規(guī)模。粒子群中的每個(gè)粒子pi都表示一個(gè)可能的潛在解，通過(guò)所在位置xi和速度vi來(lái)描述，在d維空間內(nèi)分別表示為xi={xi1,xi2,…,xid}和vi={vi1,vi2,…,vid}，每個(gè)粒子在解空間中通過(guò)不斷地“流動(dòng)”飛行進(jìn)行學(xué)習(xí)。pbesti表示粒子pi的當(dāng)前最好位置(個(gè)體極值)，gbesti表示所有粒子所飛行過(guò)的最好位置(全局最優(yōu)位置)。PSO算法中，每個(gè)粒子通過(guò)式(7)更新自身速度和位置

(7)

式中：w為慣性權(quán)重，通常為非負(fù)常數(shù)；c1、c2為學(xué)習(xí)因子，一般情況下兩者相等，取值范圍為0～4；r1、r2為服從[0,1]分配的隨機(jī)數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)的粒子群優(yōu)化算法流程如表1所示。

2.2 基于粒子群算法的聯(lián)合稀疏恢復(fù)算法設(shè)計(jì)

基于粒子群算法，結(jié)合時(shí)間稀疏貝葉斯算法和貪婪算法的相關(guān)技巧，并加入一種自適應(yīng)粒子激活機(jī)制，提出一種基于粒子群算法的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)聯(lián)合重構(gòu)算法(T-PSO)。粒子群算法的實(shí)現(xiàn)具體包括四個(gè)方面：群體初始化、適應(yīng)度函數(shù)、更新機(jī)制、終止條件。

2.2.1 群體初始化

設(shè)種群規(guī)模為M，即共有M個(gè)粒子。PSO算法的全局尋優(yōu)能力較強(qiáng)，而種群初始化對(duì)算法的性能有一定影響，初始種群與最優(yōu)解越接近越有利于全局搜索，并可減少全局搜索時(shí)間。傳統(tǒng)的粒子群算法采用隨機(jī)化產(chǎn)生初始解，但如此產(chǎn)生的解通常質(zhì)量較差。具有時(shí)間序列的稀疏貝葉斯算法(T-MBSL)不但在求解MMV模型時(shí)具有好的表現(xiàn)，當(dāng)解決具有時(shí)序結(jié)構(gòu)的MMV模型問(wèn)題時(shí)算法恢復(fù)效果更佳?；跈C(jī)械振動(dòng)信號(hào)的固有特性，群體初始化采用T-MBSL算法，對(duì)全局搜索到最優(yōu)解會(huì)更有利。其基本算法框架如表2所示。

表1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法

表2 T-MSBL算法

2.2.2 適應(yīng)度函數(shù)

(8)

(9)

即：

(10)

(11)

此時(shí)問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)換為求解式(12)的行支撐估計(jì)極小化問(wèn)題

(12)

式中,ω由集合Ω中所有勢(shì)均為K的子集組成的集合。

2.2.3 更新機(jī)制

粒子在PSO算法中的位置更新，通過(guò)自身經(jīng)驗(yàn)和鄰近經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行。本文算法T-PSO基于種群進(jìn)化策略和過(guò)程，并加入隨機(jī)成分且結(jié)合貪婪追蹤法中的修剪技巧，設(shè)計(jì)一種新的更新機(jī)制。由于粒子群算法在求解較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)易產(chǎn)生早熟，即當(dāng)?shù)催_(dá)到終止條件時(shí)，會(huì)出現(xiàn)粒子的個(gè)體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置十分接近的情況，此時(shí)由于粒子的多樣性降低、失去活性使得整個(gè)搜索進(jìn)入局部搜索，從而會(huì)導(dǎo)致整個(gè)種群收斂于某個(gè)粒子的最優(yōu)位置。在CS理論中，當(dāng)測(cè)量值M增大時(shí)，粒子的搜尋范圍和迭代次數(shù)也會(huì)增加，同時(shí)增加了粒子陷入早熟范圍的概率。因此，為了降低這種情況出現(xiàn)的概率以及對(duì)重構(gòu)精度的影響，T-PSO算法同時(shí)也加入了一種自適應(yīng)的粒子激活機(jī)制。整體位置更新機(jī)制如下：

(13)

定義第i個(gè)粒子迭代到第t次時(shí)的位置li,t為

(14)

此時(shí)考慮加入自適應(yīng)粒子激活機(jī)制，一方面及時(shí)發(fā)現(xiàn)早熟、失去活性的粒子；另一方面及時(shí)改變失活粒子的搜索位置，從而避免其陷入局部搜索。

步驟1 首先判斷粒子的個(gè)體最優(yōu)位置是否過(guò)于接近全局最優(yōu)位置，數(shù)學(xué)表達(dá)為兩者的適應(yīng)值之差很小，即：

|F(li,pbest)-F(lgbest)|<η

(15)

其中η=1×10-3。

若式(15)不成立，此時(shí)粒子未陷入局部搜索不進(jìn)入激活機(jī)制，然后判斷該粒子是否滿足條件

F(li,t)

(16)

若式(16)成立，則對(duì)個(gè)體粒子歷史最優(yōu)位置進(jìn)行更新li,pbest=li,t，然后執(zhí)行步驟2。

若式(15)成立，則進(jìn)入激活機(jī)制，即：

li,t=li,t+λ·randn()

(17)

待失活粒子激活完成后，若滿足式(15)，然后更新個(gè)體粒子歷史最優(yōu)位置li,pbest=li,t然后執(zhí)行步驟2。

步驟2 設(shè)第t次所有粒子位置全部更新完成后，種群的歷史最優(yōu)位置通過(guò)下式判斷更新，若：

F(lmin,t)

(18)

2.2.4 終止條件

若F(lgbest)<ε或迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)先指定的最大迭代次數(shù)tmax，則算法終止。

T-PSO算法流程如圖1所示。

T-PSO算法流程如表3所示。

圖1 T-PSO算法流程圖

表3 T-PSO算法

2.3 基于多重測(cè)量模型的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)步驟

步驟1 從美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫(kù)，隨機(jī)提取不同監(jiān)測(cè)位置的兩組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)X。

步驟2 分析該信號(hào)在DCT正交基Ψ下的聯(lián)合稀疏性，獲得聯(lián)合稀疏度K，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行系數(shù)變換X=Ψθ，得到先驗(yàn)知識(shí)。

步驟3 選取隨機(jī)高斯矩陣為測(cè)量矩陣Φ并對(duì)該信號(hào)進(jìn)行壓縮測(cè)量得到測(cè)量矩陣B(B=ΦX)。

步驟6 調(diào)整相關(guān)參數(shù)，重復(fù)步驟4～步驟5，比較不同參數(shù)下本文算法的有效性。

流程圖如圖2所示。

圖2 機(jī)械振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)算法流程

3 實(shí)驗(yàn)與分析

本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫(kù)，該實(shí)驗(yàn)對(duì)象為深溝球軸承，將傳感器分別安裝在驅(qū)動(dòng)端和風(fēng)扇端進(jìn)行故障數(shù)據(jù)采集，SKF6205是驅(qū)動(dòng)端軸承，SKF6203是風(fēng)扇端軸承。實(shí)驗(yàn)采用加速度傳感器對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采集，包含正常數(shù)據(jù)、軸承內(nèi)、外圈故障數(shù)據(jù)、球故障數(shù)據(jù)，采樣頻率有4.8 kHz和1.2 kHz，故障直徑的大小不同，分別為0.018、0.036/0.053 cm等，故障的狀態(tài)負(fù)載分為0、1、2、3 HP(1 HP=746 W)。本實(shí)驗(yàn)選取軸承負(fù)載為0、采樣頻率為1.2 kHz的驅(qū)動(dòng)端軸承外圈直徑為0.018 cm的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

本文實(shí)驗(yàn)的所有數(shù)據(jù)均通過(guò)8 G運(yùn)行內(nèi)存、雙核臺(tái)式機(jī)的MATLABR2014a軟件運(yùn)行。實(shí)驗(yàn)結(jié)果均為50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的平均值。

為進(jìn)一步驗(yàn)證多監(jiān)測(cè)點(diǎn)條件下，本文所提算法(T-PSO)針對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的聯(lián)合稀疏恢復(fù)性能，本文實(shí)驗(yàn)均分為兩組進(jìn)行，第一組實(shí)驗(yàn)為監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置分別為3點(diǎn)鐘和6點(diǎn)鐘方向，兩組長(zhǎng)度均為512的兩組軸承故障數(shù)據(jù)；第二組實(shí)驗(yàn)為監(jiān)測(cè)點(diǎn)位置分別為3點(diǎn)鐘、6點(diǎn)鐘、12點(diǎn)鐘方向，長(zhǎng)度均為512的三組軸承故障數(shù)據(jù)。

3.1 機(jī)械振動(dòng)信號(hào)聯(lián)合稀疏度分析

機(jī)械振動(dòng)信號(hào)大多是近似稀疏的，即在某種變換基下可為稀疏信號(hào)或者可壓縮信號(hào)。常用的稀疏變換基有：散余弦變換基(DCT)、小波基(DWT)、傅里葉變換基(DFT)等，本文研究機(jī)械振動(dòng)信號(hào)在DCT正交基下的聯(lián)合稀疏性，同時(shí)估計(jì)其聯(lián)合稀疏度K。

如圖3所示為兩組振動(dòng)信號(hào)在DCT正交基下的變換系數(shù)，按絕對(duì)值由大至小降序排列后的系數(shù)分布圖。如圖4所示為三組振動(dòng)信號(hào)在DCT正交基下的變換系數(shù)，按絕對(duì)值由大至小降序排列后的系數(shù)分布圖。

圖3 兩組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)在DCT基下的變換系數(shù)衰減分布圖

圖4 三組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)在DCT基下的變換系數(shù)衰減分布圖

多次實(shí)驗(yàn)后，信號(hào)均符合圖3和圖4的特征，由圖可看出：兩組實(shí)驗(yàn)的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)，在DCT正交基下的稀疏系數(shù)均呈現(xiàn)出明顯的衰減趨勢(shì)，且均在迭代150次時(shí)系數(shù)衰減曲線斜率急速降低且接近于零，所以兩組實(shí)驗(yàn)的聯(lián)合稀疏度K估計(jì)為150。該實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了機(jī)械振動(dòng)信號(hào)在DCT正交基下為可壓縮信號(hào)。

本文實(shí)驗(yàn)用壓縮率來(lái)衡量機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的可壓縮性，其定義如下：

壓縮率RC(Compression Rate, CR)：表示振動(dòng)信號(hào)的可壓縮度。壓縮率越大，則需要的測(cè)量數(shù)目越少，振動(dòng)信號(hào)的可壓縮力度越高。

(19)

式中：N為原機(jī)械振動(dòng)信號(hào)長(zhǎng)度;M表示經(jīng)壓縮后的信號(hào)長(zhǎng)度。為了確保原始振動(dòng)信號(hào)的高概率重建，壓縮后的測(cè)量數(shù)M須滿足如下不等式

(20)

式中,c?0.28。

結(jié)合3.1節(jié)的分析，當(dāng)N=512、K=150時(shí)，代入式(20)計(jì)算可得M≥52，聯(lián)立式(19)和式(20)可得RC≤90%。由此可看出：對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮采樣時(shí)，壓縮率最多不宜超過(guò)90%，否則當(dāng)測(cè)量數(shù)目過(guò)少時(shí)，會(huì)出現(xiàn)原始振動(dòng)信號(hào)不能被精確重構(gòu)的現(xiàn)象。而當(dāng)壓縮率過(guò)小時(shí)，此時(shí)的測(cè)量數(shù)目過(guò)多，對(duì)于壓縮采樣而言沒(méi)有任何意義。由分析可知壓縮率不能過(guò)大或過(guò)小，因此本實(shí)驗(yàn)設(shè)置壓縮率取值范圍為60%≤RC≤90%，相應(yīng)的采樣值范圍為52～200。

當(dāng)無(wú)噪聲存在時(shí)，本文采用式(21)定義的相對(duì)誤差衡量機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的恢復(fù)性能。

當(dāng)有噪聲存在時(shí)，本文采用式(22)定義的均方誤差衡量機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的恢復(fù)性能。

相對(duì)誤差(Relative Error)：絕對(duì)誤差與原信號(hào)的比值。

(21)

壓縮率過(guò)高或過(guò)低都會(huì)對(duì)壓縮采樣產(chǎn)生影響。壓縮率過(guò)高時(shí)對(duì)采樣時(shí)間和資源節(jié)約都比較有利，但不能保證信號(hào)被精確恢復(fù)；壓縮率過(guò)低時(shí)則不利于傳輸和儲(chǔ)存，失去壓縮的意義。因此，選擇合適的壓縮率對(duì)信號(hào)的精確恢復(fù)很重要。

均方誤差EMS(Mean Squared Error)

(22)

其中均方誤差越小，則信號(hào)恢復(fù)效果越好。

基于多測(cè)量向量模型，本文首先采用DCT正交基對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，再通過(guò)隨機(jī)高斯矩陣得到測(cè)量值，最后利用重構(gòu)算法進(jìn)行恢復(fù)。

3.2 SMV模型與MMV模型恢復(fù)性能分析

MMV模型相比SMV模型能夠減少恢復(fù)時(shí)間，提高重建準(zhǔn)確率，由前述可知，MMV模型的重構(gòu)算法可通過(guò)SMV模型的重構(gòu)算法擴(kuò)展而來(lái)，本文比較不同模型下正交匹配追蹤算法的恢復(fù)性能。SMV、MMV模型下的正交匹配追蹤算法分別記為OMP、M-OMP。

本實(shí)驗(yàn)設(shè)置測(cè)量值M=200，壓縮率為60%時(shí)，驗(yàn)證正交匹配追蹤算法針對(duì)兩種模型的恢復(fù)效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4和表5所示。

表4 SMV模型下OMP算法的重構(gòu)性能

表5 MMV模型下M-OMP算法的重構(gòu)性能

由表4可知，在SMV模型下要恢復(fù)3點(diǎn)鐘和6點(diǎn)鐘的信號(hào)所需時(shí)間為兩者之和0.147 8 s；重構(gòu)相對(duì)誤差的平均值為0.516 5。而由表5可知在MMV模型下同時(shí)恢復(fù)3點(diǎn)鐘和6點(diǎn)鐘方向的信號(hào)即a組實(shí)驗(yàn)，僅需0.114 2 s；重構(gòu)相對(duì)誤差值為0.439 8。由表4可知，在SMV模型下要恢復(fù)3點(diǎn)鐘、6點(diǎn)鐘和12點(diǎn)鐘的信號(hào)所需時(shí)間為三者之和0.209 7 s；重構(gòu)相對(duì)誤差的平均值為0.555 0。而由表5可知在MMV模型下同時(shí)恢復(fù)3點(diǎn)鐘、6點(diǎn)鐘和12點(diǎn)鐘方向的信號(hào)即b組實(shí)驗(yàn)，僅需0.143 2 s；重構(gòu)相對(duì)誤差值為0.425 0。由此可看出相比SMV模型而言，MMV模型可減少重構(gòu)時(shí)間，降低重構(gòu)誤差，提高重建精確率。

3.3 固定壓縮率下，T-PSO算法的性能分析

由于壓縮率過(guò)高或者過(guò)低會(huì)對(duì)原信號(hào)的壓縮采樣、存儲(chǔ)和傳輸、重構(gòu)精度產(chǎn)生影響，本實(shí)驗(yàn)選取壓縮率固定為65%，測(cè)量數(shù)目M=180時(shí)，驗(yàn)證不同算法針對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)相對(duì)誤差和恢復(fù)波形圖，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6和圖5所示。

表6 固定壓縮率下不同算法的重構(gòu)性能比較

由表6可知：當(dāng)壓縮率固定為65%時(shí)，不論是a組實(shí)驗(yàn)還是b組實(shí)驗(yàn)，M-OMP算法的重構(gòu)相對(duì)誤差都最大，M-FOCUSS、M-SBL和T-MSBL三種算法的重構(gòu)相對(duì)誤差在逐漸減小，但本文所提算法T-PSO的重構(gòu)誤差最小，只有M-OMP算法的50%。

由圖5直觀看出：當(dāng)固定壓縮率為65%時(shí)，兩組實(shí)驗(yàn)相比其它算法，采用本文所提算法T-PSO所恢復(fù)的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)與原振動(dòng)信號(hào)差異最小，幾乎完美重構(gòu)，這與表6不同算法恢復(fù)振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)相對(duì)誤差結(jié)果一致。因此，結(jié)合圖5和表6可知：本文所提算法T-PSO針對(duì)多監(jiān)測(cè)點(diǎn)條件下的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的恢復(fù)效果最好，重構(gòu)相對(duì)誤差最小，具有更好的適應(yīng)性。

3.4 測(cè)量值變化時(shí)T-PSO算法的性能分析

本實(shí)驗(yàn)設(shè)置測(cè)量值變化范圍為60≤M≤270，驗(yàn)證T-PSO算法隨測(cè)量值變化的重構(gòu)性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

(a) 原始信號(hào)

(b) M-OMP

(c) M-FOCUSS

(d) M-SBL

(e) T-MSBL

(f) T-PSO

(a) 原始信號(hào)

(b) M-OMP

(c) M-FOCUSS

(d) M-SBL

(e) T-MSBL

由圖6可知：隨著測(cè)量值的增加，即壓縮率減小時(shí)，兩組實(shí)驗(yàn)中不同算法的重構(gòu)相對(duì)誤差均在減小。其中，M-OMP的重構(gòu)相對(duì)誤差最大；M-FOCUSS算法、M-SBL算法、T-MSBL算法的重構(gòu)相對(duì)誤差次之；本文所提算法T-PSO算法的重構(gòu)相對(duì)誤差最小，針對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)效果最好。并在測(cè)量值大于200時(shí)，不同算法的曲線變化趨勢(shì)均不再明顯，接近最小值，這與前述分析測(cè)量值的變化范圍一致：當(dāng)測(cè)量值數(shù)目過(guò)大，壓縮沒(méi)有任何意義，測(cè)量值數(shù)目過(guò)小，原機(jī)械振動(dòng)信號(hào)無(wú)法精確重構(gòu)。

3.5 噪聲存在時(shí)T-PSO算法的性能分析

當(dāng)信噪比較高時(shí)，采集到的信號(hào)所包含的有用信息較多；而信噪比較低時(shí)，所包含的有用信息則較少。

(a) 兩組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)恢復(fù)效果

(b) 三組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)效果恢復(fù)圖

因此，當(dāng)有噪聲存在時(shí)，信噪比的高低會(huì)對(duì)信號(hào)的恢復(fù)性能有一定影響，本實(shí)驗(yàn)假設(shè)噪聲為高斯白噪聲，設(shè)置信噪比取值范圍5～35 dB時(shí)，驗(yàn)證噪聲存在時(shí)T-PSO算法針對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的恢復(fù)性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示。

圖7表明：當(dāng)有噪聲存在時(shí)，隨著信噪比的增大，兩組實(shí)驗(yàn)中不同算法的重構(gòu)均方誤差均在減小。其中M-OMP算法的重構(gòu)均方誤差最大；M-FOCUSS算法、M-SBL算法、T-MSBL算法的均方誤差次之；本文T-PSO算法的重構(gòu)均方誤差最小，即恢復(fù)最為精確。并且RSN>20 dB時(shí)，重構(gòu)均方誤差變化不再明顯，幾乎達(dá)到最小值。如圖8所示為噪聲存在時(shí)a組實(shí)驗(yàn)的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)波信號(hào)圖和b組實(shí)驗(yàn)的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)波信號(hào)圖。

由圖8可知：隨著信噪比的增大，兩組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的波形圖與原始振動(dòng)信號(hào)波形圖均逐漸接近。當(dāng)信噪比為5 dB時(shí)，此時(shí)的波形圖與原振動(dòng)信號(hào)波形圖相差最大，這是由于信噪比較低時(shí)，信號(hào)中所包含的有用信息較少；當(dāng)RSN=10 dB、RSN=15 dB時(shí)，波形圖逐漸與原振動(dòng)信號(hào)波形圖相近；當(dāng)RSN=20 dB時(shí)，此時(shí)波形圖與原振動(dòng)信號(hào)波形圖幾乎一致；當(dāng)信噪比為RSN=25 dB時(shí)，同樣幾乎重現(xiàn)原振動(dòng)信號(hào)，這是由于信噪比較高時(shí)，信號(hào)中所含有的有用信息較多，即包含原信號(hào)的信息較多，此時(shí)更有利于對(duì)含有噪聲的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)恢復(fù)，這與圖8所示的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)隨噪聲變化的曲線圖結(jié)果一致。

(a) 兩組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)恢復(fù)效果

(b) 三組機(jī)械振動(dòng)信號(hào)恢復(fù)效果

4 結(jié) 論

針對(duì)傳統(tǒng)壓縮感知的測(cè)量模型為單測(cè)量向量模型，此時(shí)獲得的數(shù)據(jù)單一，采樣浪費(fèi)時(shí)間、效率低等問(wèn)題，本文提出了一種基于多測(cè)量向量模型的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)聯(lián)合稀疏重構(gòu)算法。選用DCT基進(jìn)行稀疏性分析，隨機(jī)高斯矩陣為測(cè)量矩陣，最后利用粒子群算法結(jié)合時(shí)間稀疏貝葉斯算法搜索全局得到最優(yōu)解。各項(xiàng)實(shí)驗(yàn)表明：

(1) 在多監(jiān)測(cè)點(diǎn)條件下，隨著測(cè)量數(shù)的增加，即壓縮率的減小，每種算法的恢復(fù)重構(gòu)誤差都越來(lái)越小，但本文所提方法總具有最優(yōu)性能。

(2) 當(dāng)有噪聲存在時(shí)，本文所提方法也具有最小的重構(gòu)均方誤差。在機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的應(yīng)用上具有一定的理論意義與應(yīng)用價(jià)值。

(a) 原始信號(hào)

(b) RSN=5 dB

(c) RSN=10 dB

(d) RSN=15 dB

(e) RSN=20 dB

(f) RSN=25 dB

(a) 原始信號(hào)

(b) RSN=5 dB

(c) RSN=10 dB

(d) RSN=15 dB

(e) RSN=20 dB

(f) RSN=25 dB