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        一個(gè)特殊擬算術(shù)平均的兩個(gè)精確不等式*

        2021-01-18 08:45:48
        關(guān)鍵詞:定義

        錢 偉 茂

        (湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 繼續(xù)教育學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

        一、研究背景

        設(shè)r∈(0,1),第一類和第二類完全橢圓積分κ(r)和ε(r)分別定義為:

        一直以來,完全橢圓積分得到了比較深入的研究.關(guān)于特殊情形,國內(nèi)外學(xué)者證明了許多關(guān)于第一類和第二類完全橢圓積分的重要性質(zhì)和不等式.

        1998年,Toader介紹了一個(gè)關(guān)于兩個(gè)正數(shù)a和b的經(jīng)典擬算術(shù)平均Mp,n(a,b)[2]358-368:

        其中,rn(θ)=(ancos2θ+bnsin2θ)1/n.當(dāng)n≠0和r0(θ)=acos2θbsin2θ時(shí),p是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).

        (1)

        兩個(gè)正數(shù)a和b的幾何平均G(a,b)、算術(shù)平均A(a,b) 和反調(diào)和平均C(a,b) 分別定義如下:

        (2)

        并且有熟知不等式

        G(a,b)

        (3)

        對所有a,b>0且a≠b成立.

        關(guān)于特殊的擬算術(shù)平均E(a,b)的其他二元平均和其組合的比較研究,目前已取得了一定進(jìn)展.錢偉茂等證明了雙向不等式[3]1-10

        Gp[λa+(1-λ)b,λb+(1-λ)a]A1-p(a,b)

        袁琴等證明了雙向不等式[4]12-16

        Cα1(a,b)H1-α1(a,b)

        對所有a,b>0且a≠b成立,當(dāng)且僅當(dāng)α1≤7/16,β1=1,α2≤4/π2,β2≥7/16,其中H(a,b)=2ab/(a+b)是兩個(gè)正數(shù)a和b的調(diào)和平均.

        趙鐵洪等證明了雙向不等式[5]1-12

        對所有a,b>0且a≠b成立,當(dāng)且僅當(dāng)α1≤3/16,β1≥64/π2-6=0.484 5L,α2≤3/16,β2≥(5ln2-ln3-2lnπ)/(ln7-ln6)=0.503 8L.

        王淼坤等證明了雙向不等式[6]821-841

        α1A(a,b)+(1-α1)G(a,b)

        (4)

        α2A(a,b)+(1-α2)H(a,b)

        對所有a,b>0且a≠b成立,當(dāng)且僅當(dāng)α1≤3/4,β1≥8/π2,α2≤8/π2,β2≥7/8.

        從不等式(3)和(4)使得

        G(a,b)

        (5)

        對所有a,b>0且a≠b成立.

        根據(jù)不等式(5),本研究發(fā)現(xiàn)最佳參數(shù)λ1,λ2,μ1,μ2∈,使得雙向不等式

        λ1C(a,b)+(1-λ1)G(a,b)

        對所有a,b>0且a≠b成立.

        二、主要結(jié)果

        為證明本文的主要結(jié)果,需要以下4個(gè)引理:

        也是單調(diào)遞增(遞減)的.如果f′(x)/g′(x)是嚴(yán)格單調(diào)的,則上述結(jié)論的單調(diào)性也是嚴(yán)格的[1]10.

        引理3函數(shù)

        在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的且值域?yàn)?1/4,4/π2).

        證明函數(shù)f(r)可以分解為:

        (6)

        其中,

        設(shè)g1(r)=(2/π)2[2ε(r)-r′2κ(r)]2-r′2,g2(r)=r2.簡單計(jì)算可得:

        g1(0+)=g2(0)=0,g(r)=g1(r)/g2(r),

        (7)

        (8)

        (9)

        所以,引理3容易從等式(9)和函數(shù)f(r)的單調(diào)性得到.

        引理4函數(shù)

        在區(qū)間(0,1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的且值域?yàn)?1/6,32/π4).

        證明設(shè)h1(r)=(2/π)4[2ε(r)-r′2κ(r)]4-(1-r4),h2(r)=2r2(3+r2).簡單計(jì)算可得:

        h1(0+)=h2(0)=0,h(r)=h1(r)/h2(r),

        (10)

        (11)

        其中,

        對J(r)關(guān)于r求導(dǎo)可得:

        (12)

        其中,

        (13)

        從引理2(1)、2(2)、2(3)和等式(13)使得:

        (14)

        對所有r∈(0,1)成立.

        (15)

        下面給出本文的主要結(jié)果及其證明.

        定理1雙向不等式

        λ1C(a,b)+(1-λ1)G(a,b)

        對所有a,b>0且a≠b成立,當(dāng)且僅當(dāng)λ1≤1/4,μ1≥4/π2=0.405 2L.

        證明根據(jù)G(a,b)、C(a,b)和E(a,b)是關(guān)于正數(shù)a和b對稱且一階齊次的,不失一般性,假設(shè)a>b>0.設(shè)a=1,b=[(1-r)/(1+r)]2∈(0,1).從等式(1)和(2)得到:

        (16)

        (17)

        從等式(16)和(17)得到:

        (18)

        其中,函數(shù)f(r)定義在引理3.所以,定理1容易從引理3和等式(18)得到.

        定理2雙向不等式

        對所有a,b>0且a≠b成立,當(dāng)且僅當(dāng)λ2≤1/6和μ2≥32/π4=0.328 5L.

        證明不失一般性,假設(shè)a>b>0.設(shè)a=1,b=[(1-r)/(1+r)]2∈(0,1).從等式(16)和(17)可得:

        (19)

        其中,函數(shù)h(r)定義在引理4.所以,定理2容易從引理4和等式(19)得到.

        從定理1和定理2可以給出如下推論:

        推論設(shè)r∈(0,1),a=1和b=r′2,則雙向不等式

        對所有r′∈(0,1)成立.

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