賈紅召 王艷梅

[摘 要]充分挖掘教材中例題和習(xí)題蘊(yùn)含的思想方法，對(duì)學(xué)生進(jìn)行核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師的基本功.文章結(jié)合北師大版數(shù)學(xué)必修4的習(xí)題探討習(xí)題變式教學(xué)的育人價(jià)值.

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng);習(xí)題;變式;育人

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）26-0005-02

北師大版數(shù)學(xué)必修4復(fù)習(xí)題一B組有這樣一道題：

求函數(shù)[y=3sinx+1sinx-2的值域].

大部分學(xué)生都會(huì)以下兩種解法.

解法一：從函數(shù)的角度可以看作分式函數(shù)[y=3t+1t-2]與正弦函數(shù)[y=sinx]的復(fù)合函數(shù).由此得到[y=3t+1t-2=3t-2+7t-2=3+7t-2]，由[-1≤t≤1]可得[-3≤t-2≤-1].因此[-7≤7t-2≤-73]，得[-4≤y≤23].即函數(shù)值域?yàn)閇-4，23].

解法二：利用[y=sinx的有界性]進(jìn)行未知量轉(zhuǎn)換，原式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為[sinx=2y+1y-3]，由[sinx≤1] 得[2y+1y-3≤1]，解得[-4≤y≤23].即函數(shù)值域?yàn)閇-4，23].

其中有個(gè)學(xué)生用這兩種方法解答后還寫(xiě)了一句話：老師，這道題還有其他解法嗎？這引起了筆者對(duì)這道題目解法的反思.就本題來(lái)說(shuō)其他的解法并不一定更簡(jiǎn)單，但是從對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解角度說(shuō)仍具有很高的探討價(jià)值.

于是筆者給出了一道變式題目：

求函數(shù)[y=3sinx+1cosx-2]的值域.

由于學(xué)生還沒(méi)有學(xué)到三角函數(shù)的輔助角公式，也沒(méi)有學(xué)習(xí)三角函數(shù)萬(wàn)能公式，對(duì)數(shù)學(xué)思想理解不深刻，不具備數(shù)形結(jié)合素養(yǎng)，一時(shí)很難找到這道題的解法.筆者讓學(xué)生課后探究本題的解法并在下節(jié)課上進(jìn)行交流.學(xué)生很快找到此題的若干種解法.其中一種解法是從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)得到[y=3sin x+1cos x-2]表達(dá)的幾何意義是點(diǎn)[（cosx， 3sinx）]與點(diǎn)（2，-1）連線的斜率，而點(diǎn)[（cosx， 3sinx）]的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓[x2+y24=1].問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)（2，-1）的直線與橢圓[x2+y24=1]有公共點(diǎn)時(shí)求直線的斜率的取值范圍.但高一學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)橢圓的方程和性質(zhì)，紛紛表示看不懂此解法，不由得質(zhì)疑起筆者隨意變式終于變得超“綱”了.其實(shí)這種解法的本質(zhì)基于數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同角度的認(rèn)識(shí)和理解.我們眼中看到的是數(shù)（函數(shù)，方程）式（等式，不等式，分式，整式），腦中要意識(shí)到數(shù)、式背后的圖像、圖形、曲線等幾何特征.那么我們能不能構(gòu)造出學(xué)生能理解的幾何呢？自然要從函數(shù)式子本身的變形開(kāi)始研究.[y=3sinx+1cosx-2]可以化為[y=3sinx+13cosx-2]，該數(shù)學(xué)式子表達(dá)的幾何意義是：點(diǎn)[（cosx，sinx）]與點(diǎn)[2，-13]連線斜率的3倍.設(shè)點(diǎn)[A（cosx，sinx）]，[B2，-13]，易知點(diǎn)A在單位圓[x2+y2=1]上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)[B2，-13]的直線與單位圓有公共點(diǎn)時(shí)，求直線斜率取值范圍的3倍.

解：設(shè)過(guò)點(diǎn)[B2，-13]的直線l方程為[y+13=k（x-2）]，l與圓[x2+y2=1]有公共點(diǎn)，圓心（0，0）到直線l的距離[d≤r=1]，即[-2k-131+k2≤1]，解得[-2-279≤k≤-2+279].因此函數(shù)值域?yàn)閇-2-273， -2+273].至此問(wèn)題得以完美解決，學(xué)生也體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的妙處，學(xué)會(huì)了變換不同角度觀察數(shù)學(xué)對(duì)象.但筆者總覺(jué)得意猶未盡，能不能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解更加深刻呢？

筆者立刻引導(dǎo)學(xué)生回到題目：求函數(shù)[y=3sinx+1sinx-2]的值域.請(qǐng)學(xué)生從形的角度觀察這個(gè)函數(shù)式，看看能不能利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)求函數(shù)的值域.

很快就有學(xué)生寫(xiě)出新的解法：

[y=3sinx+1sinx-2]表示點(diǎn)[A（sinx， 3sinx）]與點(diǎn)[B（2，-1）]連線的斜率，而點(diǎn)A的軌跡是線段[y=3x]，[-1≤x≤1].問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)B的直線與線段[y=3x]，[-1≤x≤1]有交點(diǎn)時(shí)求直線斜率的取值范圍.

數(shù)形結(jié)合，問(wèn)題迎刃而解！學(xué)生很是興奮.筆者要強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感和獲得感.提出以下變式練習(xí).

利用數(shù)形結(jié)合思想求下列函數(shù)的值域：

（1）[y=3x+1x-2] ;（2）[y=x2+1x].

幾乎所有學(xué)生都發(fā)現(xiàn)數(shù)式與圖像的聯(lián)系，寫(xiě)出美妙的解法來(lái).

（1）[y=3x+1x-2] 表示點(diǎn)[A（x， 3x）]與點(diǎn)[B（2，-1）]連線的斜率，而點(diǎn)A的軌跡是直線[y=3x] ，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)[B（2，-1）]的直線與直線[y=3x]相交時(shí)求直線的斜率.顯然斜率[k≠3]即可，因此函數(shù)值域?yàn)閇xx≠3].

（2）[y=x2+1x]表示點(diǎn)[A（x， x2）]與點(diǎn)[B（0，-1）]連線的斜率，而點(diǎn)A的軌跡是拋物線[y=x2] ，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)[B（2，-1）]的直線與拋物線[y=x2]有公共點(diǎn)時(shí)求直線的斜率.設(shè)直線方程[y=kx-1]，聯(lián)立方程[y=kx-1，y=x2]有解，得[方程x2-kx+1=0]有解.即[Δ=k2-4≥0]，得[k≥2]或[k≤-2].因此函數(shù)的值域?yàn)閇-∞，-2∪2，+∞].

至此，學(xué)生悟出道理：只要是分式都可以嘗試構(gòu)造出兩點(diǎn)連線的斜率[y1-y2x1-x2]的幾何意義.那么還有哪些數(shù)學(xué)式子可以構(gòu)造出幾何背景來(lái)呢？

再比如，求函數(shù)[y=x2+4x+8+x2-4x+5]的值域.

觀察函數(shù)發(fā)現(xiàn)，用一般方法不好繼續(xù)進(jìn)行，但發(fā)現(xiàn)，根號(hào)下的形式比較像兩點(diǎn)間的距離公式，所以可以改造函數(shù)，經(jīng)過(guò)改造、整理函數(shù)得

[y=（x+2）2+4+（x-2）2+1]，

[y=（x+2）2+（0+2）2+（x-2）2+（0-1）2].

這時(shí)我們可以把函數(shù)看成坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)間的距離和.[P（x， 0）， A（-2，-2）， B（2， 1）] ，即[y=PA+PB] .

通過(guò)觀察圖像，這時(shí)所求的目標(biāo)就很明顯了，

當(dāng)P處于AB連線上時(shí)，[y=PA+PB]取到最小值.

[y=AB=5]，所以[PA+PB≥5]，即函數(shù)值域?yàn)閇y∈5，+∞].

上述研究的是從數(shù)形結(jié)合的角度求一些函數(shù)值域，其實(shí)不僅僅是求值域，研究方程的解、不等式的解集、向量的運(yùn)算等都可以展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的魅力.從更高的角度說(shuō)，我們要學(xué)會(huì)從不同的視角觀察、分析數(shù)學(xué)對(duì)象.表面是數(shù)，背后是形;眼中是形，腦中有數(shù).其實(shí)也不僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，我們生活中遇到困惑時(shí)也需要變換角度思考問(wèn)題.換位思考就是一種生活智慧.

抓住典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變式研究凸顯不變本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的變與不變，體會(huì)到數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的哲學(xué)原理，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解上升到新的高度，而學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然也就落地生根.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 黃河清.高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”學(xué)習(xí)策略[M].南寧：廣西教育出版社，2019：138-153，198-207.

[2]? 嚴(yán)士健，王尚志.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)4必修[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）