童天嬌 陳亞洲

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100029)

引 言

兩相流擴散界面模型來源于流體力學(xué)中兩相流體的運動界面研究，廣泛應(yīng)用于石油開采和提煉、化工、材料加工及生物工程等領(lǐng)域，對其數(shù)學(xué)理論進行研究具有重要的理論意義和應(yīng)用科學(xué)背景。不同于將接觸面當作是一條光滑曲面的兩相流自由界面模型，兩相流擴散界面模型是將兩種流體的接觸界面當作是具有一定界面厚度的兩流體相互作用的層區(qū)域，通過引入相場變量和界面混合自由能來確定各流體的區(qū)域位置以及兩相界面的變化，通常由描述流體流速、壓力等變化的 Navier-Stokes方程組與描述互不相溶兩相流擴散界面運動的Cahn-Hilliard方程組或Allen-Cahn方程組耦合而來，即得到 Navier-Stokes-Cahn-Hilliard (NSCH)方程組或Navier-Stokes-Allen-Cahn方程組。NSCH方程組首先由Lowengrub等[1]在20世紀提出，Abels等[2]、Kotschote等[3]進一步研究了可壓模型的適定性結(jié)果。Abels等[2]得到了三維可壓NSCH方程全局弱解的存在性，Kotschote等[3]得到了局部強解的存在唯一性。Chen等[4]研究了一維可壓模型周期邊值問題和混合邊界問題強解的全局存在性和大時間行為。王暐翼等[5]研究了帶有van der Waals狀態(tài)方程的一維可壓方程組強解的存在唯一性。

由于不需要直接去處理復(fù)雜的兩相界面，擴散界面模型在研究兩相運動界面問題上有著很大的優(yōu)勢，但在模擬計算時對界面厚度有一定的要求。因此對于兩相流擴散界面模型界面厚度趨于零的極限問題的研究，有助于進一步理解兩類不同界面的兩相流模型的內(nèi)在聯(lián)系，同時為界面運動的模擬計算提供理論基礎(chǔ)。而關(guān)于兩相流擴散界面模型的界面極限問題的研究主要集中在不可壓縮NSCH方程組方面。Wang等[6]、Xu等[7]分別研究了二維和三維不可壓模型在廣義 Navier 邊界條件下兩相流界面厚度趨于零時的極限問題，采用漸近展開的方法推導(dǎo)出了相應(yīng)的不同類型兩相流自由界面條件和移動接觸線條件。Abels等[8]研究了非齊次不可壓兩相流擴散界面模型的界面極限，推導(dǎo)出了相應(yīng)的自由界面問題。

本文主要研究三維空間中可壓縮兩相流擴散界面模型的界面極限問題，通過漸近匹配展開的方法，證明了在界面厚度趨于零時，可在NSCH方程組解的漸近極限中得到兩相流自由邊界問題的界面條件。本文工作的難點和創(chuàng)新之處在于，除了要克服界面厚度的小尺度而采用伸縮變換來進行內(nèi)展開外，在研究可壓縮兩相流模型的界面極限時，由于密度分別與流體速度和相場變量耦合，其耦合項出現(xiàn)在界面方程的漸近展開式中，也將會以不同的形式出現(xiàn)在自由界面的條件中。

1 NSCH模型的建立及主要定理

在可壓混合兩相流中，用φ=φ1-φ2表示質(zhì)量濃度差，φi=Mi/M(i=1,2)分別表示兩種流體的質(zhì)量濃度，Mi為體積為V的混合流體中各流體的質(zhì)量?？偯芏圈?ρ1+ρ2，ρi=Mi/V為此時流體i的質(zhì)量密度。平均速度u由ρu=ρ1u1+ρ2u2給出，ui為流體i的速度?；旌狭黧w的化學(xué)勢為μ?？蓧夯旌蟽上嗔鲾U散界面模型可由如下方程組表示。

NSCH模型

(1)

式中，t>0，ρ>0，-1≤φ≤1。自由能密度為

T為Cauchy應(yīng)力張量，滿足

其中I是單位矩陣，S為牛頓黏性應(yīng)力，滿足

式中λ(ρ,φ)>0，λ′(ρ,φ)>0均為黏性系數(shù)；ε>0為混合流體的擴散界面厚度；壓力p由下式給出

接下來介紹兩相流自由界面模型及其界面條件。設(shè)未知的兩相流間的自由界面為

Γ:={(t,x)|φε(t,x)=0}

式中，x∈Ω?R3，對于?t>0，將區(qū)域Ω分為Ω=Ω+∪Γ∪Ω-。Vn為界面法向速度，κ為界面的曲率，n為界面的單位法向量，σ為表面張力，Ω+和Ω-分別表示兩種流體各自占據(jù)的區(qū)域

在t>0,x∈Ω±中，令(ρ±,u±)滿足可壓的Navier-Stokes方程組

(2)

φ=±1x∈Ω±

(3)

應(yīng)力張量表示為T±=-p±I+S±，其中

p±=a(ρ±)γ

且在自由邊界Γ上滿足跳躍條件

[u]Γ=0

(4)

[Tn]Γ=σκn

(5)

其中[h]Γ=h+-h-是函數(shù)h+和h-在界面Γ上的差。即在界面上，流體速度是連續(xù)的，應(yīng)力張量存在跳躍性，且與界面的表面張力和曲率有關(guān)。設(shè)集合S1={(t,x)∈Γ|Vn-un=0}，即在S1上界面速度與流體速度相同

Vn=un

(6)

在此界面上密度ρ可以是任意的，即密度的跳躍不是必需的。在ΓS1上，滿足如下條件

(7)

即在ΓS1上，密度ρ是連續(xù)的，界面速度由u和化學(xué)勢梯度的法向跳躍同時決定。

定理1設(shè)(ρ,u,φ,μ)為NSCH方程組(1)的解，且關(guān)于ρ、u、φ、μ在遠離界面的區(qū)域存在外漸近展開，靠近界面的區(qū)域存在內(nèi)漸近展開，展開式分別為

外展開

(8)

內(nèi)展開

(9)

需注意，與不可壓兩相流的界面極限分析結(jié)果不同的是，由于密度分別與流體速度和相場變量耦合，當界面厚度趨于零時，自由界面條件將會出現(xiàn)不同的形式。特別是當界面速度與流體速度不一致時，即在ΓS1上，流體密度在界面上不發(fā)生跳躍，且滿足Gibbs-Thomson條件，即式(7)。

2 定理的證明

本文的證明思路為：在遠離界面的區(qū)域采用外漸近展開，推導(dǎo)兩種流體在各自流體區(qū)域內(nèi)滿足的可壓縮流體方程組，在接觸界面附近利用伸縮變換進行內(nèi)漸近展開，并結(jié)合匹配條件推導(dǎo)出在接觸界面上的自由邊界條件。

在遠離界面的區(qū)域，用h±表示在Ω+和Ω-內(nèi)的函數(shù)h，則可將式(8)改寫為

(10)

(11)

將式(10)代入式(1)中第二式，得到

(12)

(13)

其中，

將式(10)代入式(1)第三式，得到

(14)

將式(10)代入式(1)第四式，得到

(15)

由式(12)和式(15)得，在區(qū)域Ω±中

(16)

由式(13)和式(16)得

(17)

由式(11)和式(16)得

(18)

結(jié)合式(11)、(16)、(18)得到引理如下。

(19)

在界面附近區(qū)域可將式(9)寫為

(20)

將式(19)代入式(1)第一式，整理可得

(21)

再將式(20)代入式(21)，可得關(guān)于ε的同階項的等式

(22)

(23)

將式(19)代入式(1)第二式整理可得

式中，

將式(20)、(21)代入式(1)第二式，并取關(guān)于ε的同階項的等式可得

(24)

(25)

將式(18)、(19)代入式(1)第三式中可得

比較關(guān)于ε同階項得

(26)

(27)

將式(18)、(19)代入式(1)第四式可得到

比較關(guān)于ε同階項得

(28)

(29)

關(guān)于外展開和內(nèi)展開所需的匹配條件為

考慮內(nèi)漸近展開得到的零階近似方程組(22)、(24)、(26)、(28)，邊界條件為

(30)

(31)

(32)

(33)

證明：根據(jù)式(22)可得

(34)

(35)

(36)

證明：式(24)兩邊同乘向量n，得到

對上式在(-∞,ξ)上積分，即為

(37)

(38)

[u0]Γ=0，在界面Γ上

(39)

[ρ0]Γ=0，在ΓS1上

(40)

考慮內(nèi)漸近展開得到的一階近似方程組(23)、(25)、(27)、(29)及邊界條件式(30)。

[S0]Γn-[p0]Γn=σκn

(41)

將其兩邊在(-∞,+∞)上積分，左邊為

將等式右邊第一行積分得到

將等式右邊第一行積分并結(jié)合邊界條件可得

綜上可得式(41)。引理5得證。

(42)

引理6得證。

(43)

(44)

(45)

結(jié)合邊界條件，通過上式可得出式(45)。將式(43)在(-∞,+∞)上積分，得到

定理1的證明：把全區(qū)域分為遠離界面和靠近界面兩個區(qū)域，首先在遠離界面的區(qū)域中，當ε→0時，通過外漸近展開證明引理1成立，即NSCH模型(1)收斂到方程組(2)、(3)；在界面附近的區(qū)域中，通過內(nèi)漸近展開得到引理2～7，即可推出NSCH模型(1)收斂到自由界面模型(2)，且滿足自由界面條件(4)～(7)。

3 結(jié)束語

本文研究了當三維可壓縮兩相流擴散界面模型的界面厚度趨于零時的極限問題。通過漸近匹配展開的方法證明了兩相流擴散界面模型在界面厚度趨于零時，可以得到兩相流自由界面模型，并推導(dǎo)出相應(yīng)的自由界面條件。該結(jié)果可為界面運動的模擬計算提供理論基礎(chǔ)。