張躍龍
(甘肅省西和縣第二中學(xué) 742100)
數(shù)學(xué)主要是將實(shí)際生活中的事物通過相應(yīng)的邏輯關(guān)系以及運(yùn)算關(guān)系,在人腦中進(jìn)行反映,并通過大腦的抽象處理與加工獲得的結(jié)果.高中生在對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)時,可將抽象知識轉(zhuǎn)變成形象知識,并在解題中,運(yùn)用大腦對數(shù)學(xué)試題的含義進(jìn)行理解.同時,高中生熟練掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法,不僅可以使高中生的解題效率得到有效提高,而且還能使高中生靈活地運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)方法,使高中生實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí).因此,高中生在數(shù)學(xué)解題時,需注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,以此使學(xué)生將相應(yīng)的數(shù)學(xué)題目轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)圖形,從而使學(xué)生習(xí)題理解力得到提高的同時,實(shí)現(xiàn)解題效率的提高.
數(shù)軸屬于數(shù)形結(jié)合展現(xiàn)的一種主要方法,通過數(shù)軸可構(gòu)建實(shí)數(shù)和數(shù)軸上各點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)軸上的“形”實(shí)現(xiàn)“數(shù)”的融合,以實(shí)現(xiàn)解題思路的有效拓展,并迅速地解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題,從而使數(shù)學(xué)知識更具生命力,并實(shí)現(xiàn)學(xué)生自身的思維視野拓展.
例1 假設(shè)集合A={x∣x∈Z,且-10≤x≤-1},B={x∣x∈Z,且∣x∣≤5},那么,A∪B當(dāng)中的元素個數(shù)是( ).
A.11 B.10 C.16 D.15
圖1
解析圖示法作為集合類試題較為常見的一種表示方法,在對相關(guān)抽象問題進(jìn)行解決的時候,通常能實(shí)現(xiàn)形象與直觀的目的.對于本題的求解,其主要指集合當(dāng)中的元素個數(shù),通過數(shù)軸的運(yùn)用,能夠有效詮釋出集合A與B當(dāng)中的元素,并把代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榧蠁栴}實(shí)施解決,即根據(jù)圖1可知,A∪B中共包含了16個整數(shù)點(diǎn).
對于數(shù)形結(jié)合而言,其本質(zhì)內(nèi)涵就是把數(shù)據(jù)和圖形相結(jié)合,以獲得相對直觀、形象的解題思路.在對三角類的相關(guān)問題進(jìn)行解決時,與相對僵化且常見的代數(shù)分析法,通過數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用,更容易挖掘出其中的幾何背景,并對問題的根本進(jìn)行深入分析,以單位圓呈現(xiàn)的直觀性,有效縮短數(shù)學(xué)問題解決花費(fèi)的時間.
圖2
高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中,學(xué)生在對代數(shù)式或者方程式的問題進(jìn)行解答時,通常習(xí)慣性地從代數(shù)方向?qū)嵤┙獯穑@種狀況下,學(xué)生解題就會被“數(shù)”所束縛,并影響到問題的高效解決.而通過數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用,可將代數(shù)與方程等問題轉(zhuǎn)變成幾何問題,這不僅有利于學(xué)生具備的幾何直觀發(fā)展,而且還能使學(xué)生順利解決相關(guān)方程或代數(shù)問題.
圖3
以圖象的形式對函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行研究通常是極其常見的一種方法.在對方程與不等式等相關(guān)問題進(jìn)行解決時,主要是在“數(shù)”上進(jìn)行構(gòu)“形”,其不僅有利于對題意進(jìn)行理解,探究相應(yīng)的解題思路,而且還能體驗(yàn)到解題的結(jié)果,從而使函數(shù)的抽象化問題得到完美解決,并使學(xué)生對函數(shù)概念及性質(zhì)實(shí)現(xiàn)高效認(rèn)識,以此對函數(shù)的未知性質(zhì)進(jìn)行挖掘,從而使學(xué)生的解題思路更加靈活化.
例4 已知log2(-x) 圖4 解析本試題將代數(shù)作為出發(fā)點(diǎn),就很容易出現(xiàn)思維卡殼,此時,則可融入學(xué)生相對熟悉與常用的數(shù)形結(jié)合,對問題難度進(jìn)行瓦解,實(shí)現(xiàn)解題思路的簡化.如圖4所示,在解題的時候,可先作出函數(shù)y=log2(-x)與函數(shù)y=x+1的圖象,由題意log2(-x) 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,在對方程個數(shù)進(jìn)行求解的時候,是最適合使用數(shù)形結(jié)合思想的.通常情況,在具體的方程個數(shù)求解教學(xué)中,教師可指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù),并將其圖形繪制出來.當(dāng)繪制完成之后,題目也隨之解決. 例5 方程ax-x-a=0,已知a的取值范圍是(1,+),方程有幾個解? 圖5 分析如果學(xué)生從正面對其進(jìn)行求解,存在極大的難度,不僅僅浪費(fèi)了大量的時間,還會導(dǎo)致學(xué)生在求解的過程中,出現(xiàn)多種錯誤.在這種情況下,教師可指導(dǎo)學(xué)生將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=ax和y=x+a,借助圖5的形式,將函數(shù)之間的關(guān)系直觀、形象地描繪出來,從而根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)即可確定幾個解,進(jìn)而幫助學(xué)生對其進(jìn)行解決.如此一來,學(xué)生無需花費(fèi)大量的時間和精力,在極短的時間內(nèi),即可對其進(jìn)行有效的解答.同時,也在很大程度上避免了錯誤的發(fā)生率. 綜上所述,數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用,以數(shù)助形更能夠幫助學(xué)生找出其中的數(shù)學(xué)規(guī)律和答案,降低學(xué)生思考的難度,實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題的有效性.高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中,應(yīng)該將數(shù)形結(jié)合思想滲透到各種數(shù)學(xué)問題的分析和解決中,讓學(xué)生能夠靈活地進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想的要點(diǎn)及應(yīng)用范圍,提高學(xué)生靈活解題的能力和數(shù)學(xué)思想應(yīng)用能力,實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).五、基于數(shù)形結(jié)合思想的方程問題解題