徐忠平

(山東省招遠第一中學，山東 招遠 265400)

1 試題重現(xiàn)

原題.如圖1所示,一傾角為θ的固定斜面的底端安裝一彈性擋板,P、Q兩物塊的質(zhì)量分別為m和4m,Q靜止于斜面上A處.某時刻,P以沿斜面向上的速度v0與Q發(fā)生彈性碰撞．Q與斜面間的動摩擦因數(shù)等于tanθ,設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.P與斜面間無摩擦,與擋板之間的碰撞無動能損失,兩物塊均可以看作質(zhì)點,斜面足夠長,Q的速度減為0之前P不會與之發(fā)生碰撞,重力加速度大小為g．

圖1

(1) 求P與Q第一次碰撞后瞬間各自的速度大小vP1、vQ1;

(2) 求第n次碰撞使物塊Q上升的高度hn;

(3) 求物塊Q從A點上升的總高度H;

(4) 為保證在Q的速度減為0之前P不會與之發(fā)生碰撞,求A點與擋板之間的最小距離s．

命題意圖:本題考查了完全彈性碰撞中動量與能量觀點的應用,同時考查了應用牛頓第二定律與動力學觀點解題的能力,需要考生有較強的邏輯思維能力與嚴謹性．本題滲透了較多數(shù)學知識,需要考生具有扎實的數(shù)學基礎,同時考驗了考生的計算能力．

試題特點:本題應用了高中物理教學中常見的幾個模型:完全彈性碰撞模型、斜面模型等．題目整體解題思路容易尋找,但對考生思維能力要求較高,需要考生有清晰的邏輯與嚴謹?shù)耐评碛嬎悴拍軐⑵湔_解出,計算量較大．

2 解題中的數(shù)學思維方法

(1) 求P與Q第一次碰撞后瞬間各自的速度大小vP1、vQ1.

該問考查完全彈性碰撞模型,以P的初速度方向為正方向.

由動量守恒定律得

mv0=mvP1+4mvQ1.

(1)

由機械能守恒定律得

(2)

聯(lián)立(1)、(2)式解得

(3)

(4)

(2) 求第n次碰撞使物塊Q上升的高度hn.

解法1：數(shù)學歸納法.

設第1次碰撞后Q上升的高度為h1，對Q由運動學公式得

(5)

聯(lián)立(1)、(2)、(5)式得

(6)

設P運動至與Q剛要發(fā)生第2次碰撞前的位置時速度為v02，第一次碰后至第2次碰前，對P由動能定理得

(7)

聯(lián)立(1)、(2)、(5)、(7)式得

(8)

P與Q的第2次碰撞，設碰后P與Q的速度分別為vP2、vQ2，第2次碰撞后Q上升的高度為h2,P運動至與Q剛要發(fā)生第3次碰撞前的位置時速度為v03,理同第一次碰撞得

(9)

(10)

(11)

(12)

P與Q的第3次碰撞:設碰后P與Q的速度分別為vP3、vQ3,第3次碰撞后Q上升的高度為h3，同理得

(13)

(14)

(15)

該方法通過計算前幾次碰撞后物塊Q上升的高度，得出物塊Q上升的高度成等比數(shù)列，最終求出hn.或者也可根據(jù)物塊P碰前速度的等比關(guān)系求出第n次碰撞前物塊P的速度，再通過物塊P碰前速度與物塊Q碰后上升高度的關(guān)系求解物塊Q第n次碰撞后上升的高度,相對而言計算量較少.而該方法思維方法較為簡便，計算量較大，較為耗費時間且對考生計算能力要求較高..

解法2：遞推公式法.

設第n次碰撞后物塊P的速度為vPn，物塊Q的速度是vQn,第n次碰前物塊P的速度為vn.

對物塊P、Q第n次碰撞，由動量守恒定律得

mvn=mvPn+4mvQn.

(16)

由機械能守恒定律得

(17)

聯(lián)立(16)、(17)式得

(18)

(19)

對物塊P從第n-1次碰撞位置到第n次碰撞位置，由動能定理得

(20)

對物塊Q第n次碰撞后到靜止，由動能定理得

(21)

(3) 求物塊Q從A點上升的總高度H.

解法1：等比數(shù)列求和公式.

解法2：動能定理法.

當P、Q達到H時，兩物塊到此處的速度可視為0，對兩物塊運動全過程由動能定理得

對于本題來說，由于第2問中需要求解hn，得到hn為等比數(shù)列，故在第3問中需要求H.即hn的和時，使用等比數(shù)列求和公式是較為自然的思路，運算量較小，容易得到正確結(jié)果，而若是使用動能定理法，可能有些考生由于思維不夠嚴謹，對物塊Q上升H后兩物塊所處的運動狀態(tài)分析不清，導致出現(xiàn)錯誤.若是沒有第2問的鋪墊，直接求解物塊Q上升的高度，則認真對兩物塊的最終運動狀態(tài)進行分析，再使用動能定理法更為簡便.

(4) 為保證在Q的速度減為0之前P不會與之發(fā)生碰撞，求A點與擋板之間的最小距離s.

由分析可得，隨著碰撞次數(shù)增加，碰后物塊Q的速度減小，減速到0所用時間減少，而物塊P距離底部擋板距離增大，碰后速度減小，返回至斜面上與物塊Q碰撞所用時間增大，故要使物塊P在物塊Q的速度減為0之前不會與之發(fā)生碰撞，只需第1次碰撞后在物塊Q的速度減為0之前物塊P不會與之發(fā)生碰撞.

設Q第1次碰撞至速度減為0需要的時間為t1，由運動學公式得vQ1=2gt1sinθ.設P運動到斜面底端時的速度為v，需要的時間為t2，由運動學公式得

v=vP1+gt2sinθ，v2-vP12=2gsinθ.

設P從A點到Q第1次碰后速度減為0處勻減速運動的時間為t3，

v02=(-vP1)-gt3sinθ.

當A點與擋板之間的距離最小時，

t1=2t2+t3.

3 教學思考與啟示

3.1 重視模型

3.2 培養(yǎng)對多物體多過程題目的分析能力

本題涉及兩個物塊，碰撞、勻變速直線運動等多個過程，需要理清物塊在不同位置不同時刻的速度、受力、運動狀態(tài)，容易出現(xiàn)在某個過程有些點沒有注意或重復計算、受力狀態(tài)分析不清、相對空間位置混亂等問題.為此，需要培養(yǎng)學生條理分析每個過程的能力，養(yǎng)成每個狀態(tài)畫受力分析圖、相對位置關(guān)系圖的習慣，減少受力分析時出現(xiàn)的錯誤，使各個物體之間的相對位置關(guān)系更加清晰、直觀.同時規(guī)范符號的角標，明晰其代表的含義，規(guī)范思路的嚴謹性.

3.3 培養(yǎng)一道題研究多種解法的習慣

高考是限時答題，考生在平時的訓練中不應只滿足于會做題，而應當在已經(jīng)解出答案的基礎上繼續(xù)思考：是否能從另外的角度入手解題，哪種觀點更適合用于解決該類問題，如何能夠更加快捷地解出這個問題，如果換了問題的問法是否另一種方法就會變得簡便.只有在平常的訓練中保持這樣思考的習慣，才能在考試時迅速地找到解決方法，迅速且準確地解決問題，有足夠的時間完成有能力解決的題.

3.4 加強數(shù)學知識的應用

在高中物理教學中，要培養(yǎng)學生將數(shù)學方法與物理思維有機融合的能力，需要做到兩點：一是對初高中所學數(shù)學知識熟練掌握，在教授學生時，引導學生使用某些數(shù)學方法，而不是對涉及到數(shù)學知識的部分避而不談；二是培養(yǎng)學生從物理問題中抽象出數(shù)學問題的能力，在求解物理問題時，使用物理規(guī)律將各物理量間的關(guān)系列出后，然后利用函數(shù)、方程等數(shù)學知識求解，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.如2020年山東高考物理題的第18題(2)便是利用動能定理，動量守恒，機械能守恒等規(guī)律列出各物理量間規(guī)律，然后運用數(shù)學知識得出hn與hn-1間的遞推公式，從而求解.

在物理的學習中，數(shù)學是必不可少的一樣工具，但數(shù)學在物理中的應用，并不只限于數(shù)據(jù)的計算與處理，還包括運用數(shù)學中的公式定理對運算進行簡化，使用學到的數(shù)學知識從另一個角度更加簡便地解決物理中的難題，將學習數(shù)學時的思維方法遷移到物理的學習中，另辟蹊徑，找到更加簡單的解題方法.

例題.一簡諧橫波沿x軸正向傳播，圖2(甲)是t=0時刻的波形圖，圖2(乙)是介質(zhì)中某質(zhì)點的振動圖像，0時刻該質(zhì)點的振動位移為-0.1 m，2 s在平衡位置處，則波的傳播速度為

圖2

(C) 0.8 m/s. (D) 1.5 m/s.