李佳晶，周林華

(長春理工大學理學院，吉林 長春 130022)

0 引言

霍亂是一種急性腸道傳染病，盡管人們在努力限制其傳播，但它仍可引起暴發(fā)和大流行[1-5].其傳播方式在小范圍內主要是接觸傳播，而在大范圍內傳播時主要的傳播方式是水流傳播，特別是在衛(wèi)生條件差的地方水流極易受到污染而增加霍亂的發(fā)生率.人們對霍亂普遍易感，病后可獲得一定免疫力.近年來，一些地方出現(xiàn)了霍亂暴發(fā)，包括海地(2010—2011年)、喀麥隆(2010—2011年)、肯尼亞(2010年)等[6].霍亂因其高致病性和快速傳播性，成為全球公共衛(wèi)生和疾病防控體系最為關注的疾病之一.

鑒于流行病的特殊性，對流行病的研究不可能借助于實驗的手段，所以對其通過理論分析和模擬仿真來進行研究就顯得尤為重要.近年來傳染病微分方程模型被廣泛應用到控制傳染病流行的研究中，包括對霍亂的建模研究[7-21].Chao等[7]對海地霍亂暴發(fā)建立了隨機模型，分析了疫苗接種策略的影響.Eisenberg等[12]提出了一個多組模型來解釋海地霍亂的傳播，并確定最佳控制干預措施，但在證明地方病平衡點時模型只考慮了群體間的直接傳遞，忽略了群體間的間接傳遞.上述模型的分析在很大程度上依賴于數(shù)值模擬.Eisenberg等[13]建立了霍亂傳播的常微分方程模型，該模型包含直接和間接傳播、非線性發(fā)病率、病原體的多重感染狀態(tài)和感染個體的多重感染階段，其結果包含和擴展了許多先前的結果.

近年來關于霍亂模型的研究，就建模而言考慮的艙室對象均是在不可約網絡結構下的相關研究.然而，疾病的傳播往往是在各種復雜網絡系統(tǒng)之間進行，而對于可約網絡結構下的霍亂傳染病動力學建模與分析，至今沒有發(fā)現(xiàn)相應的結果.本文將在可約網絡結構下，考慮兩區(qū)域的SIR霍亂傳染病動力學模型及其穩(wěn)定性分析.

1 海地霍亂傳播動力學建模

1.1 相關背景

2010年海地大面積暴發(fā)霍亂.疫情最初暴發(fā)于阿蒂博尼特地區(qū)并且迅速向海地西部等周邊地區(qū)蔓延.在阿蒂博尼特地區(qū)主要考慮3個受感染的城市，它們分別為Gona?ves、Saint-Marc和Dessalines；在海地西部同樣考慮3個受感染的城市，分別為Arcahaie、Léogne和Croix-des-Bouquets.其中Gona?ves市的霍亂細菌沿MEYE支流流入Léogne，Saint-Marc市的霍亂細菌沿MEYE支流分別流入Arcahaie市和Croix-des-Bouquets市.海地地圖和兩個地區(qū)中不同城市的代表點具體見圖1和表1.

圖1 海地地圖

表1 城市對應點

1.2 模型的建立

(1)

1.3 模型的約化

由可約矩陣定義，存在置換矩陣Q，使得

(2)

其中：Clk×lk是非負不可約矩陣；Al2×l1是非負矩陣.這里l1=l2=3，k=1，2.于是，模型(1)約化為

(3)

由文獻[26]的Next-Generation方法，令

則模型(3)的基本再生數(shù)為R0=ρ(M0)，其中ρ表示譜半徑.

由接觸矩陣B的形式，可將模型(3)分解為Cl1×l1和Cl2×l2兩個子系統(tǒng)，分別滿足：

(4)

(5)

當4≤i，j≤6時，Cl2×l2的子系統(tǒng)分下述兩種情形：

當滿足情形1時，Cl2×l2的子系統(tǒng)為

(6)

當滿足情形2時，Cl2×l2的子系統(tǒng)為

(7)

2 平衡點穩(wěn)定性及證明

2.1 系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性

引理2.1設B=(βij)(1≤i，j≤3)是不可約矩陣.

引理2.2設B=(βij)(4≤i，j≤6)是不可約矩陣.

定理2.3設B=(βij)是可約矩陣，R0>1.

由文獻[22]的命題3.1和定理3.3知，本文上述引理2.1與引理2.2是成立的.同時，若定理2.1成立，則易得定理2.2與定理2.3.因此，下面重點構造Lyapunov函數(shù)以證明定理2.1.

2.2 定理2.1的證明

由于變量Ri沒有出現(xiàn)在模型(7)的前兩個方程中，所以考慮以下簡化系統(tǒng)：

(8)

易知模型(8)的可行域為

(9)

并且

(10)

構造模型(8)的李雅普諾夫函數(shù)

根據(jù)平衡點性質，以下等式成立：

(11)

于是，沿系統(tǒng)(8)的解曲線對李雅普諾夫函數(shù)求導可得

(12)

(13)

所以

(14)

其中：D(3；l)表示具有長度為l的定向循環(huán)的3個頂點的所有單圈圖的集合；CQ是在單圈圖Q屬于D(3；l)中具有長度為l的定向循環(huán)；E(CQ)和E(Q)分別代表CQ和Q中的弧.由文獻[22]有

(15)

進一步結合(14)和(15)式可得V′≤0.

3 數(shù)值模擬

表2 參數(shù)取值及變量初值

(1) 無病平衡點情形

(a)第1組第2組

(2) 地方病平衡點情形Ⅰ

(a)第1組第2組

(3) 混合平衡點情形

(a)第1組第2組

(4) 地方病平衡點情形Ⅱ

(a)第1組第2組

圖2—5中，I1，I2，I3代表3群體中第一組的染病者，I4，I5，I6代表3群體中第二組的染病者.

本文表明兩組SIR模型的全局漸近行為完全由基本再生數(shù)R0的大小確定.但和以往不同的是，在該結果中即使R0≤1也可能使霍亂疾病發(fā)生.因此對于霍亂疾病，除了要嚴格隔離治療病人和帶菌者外，還要杜絕人們喝生水、用生水浸泡蔬菜等習慣，防止外來霍亂細菌的入侵.