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        關(guān)于不定方程組x2-18y2=1與y2-bz2=16的公解

        2021-01-13 04:46:22
        關(guān)鍵詞:素數(shù)正整數(shù)方程組

        瞿 云 云

        (貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550001)

        1 主要結(jié)論

        近年來,關(guān)于不定方程組x2-ay2=k與y2-bz2=l(a,b∈Z+,k,l∈Z)的公解問題一直受到人們關(guān)注.當(dāng)(k,l)=(1,1)時,文獻(xiàn)[1]證明了當(dāng)a,b是不同的非零正整數(shù)時,x2-ay2=1與y2-bz2=1有至多3組正整數(shù)解(x,y,z);文獻(xiàn)[2]證明了當(dāng)a=4m(m+1),m,b∈Z+時,x2-ay2=1與y2-bz2=1至多有1組正整數(shù)解(x,y,z);文獻(xiàn)[3]證明了當(dāng)a=4m2-1,m,b∈Z+時,此方程組至多有1組正整數(shù)解(x,y,z);文獻(xiàn)[4]得到了對于任意的素數(shù)p,x2-24y2=1與y2-pz2=1僅有正整數(shù)解(x,y,z,p)=(49,10,3,11),(485,99,70,2).當(dāng)(k,l)=(1,4)時,文獻(xiàn)[5]討論了a=2,b=p或pq(p,q是不同的素數(shù))的情形.當(dāng)(k,l)=(1,16),a=18時,文獻(xiàn)[6]討論了b=2p1…ps(1≤s≤4),p1,…,ps是互異的奇素數(shù)的情形;文獻(xiàn)[7]討論了b=2n,n∈Z+的情形.本文討論了b=p(p為任意素數(shù))或b=pq(p

        定理1若p為任意素數(shù),則不定方程組

        x2-18y2=1與y2-pz2=16

        (1)

        只有平凡整數(shù)解(x,y,z)=(±17,±4,0).

        定理2若p,q(p

        x2-18y2=1與y2-pqz2=16

        (2)

        除開對于任意素數(shù)p,q有平凡整數(shù)解(x,y,z)=(±17,±4,0)外,有1組非平凡整數(shù)解(x,y,z)=(±19 601,±4 620,±136),此時p=2,q=577.

        2 若干引理

        引理1[8]設(shè)k>1是一個整數(shù)且k≠169,除開k=2v2,v∈Z的情形,方程x2-(k2-1)y4=1有另一正整數(shù)解(x,y)=(8v4-1,2v)之外,此方程僅有正整數(shù)解(x,y)=(k,1).

        引理2[9]設(shè)b,d>1都是非平方的整數(shù),方程b2x4-dy2=1至多有1組正整數(shù)解(x,y).

        引理4(1) 不定方程x2-332 928y4=1僅有正整數(shù)解(x,y)=(577,1);

        (2) 不定方程x2-288y4=1僅有正整數(shù)解(x,y)=(17,1);

        (3) 不定方程32X4-2Y2=1僅有正整數(shù)解(X,Y)=(1,2);

        (4) 不定方程X2-8Y4=1除開(X,Y)=(3,1)外,無其他正整數(shù)解;

        (5) 不定方程172X4-2Y2=1僅有正整數(shù)解(X,Y)=(1,12);

        (6) 不定方程X4-2Y2=1不存在正整數(shù)解.

        證明(1) 332 928=5772-1,由引理1可知命題成立.

        (2) 288=172-1,由引理1可知命題成立.

        (3) 方程32X4-2Y2=1有1組正整數(shù)解(X,Y)=(1,2),由引理2可知命題成立.

        (4) 由文獻(xiàn)[11]中引理可知命題成立.

        (5) 方程172X4-2Y2=1有1組正整數(shù)解(X,Y)=(1,12),由引理2可知命題成立.

        其中:ε=γ2,η=δ2.則xn,yn,un,vn具有如下性質(zhì):

        (1)yn-1=17yn-4xn,yn+1=17yn+4xn,yn+2=577yn+136xn.

        (2)y2n≡0(mod136),y4n+1≡4(mod136),y4n-1≡132(mod136).

        (3) 當(dāng)n是奇數(shù)時,(yn-1,yn+1)=136;當(dāng)n是偶數(shù)時,(yn-1,yn+1)=4.

        (6)u2m-1≡0(mod3),v2m-1≡0(mod2),u4m-2≡0(mod17),v4m-2≡0(mod12),v4m≡0(mod204),m∈Z+.

        證明Pell方程x2-18y2=1,x2-2y2=1的全部非負(fù)整數(shù)解為(xn,yn),(un,vn),n≥0,由數(shù)列xn,yn,un,vn的性質(zhì)可得到性質(zhì)(1)—(2),(6)—(7).

        (3) 當(dāng)n是奇數(shù)時,令n=2k+1,則由性質(zhì)(1)—(2)有

        (yn-1,yn+1)=(y2k,y2k+2)=(y2k,577y2k+136x2k)=(y2k,136)=136;

        當(dāng)n是偶數(shù)時,令n=2k,則由性質(zhì)(1)—(2)有

        (yn-1,yn+1)=(y2k-1,y2k+1)=(y2k-1,577y2k-1+136x2k-1)=(y2k-1,136)=4.

        (5) 由于

        3 定理的證明

        定理1的證明Pell方程x2-18y2=1的全部非負(fù)整數(shù)解為(xn,yn),n≥0.設(shè)(xn,yn,z)為方程組(1)的非負(fù)整數(shù)解,由引理5性質(zhì)(4)可知,

        (3)

        (4)

        (5)

        其中z=z1z2.

        (6)

        (7)

        其中z=z1z2.

        定理2的證明Pell方程x2-18y2=1的全部非負(fù)整數(shù)解為(xn,yn),n≥0.設(shè)(xn,yn,z)為方程組(2)的非負(fù)整數(shù)解,由引理5性質(zhì)(5)可知

        (8)

        情形1n為偶數(shù).令n=2m,m>0,于是由引理5性質(zhì)(6)及(8)式可得

        (9)

        情形2n為奇數(shù).令n=2m+1,m≥0,于是由引理5性質(zhì)(6)及(8)式可得

        (10)

        當(dāng)m=0時,由(10)式可得方程組(2)的平凡整數(shù)解(x,y,z)=(±17,±4,0);當(dāng)m>0時,對m分奇數(shù)與偶數(shù)兩種情形進(jìn)行討論.

        當(dāng)m=2k-1,k≥1時,由(10)式得

        (11)

        當(dāng)m=2k,k≥1時,由(10)式得

        (12)

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