梁艷

摘 要：文章探討了隨參數變化的線性參數變化（Linear Parameter-Varying）系統(tǒng)的魯棒峰值—峰值濾波問題，這類系統(tǒng)的狀態(tài)空間矩陣是實時可測且在閉集上變化的時變參數的仿射函數。針對給定的LPV系統(tǒng)，建立使濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且具有峰值—峰值性能的約束條件。通過引入附加矩陣以及應用投影引理，消除了參數依賴Lyapunov函數矩陣和系統(tǒng)矩陣之間的乘積項，推導出此系統(tǒng)解耦的魯棒峰值—峰值性能準則。在此基礎上，筆者根據參數線性矩陣不等式技術設計該系統(tǒng)魯棒峰值—峰值濾波器，利用近似基函數和網格方法將濾波器的設計，轉化為有限維的參數線性矩陣不等式凸優(yōu)化求解問題。最后，用數值仿真驗證所提出方法的可行性。

關鍵詞：線性參數變化系統(tǒng);魯棒濾波;峰值—峰值性能;參數依賴Lyapunov函數

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A 文章編號：1674-1064（2021）12-00-03

DOI：10.12310/j.issn.1674-1064.2021.12.002

線性參數變化（Linear Parameter-Varying）系統(tǒng)是一類重要的時變系統(tǒng)，能夠描述動態(tài)系統(tǒng)中存在的非線性和時變特性。近年來，LPV系統(tǒng)理論隨著增益調度控制技術[1-2]的成熟得到了飛速發(fā)展，廣泛應用在工業(yè)、通訊、航天等多個領域。對這類LPV系統(tǒng)的研究成為控制領域關注的熱點，而與增益調度控制相對偶的濾波問題是目前研究的棘手問題。濾波是依據可以測量到的輸出信號對系統(tǒng)內部的不可測量的信號進行估計[3-4]，設計滿足一定要求的濾波器具有重要的理論意義。目前，對LPV系統(tǒng)的濾波問題主要集中在魯棒H∞（只要求能量有界）濾波[5]的問題上。而在自然界中，系統(tǒng)經常受到來自外部持續(xù)有界擾動作用，比如飛機飛行振動控制系統(tǒng)、海洋結構物承受風力或規(guī)則海浪波的正弦干擾力作用等。針對這種情況，即輸入不是能量有界的信號，而是峰值有界的信號，要求輸出信號也不是能量有界的，而是要保證峰值有界。顯然，此時選峰值—峰值性能指標是必要的，研究在更一般意義下的擾動系統(tǒng)的濾波問題，具有重要現實意義。

文章針對線性參數變化系統(tǒng)，研究了魯棒峰值—峰值濾波問題。首先基于參數依賴Lyapunov函數思想，得出濾波誤差系統(tǒng)的峰值—峰值性能判據，應用近似基函數和網格技術，將濾波器的設計轉化為有限維的參數線性矩陣不等式的求解問題。針對峰值有界的外界擾動信號，濾波誤差系統(tǒng)的噪聲抑制水平小于一定值，最后用數值仿真驗證所提出方法的可行性。

1 問題描述

考慮如下的線性參數變化系統(tǒng)（LPV）：

x·（t）=A（ρ（t））x（t）+B（ρ（t））ω（t）

y（t）=C（ρ（t））x（t）+D（ρ（t））ω（t） ? ?（1）

z（t）=G（ρ（t））x（t）

其中，x（t）∈Rn是狀態(tài)變量;y（t）∈Rm是測量輸出;z（t）∈Rp是要估計的信號;ω（t）∈Rq是擾動輸入;假定在系統(tǒng)（1）中的矩陣A（·），B（·），C（·），D（·），G（·）為時變參數ρ（t）的函數，參數向量ρ（t）=[ρ1（t），ρ2（t）...ρs（t）]T滿足ρi（t）實時可測，以下用ρ和ρi代表ρ（t）和ρi（t），且ρi（t）∈[ρi，ρi]以及參數變化率τi（t）∈[τi，τi]。

構造如下形式的依賴于參數的濾波器：

x·f （t）=Af （ρ）xf （t）+Bf （ρ）y（t）

zf （t）=Cf （ρ）xf（t） （2）

xf （0）=0

則濾波器誤差系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

ξ·（t）=A（ρ）ξ（t）+B（ρ）ω（t）

e（t）=C（ρ）ξ（t） （3）

其中：ξ（t）=[xT（t） xTf（t）]T，e（t）=z（t）-zf（t），且：

，，

（4）

為了求取（2）形式的濾波器，要保證有以下兩個條件成立：

（a）濾波誤差系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定;

（b）在零初始條件下，對于所有非零ω∈L∞[0，∞），濾波誤差系統(tǒng)（3）具有給定的峰值—峰值擾動抑制水平γ（即‖Teω‖L1<γ，其中Teω是輸入ω（t）到輸出e（t）映射算子）。定義：

其中：

‖Teω‖L1對應是Teω的最大峰—峰增益。滿足以上兩個條件的濾波器，被稱為魯棒峰值-峰值濾波器。

2 峰值—峰值性能準則

在這一部分中，筆者將建立魯棒峰值—峰值性能準則，以保證濾波誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定地具有峰值—峰值性能約束。

定理1：考慮濾波誤差系統(tǒng)（3），給定μ∈R+，對于任意時刻t確定ρ（t），系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且具有峰值—峰值噪聲抑制水平的γ的充分條件是，存在正定對稱矩陣P（ρ）∈Rn×n滿足：

（5）

（6）

證明：針對濾波誤差系統(tǒng)（3）選定參數依賴Lyapunov函數：V（t）=ξT（t）P（ρ）ξ（t）

其中，P（ρ）是實對稱參數正定矩陣，求V（ξt，ρ）的時間導數：

V·（ξt，ρ）=ξT（t）〔AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+P·（ρ）〕ξ（t）+2ξT（t）P（ρ）BT（ρ）ω（t）=ξT（t）〔AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+ΣS （τi? ）〕ξ（t）+2ξT（t）P（ρ）BT（ρ）ω（t） （7）

選取Ψ（t）=[ξT（t） ωT（t）]T，由（7）可得：

V·（ξt，ρ）=ΨT（t）ΔΨ（t）+μwT（t）w（t）

? =ΨT（t）ⅡΨ（t）+μwT（t）w（t）-μV（ξt，ρ）

其中：

Δ=

Ⅱ= AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+μP（ρ）+ΣS? （τi? ） P（ρ）B（ρ） （8）

不等式（8）等價于不等式（5），則保證Ⅱ<0，這樣就可得到：

V·（ξt，ρ）<μwT（t）w（t）-μV（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

對于所有Ψ（t）≠0和ω（t）=0，不等式（9）意味V·（t）<0，因此濾波誤差系統(tǒng)（3）是漸近穩(wěn)定的。

定義?={ξ：V（ξt，ρ）≤1}，對于濾波誤差系統(tǒng)（3）的狀態(tài)ξ（t），當滿足‖ω（t）‖L∞≤1和零初始條件（即V（ξt，ρ）|t=0=0）時，下面在以下兩種條件下分別討論（9）式：

（a）對于V·（ξt，ρ）≥0，根據式（14）容易得出V（ξt，ρ）<ωT（t）ω（t）;

（b）對于V·（ξt，ρ）<0，由于V（ξt，ρ）|t=0=0，得出t>0，V（ξt+，ρ）<V（ξt，ρ）。如果在第一個條件下V（ξt，ρ）小于1，那么在第二個條件下，V（ξt，ρ）不會達到1。根據以上討論，得出?是不變集。定義：

f（t）=‖C（ρ）ξ（t）‖22-μξT（t）P（ρ）ξ（t）-（γ-μ）ωT（t）ω（t）

= ξ （t） CT（ρ）C（ρ）-μP（ρ） 0 ξ （t）

= ω（t） 0 -（γ-μ）I ω（t）

根（6）由Schur補引理f（t）<0，進一步得：

‖C（ρ）ξ（t）‖22<γ[μξT（t）P（ρ）ξ（t）+（γ-μ）ωT（t）ω（t）]（10）

由于V（ξt，ρ）≤1意味著ξT（t）P（ρ）ξ（t）<1，對于所有的‖ω（t）‖L∞≤1，根據式（10）得出‖C（ρ）ξ（t）‖22≤γ2ωT（t）ω（t），進一步得到sup‖e（t）‖L∞<γ。定理得證。

注1：當變量μ確定常數時，條件（6）是參數線性矩陣不等式。而式（5）實際為參數ρ（t）的非線性矩陣不等式。另外，根據不等式（5）需要保證：

AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+μP（ρ）+ΣS? （τi? ） <0

則為了保證不等式（5）的正定解存在，α必須位于下面的區(qū)間內，即：

0<α<-2max Re（λ（A（ρ））-max Re（τi? ）

因此，峰-峰增益的上確界γ的最小值依賴于μ的選擇，為了獲得更緊的γ界，需要執(zhí)行μ的一個線性搜索。

式（5）中含有Lyapunov函數矩陣與系統(tǒng)矩陣之間的耦合，為了解決這個問題，通過引進附加矩陣來達到解耦的目的，從而得到下面的定理2。

3 魯棒峰值—峰值濾波器的設計

下面根據解耦之后的峰值—峰值性能準則，提出了一種有效的魯棒濾波器的設計方法。

定理2：考慮LPV系統(tǒng)（1）具有（2）形式的濾波器，給定標量μ，γ∈R+，對于所有的參數變化軌跡，如果存在連續(xù)可微的對稱正定矩陣P（ρ）∈Rn×n和一般的矩陣：R∈Rn×n，F∈Rn×n，U∈Rn×n以及AF（ρ）∈Rn×n，BF（ρ）∈Rn×m，CF（ρ）∈Rp×n使得不等式（11）和（12）成立。

-R-RT -F-UT Σ13 Σ14 Σ15 RT UT

* -U-UT Σ23 Σ24 Σ25 FT UT

* * Σ33 Σ34 0 0 0

* * * Σ44 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? <0（11）

* * * * -μI 0 0

* * * * * -P11（ρ） -P12（ρ）

* * * * * * -P22（ρ）

-μP11（ρ） -μP12（ρ） 0 GT（ρ）

* -μP22（ρ） 0 -CTf （ρ）

* * -（γ-μ）I 0

* * * -γI

其中：

Σ13= -P11（ρ）+RTA（ρ）+Bf （ρ）C（ρ） ? Σ23=PT12（ρ）+FTA（ρ）+Bf （ρ）C（ρ）

Σ33= -P11（ρ）+μP11（ρ）+Σsi=1（τi? ） Σ14=P12（ρ）+Af （ρ）

Σ34= -P12（ρ）+μP12（ρ）+Σsi=1（τi? ） Σ24=P22（ρ）+Af （ρ）

Σ44= -P22（ρ）+μP22（ρ）+Σsi=1（τi? ） Σ15=RTB（ρ）+Bf （ρ）D（ρ）

Σ25=FTB（ρ）+Bf （ρ）D（ρ）

若上述的參數線性矩陣不等式（11）和（12）有可行解，則濾波器的參數矩陣可由下式給出：

Af （ρ） Bf （ρ） U -T 0 Af （ρ） Bf （ρ）

Cf （ρ） 0 ? ?* I ? ? Cf （ρ） 0

證明：若存在濾波器矩陣Af （ρ），Bf （ρ），Cf （ρ）以及P（ρ）>0滿足不等式（6）和（11），為不失一般性，首先對定理2中的V和P（ρ）寫成如下的分塊形式：

P（ρ）= P11（ρ） P12（ρ） ，V=V1 V2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

PT12（ρ） P22（ρ） ? ? ? ?V=V3 V4

假設V3和V4可逆，定義矩陣：

J= I ? ?0? ? ? ? （15）

* V -14V3

P（ρ）=J TP（ρ）J= P11（ρ） P12（ρ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

P（ρ）=J TP（ρ）J= PT12（ρ） P12（ρ）

那么J可逆，用diag{J J I J}和diag{J I I}對（11）和（6）式進行全等變換，這樣得到的參數矩陣不等式為：

-JT（V+VT）J JT（P（ρ）+VTA（ρ））J JTVTB（ρ） JTVTJ

* JT{-P（ρ）+μP（ρ）+Σsi=1 （τi? ）}J 0 ? 0

*? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * -μI ? ?0

*? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? * ? ? ? ?* -JTP（ρ）J

-α JTP（ρ）J 0 JTCT（ρ）

*? ? ? ? ? ? ? ?-（γ-μ）I 0 <0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（18）

*? ? ? ? ? ? ? ? ?*? ? ? ? ? ? ? -γI

將（4）、（14）和（15）、（16）帶入上面兩式得到：

JTVJ= V1 V2V4-1V3

V3TV4-TV3 ? V3TV4-TV3

JTVTA（ρ）J= ? ? ?V1TA（ρ）+V3TBf （ρ）C（ρ） ? ?V3TAf （ρ）V4-1V3

V3TV4-TV2TA（ρ）+V3TBf （ρ）C（ρ） V3TAf （ρ）V4-1V3

JTVTB（ρ）= ? ? ? V1TB（ρ）+V3TBf （ρ）D（ρ）

V3TV4-TV2TB（ρ）+V3TBf （ρ）D（ρ）

JTCT（ρ）=? ? ? ? ? ? GT（ρ）

-V3TV4-TCfT（ρ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （19）

定義：Af （ρ） Bf （ρ） = V3T 0 Af （ρ） Bf （ρ） V4-1V3 0

Cf （ρ） 0 0 I Cf （ρ） 0 0 I

R=V1，F=V2V4-1V3，U=V3TV4-TV3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （20）

再將式（19）和（20）帶入（17）和（18），便可得到式（11）和（12）。

濾波器（13）從y（t）到zf（t）的傳遞函數表示為Tzfy=Cf （ρ）（s I-Af （ρ））-1Bf （ρ）

將式（20）中的濾波器參數矩陣代入上式，得到：

Tzfy=Cf （ρ）V3-1V4[s I-V3-TAf （ρ）V3-1V4]-1V3-TBf （ρ）

Tzfy=Cf （ρ）[s I-V3-1V4V3-TAf （ρ）]-1V3-1V4V3-TBf （ρ）

所以Cf （ρ）=Cf （ρ），Af （ρ）=U-TAf （ρ），Bf （ρ）=U-TBf （ρ）。

由此得到，滿足要求的濾波器（2）的參數矩陣可由（13）式得到。

4 數值算例

考慮形如（1）的LPV系統(tǒng)，已知如下參數矩陣：

A（ρ）=? ? 0 2+0.2ρ1（t）? ，B（ρ）=? ? ?0.2ρ1（t）? ? ?，D（ρ）=0.2+0.1ρ1（t）

-3 -4+0.1ρ1（t） 0.1+0.1ρ1（t）

C（ρ）=[0.8+0.2ρ1（t） 0.2-0.1ρ1（t）]，G（ρ）=[-0.2+0.1ρ1（t）

0.3+0.1ρ1（t）]

其中：ρ1（t）=sin（t）和ρ2（t）=|cos（t）|為時變參數，滿足ρ1（t）∈[-1，1]，ρ2（t）∈[-1，1]。根據文獻中的近似基函數和網格技術，將定理2中（11）和（12）中的無限維線性矩陣不等式，轉化為有限維線性矩陣不等式組，選取基函數：

F1（ρ）=1，F2（ρ）=ρ1（t），F3（ρ）=ρ2（t）

于是有：Y（ρ）=Y1+ρ1（t）Y2+ρ2（t）Y3

應用Matlab線性矩陣不等式工具箱，可得L1噪聲抑制水平的γ=0.6328，μ=0.3245，以及可求得峰值—峰值濾波器參數：

Af （ρ）= -0.8563 2.3085 + 1.0503 -0.0734 ρ 1（t）+ 0.7526 -0.2612 ρ 2（t）

Af （ρ）= -2.8083 -3.9954 + 0.1606 ? ?0.0677 ρ 1（t）+? ? 0.2345 -0.0761

Bf（ρ）= 0.6988 + -1.2181 ρ1（t）+ -0.5960 ρ2（t）

Bf（ρ）= -0.3224 ? -0.2966 ρ1（t）+ -0.1585

Cf（ρ）=[0.1987 -0.2904]+[-0.0992 -0.0977]ρ1（t）+[-0.0022 0.0002]ρ2（t）

若取外部的擾動為w（t）=e-2t，濾波誤差系統(tǒng)的狀態(tài)如圖1所示，所設計的峰值—峰值濾波器滿足預定的要求。

5 結語

文章研究了線性參數變化系統(tǒng)的魯棒峰值—峰值濾波問題。根據參數Lyapunov穩(wěn)定性理論、投影引理以及通過引入附加矩陣，消除了系統(tǒng)矩陣和參數依賴Lyapunov函數矩陣之間的耦合，推導出此系統(tǒng)解耦的魯棒峰值—峰值性能準則，進而提出了魯棒峰值—峰值濾波器存在的充分條件。通過近似基函數和網格技術，將濾波器設計中無限維的問題轉化成有限維的凸優(yōu)化問題。最后，用數值仿真驗證所提出方法的可行性。

參考文獻

[1] Apkarian P.，Gahinet P.A convex characterization of gain-scheduled controllers[J].IEEE Trans Automatic Control，1995，40（5）：853-864.

[2] Apkarian P，Adams R J.Advanced gain-scheduling techniques for uncertain systems[J].IEEE Trans Control System Technology，1998，6（1）：21-32.

[3] Jinhui Zhang，Yuanqing Xia，Peng Shi.Parameter-dependent robust filtering for uncertain discrete-time systems[J].Automatica，2009，45（2）：560-565.

[4] Kwan Ho Lee，Biao Huang.Robust H2 optimal filtering for continuous-time stochastic systems with polytopic parameter uncertainty[J].Automatica，2008，44（10）：2686-2690.

[5] Masayuki Sato.Filter design for LPV systems using quadratically parameter-dependent Lyapunov functions[J].Automatica，2006，42（11）：2017-2023.