邢永麗， 王 迪

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(北京) >數(shù)理學(xué)院，北京100083； 2.上海汽車集團(tuán)公司 >技術(shù)研究部，上海201804)

1 引 言

討論含有未知參數(shù)的線性方程組解的情況是線性代數(shù)中一種常見的題型.這類題通常的解法是將非齊次線性方程組的增廣矩陣經(jīng)過行初等變換化為階梯形矩陣，然后再由解的判定定理討論未知參數(shù)取何值時方程組有唯一解、無解還是有無窮多組解[1-3].特別地，當(dāng)線性方程組的系數(shù)矩陣為方陣且包含所討論的未知參數(shù)時，還可以用系數(shù)行列式進(jìn)行討論[4].本文給出一種新的討論方法，在系數(shù)行列式D(λ)=0的情況下，可以直接判定參數(shù)λ取何值時方程組有無窮多組解、取何值時方程組無解.

設(shè)有n元線性方程組A(λ)X=b，其中λ為未知參數(shù)，A(λ)為n階λ-矩陣[3，5]，D(λ)=|A(λ)|，b為n維非零列向量(可含參數(shù)).Dj(λ)是將D(λ)中第j列的元素?fù)Q為b后得到的行列式，簡記為Dj(j=1，2，…，n)；Aj(λ)是將A(λ)中第j列的元素?fù)Q為b后得到的矩陣.若D(λ)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解為

D(λ)=a(λ-λ1)k1…(λ-λs)ks(λ2+p1λ+q1)l1…(λ2+ptλ+qt)lt，

其中a為常數(shù)，k1，…，ks，l1，…，lt為正整數(shù)，λ2+piλ+qi(i=1，2，…，t)為二次質(zhì)因式.則當(dāng)D(λ)≠0時，即λ≠λ1且λ≠λ2，…，且λ≠λs時，方程組有唯一解；當(dāng)D(λ)=0時，即λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組要么有無窮多組解，要么無解.下面給出D(λ)=0時，根據(jù)參數(shù)λ判斷方程組解的情況的判定定理.

2 主要結(jié)果及證明

定義[6]設(shè)P(λ)為n階λ-矩陣，若λ=λ0時矩陣P(λ0)的秩為n-k(記為R(P(λ0))=n-k)，則稱λ0對應(yīng)于P(λ)的幾何重?cái)?shù)為k(記為g[P(λ)]λ0=k).

定理1設(shè)有n個方程的n元線性方程組A(λ)X=b，已知D(λ)=0.如果λ=λi(i=1，2，…，s)時g[A(λ)]λi=1，且每個非零的Dj(λ)(1≤j≤n)中皆含有因式(λ-λi)，則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

證已知D(λ)=0時，λ=λ1，或λ=λ2，…，或λ=λs.

因?yàn)間[A(λ)]λi=1，故R(A(λi))=n-1.又因每個非零的Dj(λ) (1≤j≤n)皆含有因式(λ-λi)，所以λ=λi時有D1=D2=…=Dn=0，則此時必有

R(A(λi)，b)=R(A(λi))=n-1

成立.(否則，若R(A(λi)，b)=n，由于D(λ)=0，那么就一定存在某個j使得Dj≠0，與已知矛盾).所以，當(dāng)λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組一定有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

將定理1的結(jié)論推廣到更一般的情形，可證明如下定理.

定理2設(shè)有n個方程的n元線性方程組A(λ)X=b，已知D(λ)=0.如果λ=λi(i=1，2，…，s)時g[A(λ)]λi=k(k≥1)，且對任意的j(1≤j≤n)皆有g(shù)[Aj(λ)]λi≥k，則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

證已知D(λ)=0時，λ=λ1，或λ=λ2，…，或λ=λs.

因?yàn)間[A(λ)]λi=k(k≥1)，故R(A(λi))=n-k

R(Aj(λi))≤n-k(1≤j≤n)，

則此時必有

R(A(λi)，b)=R(A(λi))=n-k.

(否則，若R(A(λi)，b)≠R(A(λi))，那么就有R(A(λi)，b)=n-k+1[7-8]，則一定存在某個j，使得R(Aj(λi))=n-k+1，與已知矛盾).所以，當(dāng)λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組有無窮多組解；否則λ=λi(i=1，2，…，s)時方程組無解.

對下面給出的例題用兩種方法求解，一方面驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性，另一方面與常見的初等變換法作比較.

例[9]設(shè)線性方程組

問當(dāng)λ取何值時，此方程組(i)有唯一解；(ii)無解；(iii)有無窮多解？

解1首先用矩陣的初等行變換對方程組的增廣矩陣化簡，則

根據(jù)方程組有解的判定定理，可見

(i) 當(dāng)λ2-1≠0時，即λ≠±1時，R(A)=R(A，b)=3，此時方程組有唯一解；

(ii) 當(dāng)λ2-1=0但3λ-3λ2≠0時，可得λ=-1，此時2=R(A)

(iii) 當(dāng)λ2-1=0且3λ-3λ2=0時，可得λ=1，此時R(A)=R(A，b)=2，方程組有無窮多組解.

解2方程組的系數(shù)行列式D(λ)=(λ-1)2(λ+1).

(i) 當(dāng)D(λ)≠0時，即λ≠±1時，方程組有唯一解.且可由

D1=(λ-1)(4λ+1)，D2=λ(λ-1)(2λ-7)，D3=-3λ(λ-1)2

得唯一組解.

當(dāng)D(λ)=0時，即有λ=1或λ=-1，此時方程組或無解，或有無窮多解；

(ii) 當(dāng)λ=-1時，因?yàn)镈j(1≤j≤3)中至少存在D1不含因式(λ+1)，故由定理1知，λ=-1時方程組無解；

(iii) 當(dāng)λ=1時，由于R(A(1))=2，所以g[A(λ)]1=1.又因每個Dj(1≤j≤3)中皆含因式(λ-1)，故由定理1知，λ=1時方程組有無窮多組解.

注 (i)兩種方法比較可見，本文的方法對系數(shù)矩陣為方陣且含未知參數(shù)的方程組的討論求解更加簡單、便捷.

(ii)此題解的判定也可用定理2.

3 應(yīng)用舉例

解方程組的系數(shù)行列式D(λ)=(λ-1)2λ2.

(i) 當(dāng)D(λ)≠0時，即λ≠0且λ≠1時，方程組有唯一組解.

(ii) 當(dāng)D(λ)=0時，即有λ=0或λ=1，此時方程組或無解，或有無窮多組解.

因λ=0時R(A(0))=3，故g[A(λ)]0=1.同理，由

R(Aj(0))=3(j=1，3，4)， R(A2(0))=2，

得

g[Aj(λ)]0=1 (j=1，3，4)，g[A2(λ)]0=2，

所以有g(shù)[Aj(λ)]0≥1(1≤j≤4) .由定理2可知，λ=0時方程組有無窮多組解.

又因λ=1時R(A(1))=3，故g[A(λ)]1=1.同理，由

R(A1(1))=R(A2(1))=3， R(A3(1))=R(A4(1))=2，

得

g[A1(λ)]1=g[A2(λ)]1=1，g[A3(λ)]1=g[A4(λ)]1=2，

所以有g(shù)[Aj(λ)]1≥1(1≤j≤4).由定理2可知，λ=1時方程組也有無窮多組解.

可見，此方程組沒有無解的情況.

注 從例題可以看出，當(dāng)方程組中所含參數(shù)個數(shù)較多或參數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)較高時，用初等變換方法討論其解的情況計(jì)算量往往較大，而在系數(shù)行列式計(jì)算較為方便的前提下，本文的方法具有一定的優(yōu)越性.在D(λ)=0時，它不需要將參數(shù)再代入到原方程組中去對增廣矩陣進(jìn)行化簡，只要計(jì)算方陣A(λ)及Aj(λ)的秩就可以直接判定方程組解的情況.

4 結(jié) 論

由以上的主要結(jié)果及分析可見，本文給出的定理在討論某些含參數(shù)線性方程組A(λ)X=b的解時更方便、更直接，它免去了用初等變換將其增廣矩陣(A(λ)，b)化成階梯形的繁瑣過程，同時也為求解線性方程組的討論題提供了新的思路和方法.本文不足之處在于僅討論了有n個方程、n個未知量且系數(shù)矩陣中含有參數(shù)的方程組的情形，對于其他情形可考慮對此結(jié)果作進(jìn)一步的研究和推廣，此外該方法也受制于系數(shù)行列式的難易程度.

致謝作者對相關(guān)參考文獻(xiàn)給予的啟示及審稿人的建議表示由衷的感謝！