王宇翔

(山西大同大學(xué) >數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西 >大同037003)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

不動(dòng)點(diǎn)理論是泛函分析理論的重要組成部分，近年來(lái)，隨著不動(dòng)點(diǎn)理論在代數(shù)方程、非線性微分、積分方程及隨機(jī)算子理論中的應(yīng)用，人們提出了許多不同類(lèi)型非線性壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)理論，本文針對(duì)一類(lèi)新型的非線性壓縮映射，討論了該映射的不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性，并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)式，相比于主要文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]而言，對(duì)映射本身不要求連續(xù)性，壓縮條件更簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用，拓展和改進(jìn)了有關(guān)文獻(xiàn)的范圍.

定義1[1]設(shè)(X,ρ)是一度量空間，若點(diǎn)列{xn}滿足ρ(xn,xm)→0(n,m→∞),則稱(chēng)點(diǎn)列{xn}是此空間上的基本列(Cauchy列).

定義2[1]若度量空間(X,ρ)中所有的基本列都收斂，則稱(chēng)該空間是完備的.

定義3[1]設(shè)映射T∶(X,ρ)→(X,ρ),若對(duì)?x,y∈X,均存在0

ρ(Tx,Ty)≤kρ(x,y)

成立，則稱(chēng)映射T是一個(gè)壓縮映射.

Banach不動(dòng)點(diǎn)定理[1]若(X,ρ)是一完備的度量空間，映射T∶(X,ρ)→(X,ρ)是一個(gè)壓縮映射，則T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*，滿足Tx*=x*.

2 主要結(jié)論

定理1已知(X,ρ) 是一完備的度量空間，映射T∶X→X,若?x,y∈X，x≠y, ?(0,∞)→(0,1) 的增函數(shù)a(t)<1,滿足不等式

ρ(Tx,Ty)≤a(ρ(x,y))ρ(x,y) ,

其中h=a(ρ(x0,x1)).

ρ(xn,xn+1)=ρ(Txn-1,Txn)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

(1)

假設(shè)ρ(xn,xn+1)>ρ(xn-1,xn)，則由(1)式可得

ρ(xn-1,xn)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

即a(ρ(xn-1,xn))≥1,與a(ρ(xn-1,xn))<1矛盾.因此序列{ρ(xn,xn+1)} 單調(diào)遞減，反復(fù)利用(1)式可得

ρ(xn,xn+1)≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn)

≤a(ρ(xn-1,xn))a(ρ(xn-2,xn-1))ρ(xn-2,xn-1)

≤…≤a(ρ(xn-1,xn))a(ρ(xn-2,xn-1))…a(ρ(x1,x0))ρ(x1,x0)

≤[a(ρ(x1,x0))]nρ(x1,x0)=hnρ(x1,x0).

(2)

其中h=a(ρ(x1,x0))∈(0,1).

?n,m∈+,由三角不等式及(2)式可得

ρ(xn,xn+m)≤ρ(xn,xn+1)+ρ(xn+1,xn+2)+…+ρ(xn+m-1,xn+m)

(3)

因此{(lán)xn}是X中的Cauchy列.

由X的完備性，設(shè)xn→x*∈X,下證x*是T在X中的不動(dòng)點(diǎn)，事實(shí)上

0≤ρ(x*,Tx*)≤ρ(x*,xn)+ρ(xn,Tx*)=ρ(x*,xn)+ρ(Txn-1,Tx*)

≤ρ(x*,xn)+a(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,x*).

令n→+∞，有0≤ρ(x*,Tx*)≤0，即Tx*=x*得證.

最后利用反證法證明x*的唯一性.若?y*∈X(y*≠x*)同時(shí)滿足Ty*=y*，則有

0≤ρ(x*,y*)=ρ(Tx*,Ty*)≤a(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*).

由a(ρ(x1,x0))∈(0,1)可得ρ(x*,y*)=0，即y*=x*.

在式(3)中，令m→+∞可得

證畢.

定理2已知(X,ρ)是一完備的度量空間，映射T∶X→X,若?x,y∈X，x≠y,?(0,∞)→(0,1)的增函數(shù)a(t)+b(t)+c(t)<1,滿足不等式

ρ(Tx,Ty)≤a(ρ(x,y))ρ(x,Tx)+b(ρ(x,y))ρ(y,Ty)+c(ρ(x,y))ρ(x,y)，

ρ(xn,xn+1)=ρ(Txn-1,Txn)

≤a(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn)+b(ρ(xn-1,xn))ρ(xn,xn+1)+c(ρ(xn-1,xn))ρ(xn-1,xn).

從而

ρ(xn,xn+1)≤knρ(xn-1,xn).

(4)

假設(shè)ρ(xn,xn+1)>ρ(xn-1,xn)，則由(4)式可得ρ(xn-1,xn)≤knρ(xn-1,xn).即kn≥1，與0

ρ(xn,xn+1)≤knρ(xn-1,xn)≤knkn-1ρ(xn-2,xn-1)≤…≤knkn-1…k1ρ(x1,x0).

(5)

易證{kn}為單減序列，故由(5)式可得

(6)

?n,m∈+,由三角不等式及(6)式可得

(7)

從而知{xn}是X中的Cauchy列.

由X的完備性，設(shè)xn→x*∈X,下證x*是T在X中的不動(dòng)點(diǎn)，事實(shí)上

0≤ρ(x*,Tx*)≤ρ(x*,xn)+ρ(xn,Tx*)=ρ(x*,xn)+ρ(Txn-1,Tx*)

≤ρ(x*,xn)+a(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,xn)+b(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,Tx*)+c(ρ(xn-1,x*))ρ(xn-1,x*).

整理得

令n→+∞，有0≤ρ(x*,Tx*)≤0，即Tx*=x*.得證.

最后利用反證法證明x*的唯一性.若?y*∈X(y*≠x*) 同時(shí)滿足Ty*=y*，則有

0≤ρ(x*,y*)=ρ(Tx*,Ty*)

≤a(ρ(x*,y*))ρ(x*,Tx*)+b(ρ(x*,y*))ρ(y*,Ty*)+c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)

=a(ρ(x*,y*))ρ(x*,x*)+b(ρ(x*,y*))ρ(y*,y*)+c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)

=c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*).

由c(ρ(x*,y*))ρ(x*,y*)∈(0,1)可得ρ(x*,y*)=0，即y*=x*.

在式(7)中，令m→+∞,可得

證畢.

推論已知(X,ρ)是一完備的度量空間，映射T∶X→X,若存在非負(fù)數(shù)a,b,c滿足a+b+c<1，使得?x,y∈X，x≠y有

ρ(Tx,Ty)≤aρ(x,Tx)+bρ(y,Ty)+ρ(x,y)，

證在定理2中，令a(t)=a,b(t)=b,c(t)=c即得.

注 定理1和2與文獻(xiàn)[3]中的主要定理2對(duì)比，本文定理中的從X到X的自映射T不要求滿足連續(xù)性，此外，相較于文獻(xiàn)[3]的壓縮條件：

d(Tx,Ty)≤f(d(x,y))d(x,Tx)+g(d(x,y))d(y,Ty)+h(d(x,y))d(x,y)

其中f(t),g(t),h(t)為單調(diào)遞減可微函數(shù)，并且滿足f(t)+g(t)+h(t)<1.

本文定理2對(duì)函數(shù)不要求可微，因此條件更簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用.

3 應(yīng) 用

下面給出定理1在數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1設(shè)X是賦范線性空間,D?X是有界閉凸集，T∶D→D滿足

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖ (?x,y∈D)，

則?x*∈D，使得x*-Tx*→0.

故Tn是滿足定理1的壓縮映射，而D是X上的有界閉集，所以D完備.

4 結(jié) 論

本文主要討論了一類(lèi)新型的、滿足條件更弱的非線性壓縮型映射，給出定理1、2，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)牡蛄校梢宰C明這類(lèi)映射在度量空間(X,ρ)中不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性，改進(jìn)了非線性壓縮映射的不動(dòng)點(diǎn)定理.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).