余榮華

(福建省清流縣第一中學 365300)

數(shù)列的的考查是高考的必考點，也是熱點內(nèi)容，考查類型涵蓋選擇、填空及解答題.在復習備考時應(yīng)熟練掌握并運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本公式和重要性質(zhì).只有這樣才能做到知彼知己，百戰(zhàn)百勝.本文主要就數(shù)列問題展開討論，通過例題展示，對各類考題破題方法進行總結(jié)，望能夠給讀者帶來幫助.

一、數(shù)列的基本運算

例1(2019重慶期中)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3+a7=10，S7=14，則數(shù)列{an}的公差為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

點評等差數(shù)列的基本運算方法

(1)等差數(shù)列的某一項可以根據(jù)首項a1和公差d來確定，因此等差數(shù)列的基本量問題可以圍繞著首項和公差來展開.

(2)對于等差數(shù)列問題，一般題目中會給出兩個以上條件，則可以利用方程思想，建立方程進行破解.

二、數(shù)列的性質(zhì)

A.2 B.4 C.8 D.16

點評對于數(shù)列的性質(zhì)問題，要做到熟記數(shù)列中相關(guān)的通項公式和前n項和公式，熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，另外還需要注意題目中的隱含條件，如“遞增數(shù)列”、“各項均為正”.

三、數(shù)列的證明

例3 (2019廣西省南寧市第二次適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+1=Sn+n+1(n=1,2,3,…)，a1=1.

(1)求證：{an+1}為等比數(shù)列；

(2)數(shù)列{an}中是否存在不同的三項，適當排列順序后構(gòu)成一個等差數(shù)列？并說明理由.

解析(1)證明：

因為an+1=Sn+n+1(n=1,2,3,…)，①

所以an=Sn-1+n(n≥2).②

(2)不存在.

理由如下：由(2)得an=2n-1.

假設(shè)能得到一個等差數(shù)列，不妨設(shè)滿足條件的3項為ar，as，at，則2·(2s-1)=2r-1+2t-1，即2s+1=2r+2t.所以2r-s-1+2t-s-1=1，因為{an}是遞增數(shù)列，則r-s-1≥0，t-s-1≥0中必有一個成立.則2r-s-1+2t-s-1>1與2r-s-1+2t-s-1=1矛盾，所以數(shù)列{an}中不存在不同的三項，適當排列順序后構(gòu)成一個等差數(shù)列.

點評等比數(shù)列的判定與證明

③通項公式法：驗證：an=abn(a≠0,b≠0).

④前n項和公式法：驗證：Sn=a·bn-a(a≠0,b≠0,b≠1)．

四、數(shù)列的求和問題

例4 (2019廣東一模)已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a1=5且a3,a6,a11成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)設(shè)bn=an·3n-1，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

化簡得：Sn=(n+1)3n-1．

點評用錯位相減法求和的3個注意事項

(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．

五、數(shù)列的綜合問題

點評數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)而不是某個區(qū)間上的連續(xù)實數(shù)，所以它的圖象是一群孤立的點.若題中已知函數(shù)條件解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；若已知數(shù)列條件解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的有關(guān)公式與求和技巧等.

六、數(shù)列中的數(shù)學文化

例6 朱世杰是中國歷史上偉大的數(shù)學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為( ).

A.9 B.16 C.18 D.20

點評對于等差數(shù)列中的數(shù)學文化問題，首先要能夠?qū)㈩}目中所給的數(shù)學文化問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，再根據(jù)等差數(shù)列知識進行求解.另外，該類試題除直接給出古代數(shù)學文化問題進行命題的形式外，有時還會以古代數(shù)學思想為載體進行命題(如：以格點問題為背景)或根據(jù)世界名題進行命題(如：哥德巴赫猜想，角谷猜想，四色定理).