曹利新，李文志

（大連理工大學(xué)機械工程系，遼寧大連 116024）

0 引言

葉輪作為透平機械的核心部件，在航空、航天、船舶、化工等各個領(lǐng)域里起著至關(guān)重要的作用[1]。整體葉輪最大的特點就是采用單一的毛坯件經(jīng)過葉輪流道的開槽加工、半精加工、葉片精加工等一系列工序最終成型，保證了整體葉輪良好的氣動性能。作為加工葉輪的第一步，葉輪流道的粗加工需要去除至少70%的余量，而且為了后續(xù)半精加工和精加工的表面質(zhì)量，在粗加工階段需要保證效率的同時，對零件表面的加工質(zhì)量也有一定要求。

為此，諸多學(xué)者都做了大量研究。馬曉嘉等[2]針對每一層的分層曲面提出了三角形走刀和之字形走刀的刀位規(guī)劃方法；張偉等[3]將葉輪流道分為上下兩部分，針對每一部分采用先鉆孔后銑削的加工策略進行加工；于源等[4]將葉輪流道劃分為多個不同區(qū)域，采用不同直徑的刀具進行銑削。

但是上述的研究都存在以下三點問題：一是都沒有充分考慮到分層曲面的曲率變化；二是在實際規(guī)劃刀位時，都采用球頭柱刀模型，而相對于球頭柱刀，平底刀在粗加工階段更能展現(xiàn)良好的切削效率；三是沒有將刀位規(guī)劃和刀具干涉結(jié)合起來，給出的刀軸矢量確定方法有失準(zhǔn)確性。

為了解決上述問題，本文將結(jié)合回轉(zhuǎn)曲面性質(zhì)，在葉輪建模的基礎(chǔ)上，提出了等切深均勻分層的加工策略，針對其中的某一層分析其曲面的曲率特性和幾何形狀，研究當(dāng)采用平底刀對葉輪流道進行粗加工時，加工邊界的確定方法、高效的刀位規(guī)劃方法和刀軸矢量優(yōu)化方法。

1 葉輪流道分層銑削邊界確定

在實際加工過程中，相對于球頭柱刀，平底刀具有更高的加工效率，其有效切削半徑公式為[5]：

等切深均勻分層的加工策略就是將葉輪蓋盤曲面向輪轂面按照相等的深度，一層層向下偏置并在每一層規(guī)劃刀具路徑。而采用平底刀切削葉輪流道時，主要有以下兩個問題：

圖1 隨著切深的加深分層曲面及粗加工邊界的變化

（1）平底刀有效切削半徑受刀軸傾角的影響，無法直接將左右葉片型面偏置刀具半徑R加精加工余量η的距離作為左右邊界面；

（2）隨著切削層不斷向下，葉輪蓋盤曲面的偏置面會與輪轂面偏置面相交，粗加工的下邊界線將隨著切深的變化不斷變化，示意圖如圖1所示。

為了求得采用平底刀加工葉輪流道時的實際左右加工邊界，首先需要確定平底刀的有效加工半徑。此時，不妨設(shè)想當(dāng)?shù)毒呖拷~片時，為了避免發(fā)生干涉，其臨界刀軸矢量如圖2 所示。刀具往左偏會減小刀具傾角β ，使得刀具有效半徑減??；往右偏則會與葉片發(fā)生干涉，此時的刀軸矢量Ne可由兩點偏置法求得[6]。刀具傾角β 一般與刀軸矢量Ne與刀具切削方向的夾角互余，而刀具的切削方向需等到刀具路徑規(guī)劃完成后才可以確定，所以刀具有效半徑的詳細計算結(jié)果將在下文給出。為了便于討論，不妨設(shè)此時的刀具傾角為β0，刀具有效半徑為Reff0，如圖3所示。

圖2 刀具臨界位置示意圖

圖3 刀具有效半徑示意圖

此時需要判斷：（1）若刀具有效半徑Reff0均小于該臨界點在葉片曲面上與刀軸矢量Ne垂直方向上的局部曲率半徑Rb0，說明平底刀在該點與葉片無過切干涉，則直接將葉片曲面的左右等距偏置面作為粗加工邊界；（2）若存在刀具有效半徑Reff0大于該臨界點在葉片曲面上與刀軸矢量Ne垂直方向上的局部曲率半徑Rb0，說明平底刀在該點會與葉片發(fā)生過切干涉，此時將葉片曲面的左右等距偏置面作為粗加工邊界的同時，需改變刀具傾角，并根據(jù)改變后的刀軸傾角和切削方向更改原有的臨界刀軸矢量Ne，同樣將在下文給出詳細計算結(jié)果。

隨著切削深度的加深，分層曲面會與輪轂面偏置面相交，分層曲面不再是蓋盤面偏置曲面的完整曲面，即粗加工下邊界會發(fā)生變化。此時粗加工下邊界為蓋盤面偏置面與輪轂面偏置面的交線，則求解粗加工下邊界的問題就轉(zhuǎn)換為了曲面求交問題。

考慮到不論是輪轂面的偏置面還是蓋盤面的偏置面，其本身都是回轉(zhuǎn)曲面，而且對于同一個葉輪而言，這兩個曲面是同軸的回轉(zhuǎn)曲面，其示意圖如圖4所示。

圖4 蓋盤面偏置面（分層曲面）與輪轂面偏置面交線

則兩回轉(zhuǎn)曲面交線必為一個圓心在回轉(zhuǎn)軸上的圓，粗加工邊界的下邊界線即為該圓的一部分圓弧。輪轂面的偏置面Sbot可以由輪轂面沿著軸向方向向上偏置得到，則蓋盤線沿直母線方向向下的偏置曲線rns與Sbot的交點Ps可以由迭代法[7]求出，同理可以求出另一個交點Pe，過兩點Ps、Pe做垂直于回轉(zhuǎn)軸的參考面S與回轉(zhuǎn)軸交點為O，連接OPe即為交線的半徑，則根據(jù)該幾何關(guān)系，可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，從幾何的角度確定粗加工下邊界線。

粗加工下邊界線同樣會隨著切削深度的增加而產(chǎn)生變化，每次分層規(guī)劃刀位路徑時需要重新計算，依賴于簡單的幾何關(guān)系，下邊界線的確定并不復(fù)雜。

2 利用回轉(zhuǎn)面性質(zhì)確定刀具路徑

鑒于蓋盤面（及其偏置面）和軸盤面（及其偏置面）都是回轉(zhuǎn)曲面，在進行刀具路徑規(guī)劃時主要考慮回轉(zhuǎn)曲面以下性質(zhì)[8]：由曲面的第二標(biāo)準(zhǔn)形式可知，回轉(zhuǎn)曲面中F=M=0 ，則可知回轉(zhuǎn)面素線和回轉(zhuǎn)圓為該曲面的曲率線，則素線與回轉(zhuǎn)圓的切線方向即為該點在回轉(zhuǎn)面上的主方向。

為了進一步提高葉輪流道的粗加工效率，解決刀具路徑冗余的問題，楊偉民等[9]將精加工曲面的等殘留高度概念引入了葉輪流道的粗加工刀具路徑規(guī)劃的過程當(dāng)中。其中心思想是選取分層曲面一條較長的邊界線作為初始迭代邊，后一條軌跡線在前一條軌跡線的基礎(chǔ)上計算得出，并保證一定的殘留高度。其重點為分析分層曲面不同區(qū)域的曲率變化，針對凹曲面、凸曲面和平面分別給出了刀軌行距的計算公式，詳細如下：

式中：Rb為曲面的局部曲率半徑，其方向總是與刀具切削方向垂直；R 為刀具半徑（采用平底刀時為刀具有效切削半徑）；h為預(yù)設(shè)的等殘留高度值；局部曲率為凸則分母中Rb與R 的關(guān)系式為“+”，局部曲率為凹則分母中Rb與R 的關(guān)系式為“-”。

傳統(tǒng)上，采用上述算法規(guī)劃刀位時，通常選取分層曲面左側(cè)的邊界線作為初始刀軌規(guī)劃刀具路徑，雖然使得后續(xù)相鄰兩刀軌之間的殘留高度一定，大大減少了冗余的路徑，提高了加工效率，但是這種刀位規(guī)劃方法在縮短切削路徑、減少刀觸點方面并不是最優(yōu)的。

為了找到最優(yōu)的刀具路徑確定方法，可以采用定量分析的方法，此時不妨設(shè)刀具有效切削半徑R=5 mm，殘留高度h=0.1 mm，代入式（2）計算出行距與曲率半徑的關(guān)系，如圖5所示。由圖可知，當(dāng)?shù)毒哂行邢靼霃胶蜌埩舾叨纫欢〞r，沿著凸曲率方向分布的行距將小于沿著凹曲率方向分布的行距，且凹曲率半徑越?。ò记试酱螅?yīng)的行距越大，當(dāng)行距沿著最大凹曲率方向分布時獲得的行距值最大。由于切削方向與刀軌路徑的分布方向垂直，根據(jù)微分幾何原理，切削方向必然沿著最大的凸曲率方向，且因為分層曲面是回轉(zhuǎn)曲面，根據(jù)回轉(zhuǎn)面性質(zhì)可以快速地確定刀具的切削方向和刀軌的分布方向。

為了驗證上述方法的可行性，可以選取靠近流道出口一側(cè)較長的邊界線的等距偏置線作為初始迭代邊，然后按照相鄰刀軌行距最大的方式進行刀位軌跡生成，其示意圖如圖6所示。

圖5 曲率半徑與行距關(guān)系圖

圖6 初始迭代邊的選擇

同樣采用定量分析的方法，設(shè)刀具的有效半徑R=5 mm，殘留高度h=1 mm，加工余量η=2 mm，切削總深度為25 mm，在規(guī)劃直徑為200 mm，葉片數(shù)為10片的等長葉輪的粗加工刀位時，由UG 模擬得出的刀軌路徑如圖7 所示，對比結(jié)果如表1所示。

圖7 刀具路徑規(guī)劃方法獲得的路徑對比

表1 傳統(tǒng)的刀具路徑規(guī)劃方法與改進的刀具路徑規(guī)劃方法結(jié)果對比

從上述計算結(jié)果可知，基于回轉(zhuǎn)曲面性質(zhì)改進的刀具路徑生成方法要比傳統(tǒng)方法規(guī)劃產(chǎn)生的路徑總長縮短9.5%左右，產(chǎn)生的刀位點數(shù)減少45%。

當(dāng)走刀方向確定時，若在臨界位置平底刀與葉片無干涉。則此時的刀軸傾角β0為：

式中：Sc為該點在分層曲面上的最大凸曲率方向；Ne為臨界刀軸矢量。

若在臨界位置平底刀與葉片發(fā)生過切干涉，則此時的臨界刀軸矢量Ne為：

式中：Sc為該點在分層曲面上的最大凸曲率方向； β0為刀具傾角。

3 優(yōu)化刀軸矢量及確定刀心位置

當(dāng)?shù)毒哐刂骨史较蜃叩稌r，不需要調(diào)整兩個傾角來避免發(fā)生局部過切干涉，反而刀具傾角β 的增大會使有效半徑減小進而使得加工行距減小，降低加工效率，此時不妨將刀具傾角β0和側(cè)偏角α 同時設(shè)為0，即刀軸矢量為刀具切觸點處曲面的法線方向。而當(dāng)?shù)毒卟捎蒙鲜龅牡遁S矢量進行切削加工時，在靠近葉片處，刀具會與葉片發(fā)生碰撞干涉，為了消除碰撞干涉的影響，主要需要解決兩方面問題：

（1）需要調(diào)整原定的刀軸矢量，避免碰撞干涉的發(fā)生，而為了使加工效率最大化，需要使得被調(diào)整的刀軸矢量數(shù)盡可能地少，因此需要嚴格地確定碰撞干涉發(fā)生的區(qū)域。

（2）在刀具進入碰撞干涉區(qū)域之后，刀軸矢量會發(fā)生突變，需要考慮如何實現(xiàn)光滑過渡的問題。

碰撞干涉區(qū)域的確定主要通過將葉片的外輪廓線沿著待加工曲面的法線方向投影，其具體方法為將葉輪葉片的輪廓曲線上n+1個控制點向分層曲面做法向投影，并采用B樣條曲線插值反算得到投影線，將得到的投影曲線與刀具軌跡的交點為起始臨界點Ps，將刀具軌跡的端點作為終止臨界點Pe，在粗加工葉輪流道時，對于每一個分層曲面上的其中一條刀位軌跡線，碰撞干涉主要發(fā)生在從臨界點開始到刀具軌跡端點結(jié)束這段區(qū)域內(nèi)，其示意圖如圖8所示。

圖8 葉片輪廓投影及碰撞干涉區(qū)域分布

將起始臨界點Ps(xti，yti，zti)處的刀軸矢量記為Ns，終止臨界點Pz(X，Y，Z)處刀軸矢量記為Nz，Ns為點Ps在分層曲面上該點的法線方向，Nz可由第2節(jié)論述的方法求出。為了實現(xiàn)Ns到Nz的光滑過渡，可以引入直線插補的概念，將Ps到Pe這段曲線近似地用一系列小段直線去逼近，則在這段曲線內(nèi)，坐標(biāo)的變化和角度的變化都是線性的。已知點Ps和Pe處坐標(biāo)和矢量的信息，則可求出兩點間任意位置t(0

式中：θ、φ分別為刀具繞機床坐標(biāo)系其中2個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角（一般分別為繞X軸和Z軸的轉(zhuǎn)角）。

實際加工中，刀具軌跡是已經(jīng)確定的，需要依賴線性插補確定的只有刀軸矢量，而且碰撞干涉區(qū)域往往很小，在臨界點和刀軌端點之間，離散點的數(shù)量稀少，則相鄰兩刀觸點之間仍然存在著過渡不平滑的問題，此時，可以將初始刀觸點從臨界點沿著刀具運動反方向向后取幾個點作為新的臨界點，重新規(guī)劃該點到刀軌端點之間的刀軸矢量。

為了提高加工效率，原有的刀觸點通常是采用等弓高誤差法[10]離散得來的，其計算公式為：

式中： ρ 為曲率半徑，ε 為線性逼近誤差。

取重新規(guī)劃的臨界點為起始點t0，終點為t1，采用參數(shù)化表示，即ti(0

將參數(shù)i代回到式中則可求出刀具在t0～t1任意離散點的坐標(biāo)和刀軸矢量，用求得的刀軸矢量替換原有的刀軸矢量，則可以優(yōu)化原有的加工方法，使刀具過渡更加平滑。

在確定及優(yōu)化了所有的刀軸矢量之后，對于同樣采用等弓高誤差法離散刀具路徑得來的無干涉刀觸點，只需將其偏置一個矢量即可獲得刀位點[11]：

4 算例

本文使用UG的二次開發(fā)功能，實現(xiàn)了上述算法，并針對直徑為200 mm、葉片個數(shù)為10的半開式整體葉輪的流道部分進行了刀位規(guī)劃，主要參數(shù)如表2所示。

表2 刀具規(guī)劃參數(shù)

在每一個刀位點，引入圓柱模型代表其刀軸矢量（注：圓柱模型的半徑并不等于平底刀的有效切削半徑），示意圖如圖9所示，結(jié)果如表3所示。從圖可以看出，在保留了一定的加工余量的前提下，刀具與葉片沒有發(fā)生干涉，刀軌路徑?jīng)]有出現(xiàn)冗余的現(xiàn)象，取其中的一條軌跡線，分析其刀軸傾角的變化，其示意圖如圖10所示。

圖9 刀位點及刀軸矢量模型

圖10 刀軸傾角變化示意圖

表3 刀位規(guī)劃詳細結(jié)果

初始刀具從左側(cè)入刀，沿刀具軌跡向右側(cè)切削，統(tǒng)計其刀軸矢量開始過渡的后4個點，其刀軸矢量和刀具傾角變化如表4所示。分析表中的數(shù)據(jù)可知，刀具傾角根據(jù)離散點分布的距離變化，且變化均勻，實現(xiàn)了光滑過渡的目的。

表4 刀位點坐標(biāo)及刀具姿態(tài)變化

5 結(jié)束語

本文針對整體葉輪流道的粗加工問題，提出了一種刀位規(guī)劃方案。首先確定了等深度均勻分層的加工策略，并針對采用平底刀加工時加工邊界難以確定的問題給出了一個解決方案，然后根據(jù)分層曲面為回轉(zhuǎn)曲面的特性，提出了一種改進的刀具路徑規(guī)劃方法。在算法優(yōu)化方面，避免了尋找分層曲面主方向的過程，簡化了算法；在刀具路徑確定方面，相對于傳統(tǒng)的刀具路徑規(guī)劃方法，此方法生成的切削路徑總長明顯減小，這將有利于葉輪流道粗加工效率的提高。最后采用幾何投影的方法準(zhǔn)確求出了碰撞干涉區(qū)域，并引入線性插補的概念解決了刀具在碰撞干涉區(qū)域前后過渡不平滑的問題。