摘要：對一個(gè)二維帶限函數(shù)抽樣，并通過分析抽樣間隔和改變參數(shù)，驗(yàn)證欠采樣、濾波后的頻譜混疊現(xiàn)象，借助Matlab對信號(hào)時(shí)域與頻域的多幅2D和3D圖像進(jìn)行繪制和分析，有助于更直觀深入理解抽樣定理與抽樣不當(dāng)引起的頻譜混疊和信號(hào)失真現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：抽樣定理，欠采樣，混疊，失真

1 引言

“抽樣定理”是信號(hào)與系統(tǒng)課程中頻域分析時(shí)一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，是模擬信號(hào)向數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換的一個(gè)關(guān)鍵性定理。“抽樣間隔”是該定理的核心內(nèi)容。本文利用Matlab作為分析和作圖工具，選取某帶限函數(shù)，通過選擇樣間隔，得到抽樣后的函數(shù)頻譜，頻域?yàn)V波后，觀察欠采樣和頻譜混疊現(xiàn)象，來更直觀的理解抽樣定理。

2 抽樣定理

香農(nóng)抽樣定理指出，對于能量有限的帶限信號(hào)，要實(shí)現(xiàn)信號(hào)的無失真恢復(fù)，采樣頻率必須不小于信號(hào)帶寬的兩倍，即。當(dāng)抽樣定理不滿足，即時(shí)，則頻譜將產(chǎn)生混疊，不能正確恢復(fù)原始信號(hào)。本文通過分析抽樣間隔，來驗(yàn)證抽樣間隔選擇不當(dāng)而出現(xiàn)欠采樣和混頻現(xiàn)象，無法正確復(fù)原原函數(shù)的情況。利用直觀的仿真圖形，進(jìn)一步闡明抽樣定理的內(nèi)涵，通過混頻現(xiàn)象的仿真，加深概念及定理的理解。

3 仿真驗(yàn)證

3.1抽樣信號(hào)的恢復(fù)

對一個(gè)二維帶限函數(shù)用矩形點(diǎn)陣列抽樣，則抽樣函數(shù)定義為：

其中comb為梳狀函數(shù)，用函數(shù)陣列給出，X，Y是陣列沿x和y方向上的間隔。

由（1）式可得的頻譜形式為：

其中u，v為頻域坐標(biāo)，分別對應(yīng)于空域x，y坐標(biāo)。符號(hào)為卷積，為傅里葉變換。

假設(shè)函數(shù)是帶限函數(shù)，其頻譜如圖1所示，其頻譜只在頻率空間的有限區(qū)域R上不為零。該函數(shù)被抽樣后，抽樣函數(shù)的頻譜不為零的區(qū)域根據(jù)（2）式，可由在頻率平面的每一個(gè)點(diǎn)的周圍劃出R區(qū)域得到。如果和足夠小，則和的間隔就會(huì)足夠大，以保證相鄰區(qū)域不重疊。的頻譜如圖2所示。

由抽樣定理，令2Bx和2By分別表示完全圍住區(qū)域R的最小矩形沿u和v方向上的寬度，則空域抽樣點(diǎn)陣間隔滿足，條件時(shí)，可保證頻譜區(qū)域分開而不混疊，原函數(shù)可恢復(fù)。反之，將出現(xiàn)頻譜混疊，無法正確恢復(fù)原函數(shù)。仿真中，利用Matlab編寫m文件實(shí)現(xiàn)，使用自帶的peaks函數(shù)生成一個(gè)二維帶限函數(shù)作為這里的，其數(shù)學(xué)表達(dá)式形式記為：，該函數(shù)的空域圖形如圖3，其頻譜3D效果如圖4。

從圖4可知，所選帶限函數(shù)沿u，v方向帶寬都小于128個(gè)像素，由于圖像大小為256*256，根據(jù)抽樣定理，重構(gòu)原函數(shù)的條件是抽樣間隔至少滿足Y=256/128=2個(gè)像素，因此這里可選擇X=Y=2。

為觀察欠采樣和混疊現(xiàn)象，選擇4個(gè)像素為抽樣點(diǎn)陣間隔，顯然不再滿足抽樣定理，出現(xiàn)欠采樣。此時(shí)對按照對應(yīng)于2個(gè)像素間隔的128*128濾波器進(jìn)行頻譜濾波，再傅里葉逆變換，則可看到濾波后頻譜與復(fù)原函數(shù)分別如圖5和6。由于出現(xiàn)欠采樣且濾波器選擇為128*128像素，可看出恢復(fù)的函數(shù)頻譜已明顯混頻，復(fù)原的函數(shù)出現(xiàn)了嚴(yán)重失真。

4 結(jié)論

由以上仿真可看出，對于二維連續(xù)函數(shù)，當(dāng)選擇采樣間隔不滿足抽樣定理要求時(shí)，使用相應(yīng)濾波器頻譜濾波后，原函數(shù)頻譜明顯混疊，導(dǎo)致復(fù)原的帶限函數(shù)嚴(yán)重失真，由此可看出抽樣間隔和頻率濾波的重要性。此外，通過多幅2D和3D圖像，更直觀表述了抽樣定理的內(nèi)涵，有助于對該定理深入理解。

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作者簡介：吳云飛（1980—），女，重慶人，碩士，講師，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)、電氣工程及其自動(dòng)化。